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(번역) Subbase

by 다움위키 2024. 4. 9.
Original article: w:Subbase

 

토폴로지(topology)에서, 토폴로지(topology)  \(T\)를 갖는 토폴로지적 공간(topological space) \(X\)에 대해 부분기저(subbase, 또는 subbasis, prebase, prebasis)는 \(T\)가 열린 집합으로 \(B\)를 포함하는 가장 작은 토폴로지라는 의미에서 \(T\)를 생성하는 \(T\)의 부분-모음 \(B\)입니다. 약간 다른 정의가 일부 저자에 의해 사용되고, 다른 유용한 정의의 형식화가 있습니다; 이것들은 아래에서 논의됩니다.

Definition

\(X\)를 토폴로지 \(T\)를 갖는 토폴로지적 공간이라고 놓습니다. \(T\)의 부분기저는 보통 다음 두 가지 동등한 조건 중 하나를 만족시키는 \(T\)의 부분모음 \(B\)로 정의됩니다:

  1. 부분모음 \(B\)는 토폴로지 \(T\)를 생성합니다. 이것은 \(T\)는 \(B\)를 포함하는 가장 작은 토폴로지임을 의미합니다: \(B\)를 포함하는 \(X\) 위의 임의의 토폴로지 \(T^\prime\)는 \(T\)도 포함해야 합니다.
  2. 집합 \(X\)와 함께 \(B\)의 원소의 모든 유한 교집합(intersections)으로 구성된 열린 집합의 모음은 \(T\)의 기저(basis)를 형성합니다. 이것은 \(T\)에서 모든 각 적절한 열린 집합(open set)이 \(B\)의 원소의 유한 교집합의 합집합(union)으로 쓸 수 있음을 의미합니다. 명시적으로, 열린 집합 \(U \subsetneq X\)에서 점 \(x\)가 주어지면, 이들 집합의 교집합이 \(x\)를 포함하고 \(U\)에서 포함됨을 만족하는 \(B\)의 유한하게 많은 집합 \(S_1, \ldots, S_n\)이 있습니다. 이러한 집합의 교집합은 x를 포함하고 U에 포함됩니다.

(만약 우리가 영-항 교집합(nullary intersection) 규칙을 사용하면, 두 번째 정의에 \(X\)를 포함할 필요가 없습니다.)

거듭제곱 집합(power set) \(\wp(X)\)의 임의의 부분집합 \(S\)에 대해, \(S\)를 부분기저로 가지는 고유한 토폴로지가 있습니다. 특히, \(S\)를 포함하는 \(X\) 위의 모든 토폴로지의 교집합(intersection)은 이 조건을 만족시킵니다. 일반적으로, 어쨌든, 주어진 토폴로지에 대한 고유한 부분기저는 없습니다.

따라서, 우리는 고정된 토폴로지에서 시작하고 해당 토폴로지에 대해 부분기저를 찾을 수 있고, 우리는 역시 거듭제곱 집합 \(\wp(X)\)의 임의적인 부분모음에서 시작하고 해당 부분모음에 의해 생성된 토폴로지를 형성할 수 있습니다. 우리는 위의 동등한 정의를 자유롭게 사용할 수 있습니다; 실제로, 많은 경우에, 두 조건 중 하나가 다른 것보다 더 유용합니다.

Alternative definition

덜 공통적으로, 부분기저의 약간 다른 정의는 부분기저 \(\mathcal{B}\)가 \(X\)를 덮도록 요구하는 것으로 제공됩니다. 이 경우에서, \(X\)는 \(\mathcal{B}\)에 포함된 모든 집합의 합집합입니다. 이것은 정의에서 영항 교집합의 사용과 관련하여 혼동이 있을 수 없음을 의미합니다.

어쨌든, 이 정의가 위의 두 정의와 항상 동등한 것은 아닙니다. 다시 말해서, \(\tau\)는 \(\mathcal{B}\)를 포함하는 가장 작은 토폴로지이지만, \(\mathcal{B}\)는 \(X\)를 포함하지 않음 (그러한 예는 아래에 제공됨)을 만족하는 부분집합 \(\mathcal{B} \subseteq \tau\)를 갖는 토폴로지적 공간 \((X, \tau)\)이 존재합니다. 실제로, 이것은 드물게 발생합니다; 예를 들어, 적어도 2 개의 점을 가지고 \(T_1\) 분리 공리(\(T_1\) separation axiom)를 만족시키는 공간의 부분기저는 해당 공간의 덮개여야 합니다.

