집합의 대수에서 간단한 정리(simple theorems in the algebra of sets)는 집합의 합(union) (중위(infix) ∪), 교(intersection) (중위(infix) ∩), 그리고 여(set complement) (후위(postfix) ')의 대수(algebra)의 기본 속성 중 일부입니다.
이들 속성은 적어도 두 집합: U로 표시되는 주어진 전체 집합(universal set), {}로 표시되는 빈 집합(empty set:공집합)의 존재를 가정합니다. 집합의 대수는 U의 거듭제곱 집합(power set)으로 불리고 P(U)로 표시되는, U의 모든 가능한 부분집합(subset)의 속성을 기술합니다. P(U)는 합, 교, 및 집합 여 아래에서 닫힌(closed) 것으로 가정됩니다. 집합의 대수는 부울 합(sum), 곱(product), 여(complement), 1, 그리고 0을 각각 해석하는 합(union), 교(intersection), 집합 여(set complement), U, 그리고 {}를 갖는 부울 대수(Boolean algebra)의 해석(interpretation) 또는 모델(model)입니다.
아래의 속성은 증명(proof)없이 서술되었지만, 공리(axiom)로 여겨지는 속성의 작은 숫자로부터 유도될 수 있습니다. "*"는 부울 대수(Boolean algebra)에 대해 한팅턴(Huntington) (1904)의 고전적인 공준 집합 해석의 대수를 따릅니다. 이들 속성은 벤 다이어그램(Venn diagram)과 함께 시각화될 수 있습니다. 그들은 역시 P(U)가 부울 격자(Boolean lattice)라는 사실을 따릅니다. "L"에 의해 따르는 속성은 격자(lattice) 공리를 해석합니다.
기본 이산 수학(discrete mathematics) 과정은 때때로 집합 이론(set theory)의 영향을 받는 문제가 이러한 속성에 불과하다는 인상을 학생들에게 남깁니다. 기본 집합 이론에 대한 자세한 내용은 집합(set), 집합 이론(set theory), 집합의 대수(sets of algebra), and 소박한 집합 이론(naive set theory)을 참조하십시오. 더 높은 수준의 이론에 대한 소개에 대해, 공리적 집합 이론(axiomatic set theory), 세는-숫자(cardinal number), 순서-숫자(ordinal number), 칸토어–베른슈타인–슈뢰더 정리(Cantor–Bernstein–Schroeder theorem), 칸토어의 대각선 논법(Cantor's diagonal argument), 칸토어의 첫 번째 셀-수-없음-속성 증명(Cantor's first uncountability proof), 칸토어의 정리(Cantor's theorem), 바른-순서화 정리(well-ordering theorem:정렬 정리), 선택의 공리(axoim of choice), 그리고 조온의 보조정리(Zorn's lemma)를 참조하십시오.
아래의 속성은 정의된 이항 연산, 중위 "\"로 표시되는 상대 여(relative complement:차집합)를 포함합니다. B \A로 표시되는 "B에서 A의 상대 여"는 (A ∪B′)′ 그리고 A′ ∩B로 정의됩니다.
PROPOSITION 1. 임의의 U와 U의 임의의 부분 집합 A에 대해:
- {}′ = U;
- U′ = {};
- A \ {} = A;
- {} \ A = {};
- A ∩ {} = {};
- A ∪ {} = A; *
- A ∩ U = A; *
- A ∪ U = U;
- A′ ∪ A = U; *
- A′ ∩ A = {}; *
- A \ A = {};
- U \ A = A′;
- A \ U = {};
- A′′ = A;
- A ∩ A = A;
- A ∪ A = A.
PROPOSITION 2. 임의의 집합 A, B, 및 C에 대해:
- A ∩ B = B ∩ A; * L
- A ∪ B = B ∪ A; * L
- A ∪ (A ∩ B) = A; L
- A ∩ (A ∪ B) = A; L
- (A ∪ B) \ A = B \ A;
- A ∩ B = {} if and only if B \ A = B;
- (A′ ∪ B)′ ∪ (A′ ∪ B′)′ = A;
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); L
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); L
- C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B);
- C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B);
- C \ (B \ A) = (C \ B) ∪(C ∩ A);
- (B \ A) ∩ C = (B ∩ C) \ A = B ∩ (C \ A);
- (B \ A) ∪ C = (B ∪ C) \ (A \ C).
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); *
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). *
PROPOSITION 3. ⊆의 일부 속성:
- A ⊆ B if and only if A ∩ B = A;
- A ⊆ B if and only if A ∪ B = B;
- A ⊆ B if and only if B′ ⊆ A′;
- A ⊆ B if and only if A \ B = {};
- A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B.
References
- Edward Huntington (1904) "Sets of independent postulates for the algebra of logic," Transactions of the American Mathematical Society 5: 288-309.
- Whitesitt, J. E. (1961) Boolean Algebra and Its Applications. Addison-Wesley. Dover reprint, 1999.