Examples

임의의 부분집합 \(\mathcal{S} \subseteq \{\varnothing, X\}\) (빈 집합에 의해 포함됨 \(\mathcal{S} := \varnothing\))에 의해 생성된 토폴로지는 자명한 토폴로지 \(\{\varnothing, X\}\)와 같습니다.

만약 \(\tau\)가 \(X\) 위에 토폴로지이고 \(\mathcal{B}\)가 \(\tau\)에 대한 기저이면, \(\mathcal{B}\)에 의해 생성된 토폴로지는 \(\tau\)입니다. 따라서 토폴로지 \(\tau\)에 대해 임의의 기저 \(\mathcal{B}\)는 \(\tau\)에 대해 부분기저이기도 합니다. 만약 \(\mathcal{S}\)가 \(\tau\)의 부분집합이면, \(\mathcal{S}\)에 의해 생성된 토폴로지는 \(\tau\)의 부분집합이 될 것입니다.

실수 \(\mathbb{R}\) 위에 보통의 토폴로지는 형식 \((-\infty, a)\) 또는 \((b, \infty)\) 중 하나인 모든 반-무한(semi-infinite) 열린 구간으로 구성된 부분기저를 가지며, 여기서 \(a\)와 \(b\)는 실수입니다. 함께, 이것들은 보통의 토폴로지를 생성하는데, 왜냐하면 \(a \leq b\)에 대한 교집합 \((a,b) = (-\infty, b) \cap (a, \infty)\)은 보통의 토폴로지를 생성하기 때문입니다. 두 번째 부분기저는 \(a\)와 \(b\)가 유리수(rational)인 부분가족을 취함으로써 형성됩니다. 두 번째 부분기반도 마찬가지로 보통의 토폴로지를 생성하는데, 왜냐하면 \(a,\) \(b\) 유리수를 갖는 열린 구간 \((a, b)\)가 보통의 유클리드 토폴로지의 기저이기 때문입니다.

\(a\)가 실수인 형식 \((-\infty, a)\) 단독으로 모든 반-무한 열린 구간으로 구성된 부분기저는 보통의 토폴로지를 생성하지 않습니다. 결과 토폴로지는 \(T_1\) 분리 공리(\(T_1\) separation axiom)을 만족시키지 못하는데, 왜냐하면 만약 \(a < b\)이면 \(b\)를 포함하는 모든 각 열린 집합은 역시 \(a\)를 포함하기 때문입니다.

함수 \(f_i : X \to Y_i\)의 가족에 의해 정의된 \(X\) 위의 초기 토폴로지(initial topology)는, 여기서 각 \(Y_i\)가 토폴로지를 가지고 있으며, 각 \(f_i\)가 연속적(continuous)임을 만족하는 \(X\) 위의 가장-엉성한 토폴로지입니다. 연속성은 열린 집합의 역 이미지의 관점에서 정의될 수 있기 때문에, 이것은 \(X\) 위에 초기 토폴로지는 부분기저로 모든 \(f_i^{-1}(U)\)를 취함으로써 주어진다는 것을 의미하며, 여기서 \(U\)는 \(Y_i\)의 모든 열린 부분집합에 걸쳐 있습니다.

초기 토폴로지의 두 가지 중요한 특별한 경우는 곱 토폴로지(product topology)이며, 여기서 함수의 가족은 그 곱이 각 인수로의 투영의 집합이며, 그리고 부분공간 토폴로지(subspace topology)이며, 여기서 가족은 단지 하나의 함수, 포함 맵(inclusion map)으로 구성됩니다.

\(X\)에서 \(Y\)로의 연속 함수의 공간 위에 컴팩트-열린 토폴로지(compact-open topology)는 부분-기저에 대해 다음 함수의 집합을 가집니다:

\(\quad V(K,U) = \{f : X \to Y \mid f(K) \subseteq U\}\)

여기서 \(K \subseteq X\)는 컴팩트(compact)이고 \(U\)는 \(Y\)의 열린 부분집합입니다.

\((X, \tau)\)가 X가 둘 이상의 원소를 포함하는 \(X\)를 갖는 하우스도르프(Hausdorff) 토폴로지적 공간이라고 가정합니다 (예를 들어, 유클리드 토폴로지를 갖는 \(X = \mathbb{R}\)). \(Y \in \tau\)를 \((X, \tau)\)의 비-빈 열린 부분집합이라고 놓고 (예를 들어, \(Y\)는 \(\mathbb{R}\)에서 비-빈 경계진 열린 구간일 수 있음), \(\nu\)는 \(Y\)가 \((X, \tau)\) (따라서 \(\nu \subseteq \tau\))에서 이어받은 \(Y\) 위에 부분공간 토폴로지(subspace topology)를 나타낸다고 놓습니다. 그런-다음 \(X\) 위에 \(\nu\)에 의해 생성된 토폴로지는 합집합 \(\{X\} \cup \nu\)와 같으며 (설명은 이 각주를 참조), 여기서 \(\{X\} \cup \nu \subseteq \tau\)입니다 (왜냐하면 \((X, \tau)\)는 하우스도르프이므로, 상등이 유지되는 것과 \(Y = X\)인 것은 필요충분 조건입니다). 만약 \(Y\)가 \(X\)의 적절한 부분집합(proper subset)이면, \(\{X\} \cup \nu\)는 \(\nu\)를 포함하는 \(X\) 위에 가장 작은 토폴로지이지만 \(\nu\)는 \(X\)를 덮지 못함을 주목하십시오 (즉, 합집합 \(\bigcup_{V \in \nu} V = Y\)는 \(X\)의 적절한 부분집합입니다).

Results using subbases

부분기저에 대한 한 가지 좋은 사실은 함수의 연속성(continuity)이 치역의 부분기저 위에만 확인되어야 한다는 것입니다. 즉, 만약 \(f : X \to Y\)가 토폴로지적 공간 사이의 맵이고 \(\mathcal{B}\)가 \(Y\)에 대해 부분기저이면, \(f : X \to Y\)가 연속인 것과 \(f^{-1}(B)\)가 모든 각 \(B \in \mathcal{B}\)에 대해 \(X\)에서 열린 것은 필요충분 조건입니다. 네트 (또는 수열) \(x_{\bullet} = \left(x_i\right)_{i \in I}\)이 점 \(x\)에 수렴하는 것과 \(x\)의 모든 각 부분기저 이웃이 충분하게 큰 \(i \in I\)에 대해 모든 \(x_i\)를 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

Alexander subbase theorem

알렉산더 부분기저 정리는 제임스 워델 알렉산더 2세(James Waddell Alexander II)로 인한 부분기저에 관한 중요한 결과입니다. 기저 (부분기저가 아님) 열린 덮개에 대해 해당하는 결과는 증명하기가 훨씬 쉽습니다.

 

Alexander Subbase Theorem: \((X, \tau)\)를 토폴로지적 공간이라고 놓습니다. 만약 \(X\)가 \(\mathcal{S}\)에서 원소에 의한 \(X\)의 모든 각 덮개가 유한 부분덮개를 가짐을 만족하는 부분기저 \(\mathcal{S}\)를 가지면, \(X\)는 콤팩트(compact)입니다.

이 정리의 전환도 유지되고 그것은 \(\mathcal{S} = \tau\)를 사용함으로써 입증됩니다 (왜냐하면 모든 각 토폴로지가 자체에 대해 부분기반이기 때문입니다). 

  • 만약 \(X\)가 컴팩트이고 \(\mathcal{S}\)가 \(X\)에 대해 부분기저이면, \(\mathcal{S}\)에서 원소에 의해 \(X\)의 모든 각 덮개는 유한 부분덮개를 가집니다.

Proof
모순을 위해 공간 \(X\)가 컴팩트하지 않지만 (따라서 \(X\)는 무한 집합), \(\mathcal{S}\)로부터 모든 각 부분기저 덮개는 유한 부분덮개를 가진다고 가정합니다. 

\(\mathbb{S}\)는 \(X\)의 유한 부분덮개를 가지지 않는 \(X\)의 모든 열린 덮개의 집합을 나타낸다고 놓습니다.
부분집합 포함에 의해 \(\mathbb{S}\)를 부분적으로 순서화하하고 조온의 보조정리를 사용하여 \(\mathbb{S}\)의 최대 원소인 원소 \(\mathcal{C} \in \mathbb{S}\)를 찾습니다. 
다음을 관찰하십시오:

  1. \(\mathcal{C} \in \mathbb{S}\)이기 때문에, \(\mathbb{S}\)의 정의에 의해,  \(\mathcal{C}\)는 \(X\)의 열린 덮개이고 \(X\)를 덮는 \(\mathcal{C}\)의 임의의 유한 부분집합이 존재하지 않습니다 (따라서 특히, \(\mathcal{C}\)는 무한입니다).
  2. \(\mathbb{S}\)에서 \(\mathcal{C}\)의 최대성은 만약 \(V\)는 \(V \not\in \mathcal{C}\)임을 만족하는 \(X\)의 열린 집합이면 \(\mathcal{C} \cup \{V\}\)는 유한 부분덮개를 가지며, 이는 반드시 \(\mathcal{C}\)의 일부 유한 부분집합 \(\mathcal{C}_V\)에 대해 형식 \(\{V\} \cup \mathcal{C}_V\)의 것이어야 함을 의미합니다 (이 유한 부분집합은 \(V\)의 선택에 따라 달라집니다).

우리는 \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)가 \(X\)의 덮개가 아님을 보임으로써 시작할 것입니다.
\(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)는 \(X\)의 하나의 덮개였다고 가정하며, 이는 특히 \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)가 \(\mathcal{S}\)의 원소에 의해 \(X\)의 덮개임을 의미합니다.
\(\mathcal{S}\)에 대한 정리의 가설은 \(X\)를 덮는 \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)의 유한 부분집합이 존재함을 의미하며, 이는 동시에 역시 \(\mathcal{C}\)의 원소에 의한 \(X\)의 유한덮개였을 것입니다 (왜냐하면 \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S} \subseteq \mathcal{C}\)).
그러나 이것은 \(\mathcal{C} \in \mathbb{S}\)와 모순이며, \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)가 \(X\)를 덮지 못함을 입증합니다.

\(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)가 \(X\)를 덮지 못하기 때문에, \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)에 의해 덮어지지 않는 일부 \(x \in X\)가 존재합니다 (즉, \(x\)는 \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)의 임의의 원소에 포함되지 않습니다). 
그러나 \(\mathcal{C}\)는 \(X\)를 덮지 못하기 때문에, 역시 \(x \in U\)임을 만족하는 일부 \(U \in \mathcal{C}\)가 존재합니다.
\(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{S}\)에 의해 생성된 토폴로지의 정의로부터, \(X\)의 토폴로지를 생성하는 부분기저이기 때문에, 다음임을 만족하는 부분기저 열린 집합 \(S_1, \ldots, S_n \in \mathcal{S}\)의 유한 모음이 반드시 존재해야 합니다:
\(\quad x \in S_1 \cap \cdots \cap S_n \subseteq U\)

우리는 이제 모든 각 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(S_i \not\in \mathcal{C}\)임을 모순에 의해 보일 것입니다.
만약 \(i\)가 \(S_i \in \mathcal{C}\)를 만족하는 것이었으면, 역시 \(S_i \in \mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)이므로 \(x \in S_i\)라는 사실은 그런-다음 \(x\)가 \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)에 의해 덮어지지 않음을 의미했을 것이며, 이는 \(x\)가 선택되는 방법과 모순입니다 (\(x\)는 \(\mathcal{C} \cap \mathcal{S}\)에 의해 덮어지지 않도록 구체적으로 선택되었음을 상기하십시오).

이전에 언급했듯이, \(\mathbb{S}\)에서 \(\mathcal{C}\)의 최대성은 모든 각 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해, \(\left\{S_i\right\} \cup \mathcal{C}_{S_i}\)가 \(X\)의 유한 덮개를 형성함을 만족하는 \(\mathcal{C}\)의 유한 부분집합 \(\mathcal{C}_{S_i}\)이 존재함을 의미합니다:
다음을 정의합니다:
\(\quad \mathcal{C}_F := \mathcal{C}_{S_1} \cup \cdots \cup \mathcal{C}_{S_n},\)
이는 \(\mathcal{C}\)의 유한 부분집합입니다.
모든 각 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해, \(\left\{S_i\right\} \cup \mathcal{C}_F\)가 \(X\)의 유한 덮개이므로 모든 각 \(\mathcal{C}_{S_i}\)를 \(\mathcal{C}_F\)로 바꾸도록 허용함을 관찰하십시오.

\(\cup \mathcal{C}_F\)가 \(\mathcal{C}_F\) (\(X\)의 열린 부분집합)에서 모든 집합의 합집합을 나타낸다고 놓고 \(Z\)가 \(X\)에서 \(\cup \mathcal{C}_F\)의 여집합을 나타낸다고 놓습니다. 
임의의 부분집합 \(A \subseteq X\)에 대해, \(\{A\} \cup \mathcal{C}_F\)가 \(X\)를 덮는 것과 \(Z \subseteq A\)인 것이 필요충분 조건임을 관찰하십시오. 특히, 모든 각 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해, \(\left\{S_i\right\} \cup \mathcal{C}_F\)가 \(X\)를 덮는다는 사실은 \(Z \subseteq S_i\)임을 의미합니다. 
\(i\)가 임의적이기 때문에, 우리는 \(Z \subseteq S_1 \cap \cdots \cap S_n\)를 가집니다. 
\(S_1 \cap \cdots \cap S_n \subseteq U\)임을 회상하셔서, 따라서 \(Z \subseteq U\)를 가지며, 이는 \(\{U\} \cup \mathcal{C}_F\)가 \(X\)의 덮개라는 것과 동등합니다. 
게다가, \(\{U\} \cup \mathcal{C}_F\)는 \(\{U\} \cup \mathcal{C}_F \subseteq \mathcal{C}\)를 갖는 \(X\)의 유한 덮개입니다.
따라서 \(\mathcal{C}\)는 \(X\)의 유한 부분덮개를 가지며, 이는 \(\mathcal{C} \in \mathbb{S}\)라는 사실에 모순됩니다.
그러므로, \(X\)가 컴팩트하지 않다라는 원래 가정은 틀려야 하며, 이는 \(X\)가 컴팩트하다는 것을 입증합니다. \(\blacksquare\)

비록 이 증명은 조온의 보조정리(Zorn's lemma)를 사용하지만, 증명은 완전한 선택의 강도를 필요로 하지 않습니다. 대신, 그것은 중간 극단-필터 원칙(Ultrafilter principle)에 의존합니다.

위의 \(\mathbb{R}\)에 대해 부분기저와 함께 이 정리를 사용하여, \(\mathbb{R}\)에서 경계진 닫힌 구간이 컴팩트하다는 매우 쉬운 증명을 제공할 수 있습니다. 보다 일반적으로, 비-빈 컴팩트 공간의 곱이 컴팩트하다는 티호노프의 정리(Tychonoff's theorem)는 만약 알렉산더 부분기저 정리가 사용되면 짧은 증명을 가집니다.

Proof
\(\prod_{i} X_i\) 위에 곱 토폴로지가, 정의에 의해, 하나의 요소에서 열린 집합의 역 투영인 원통(cylinder) 집합으로 구성되는 기저를 가집니다. 유한 덮개를 가지지 않는 곱의 부분기저 가족 \(C\)가 주어지면, 우리는 \(C = \cup_i C_i\)를 주어진 요소 공간에 해당하는 정확하게 그것들의 원통 집합으로 구성되는 부분가족으로 분할할 수 있습니다.
가정에 의해, 만약 \(C_i \neq \varnothing\)이면 \(C_i\)는 유한 부분덮개를 가지지 않습니다.
원통 집합이기 때문에, 이것은 \(X_i\) 위로의 그것들의 투영이 유한 부분덮개를 가지지 않음을 의미하고, 각 \(X_i\)가 컴팩트하기 때문에, 우리는 \(X_i\) 위로의 \(C_i\)의 투영에 의해 덮어지지 않는 점 \(x_i \in X_i\)를 찾을 수 있습니다. 그러나 그때에 \(\left(x_i\right)_i \in \prod_{i} X_i\)는 \(C\)에 의해 덮어지지 않습니다. \(\blacksquare\)

마지막 단계에서, 우리는 \(\left(x_i\right)_i\)의 존재를 보장하기 위해 선택의 공리 (이는 실제로 조온의 보조정리와 동등함)를 암시적으로 사용했습니다.

References

 

 

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