유효 숫자(significand) (역시 가수(mantissa) 또는 계수(coefficient), 때때로 역시 인수(argument) 또는 분수(fraction))는 과학 표기법(scientific notation)의 숫자 또는 부동-점 숫자(floating-point number)에서 숫자의 부분이며, 그것의 유효 자릿수(significant digit)로 구성됩니다. 지수(exponent)의 해석에 따라, 유효 숫자는 정수(integer) 또는 분수(fraction)를 나타낼 수 있습니다. 단어 가수(mantissa)는 프린스턴(Princeton)에서 고급 연구에 대한 학회(Institute for Advanced Study)에서 쓰인 1946년 아서 벅스(Arthur Burks)에 의해 소개되어 온 것으로 보이지만, 그 단어의 이러한 사용은 IEEE 부동-점 표준(IEEE floating-point standard) 위원회와 마찬가지로 표준의 창시자, 윌리엄 카한(William Kahan)과 같은 일부 전문가, 및 역시 저명한 프로그래머이자 The Art of Computer Programming의 저자, 도널드 커누스(Donald E. Knuth)에 의해 권장되지 않습니다.
Example
숫자 123.45는 유효 숫자로 정수 12345를 사용하고, 역시 지표(characteristic)이라고도 불리는, \(10^{-2}\) 거듭제곱을 갖는 십진수(decimal) 부동-점 숫자로 나타낼 수 있으며, 여기서 −2는 지수입니다 (그리고 10은 밑수입니다). 그것의 값은 다음 산술에 의해 주어집니다:
\(\quad 123.45 = 12345 \times 10^{-2}\)
이 같은 값은 분수의 계수로 1.2345, 및 지수로 +2 (및 밑수로 10)을 갖는 정규화된 형식(normalized form)으로 나타낼 수 있습니다:
\(\quad 123.45 = 1.2345 \times 10^{+2}.\)
슈미트(Schmid)는, 어쨌든, 이 포맷을 1.0과 10 사이의 범위에서 유효 숫자를 갖는 수정된 정규화 형식(modified normalized form)이라고 불렀습니다.
밑수 2에 대해, 이 1.xxxx 형식은 역시 정규화된 유효숫자(normalized significand)로 불립니다.
마지막으로, 그 값은 언어 독립 산술(Language Independent Arithmetic) 표준과 Ada(에이다), C, 포트란(Fortran) 및 모듈러-2(Modula-2)를 포함하는 여러 프로그래밍 언어 표준에 의해 제공되는 다음 포맷에서 표시될 수 있습니다:
\(\quad 123.45 = 0.12345 \times 10^{+3}.\)
슈미트는 0.1과 1.0 사이의 범위에서 유효숫자를 갖는 이 표시를 참 정규화된 형식(true normalized form)이라고 불렀습니다.
이 후자 0.xxxx 형식은 정규화된 유효숫자(normed significand)라고 불립니다.
Significands and the hidden bit
정규화된 숫자(normalized number)에 대해, 최상위 유효-숫자는 항상 비-영입니다. 이진수(binary)로 작업할 때, 이것은 이 자릿수를 항상 1로 고유하게 결정합니다; 그러한 것처럼, 숨겨진 비트(hidden bit)라고 불리는 것이 명시적으로 저장될 필요가 없습니다. 유효-숫자는 (이진(binary)) 자릿수의 그것의 너비에 의해 특징지을 수 있고, 문맥에 따라, 숨겨진 비트는 유효숫자의 너비를 향해 세어지거나 세어지지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 같은 IEEE 754 두 배-정밀도(double-precision) 포맷은 공통적으로 숨겨진 비트를 포함하는 53-비트 유효-숫자 또는 숨겨진 비트를 제외하고 52-비트 유효숫자를 갖는 것으로 기술됩니다. IEEE 754는 정밀도 p를 임의의 암시적 선행 비트 (예를 들어, 두 배-정밀도 포맷에 대해 p = 53)을 포함하는 유효-숫자에서 자릿수의 숫자인 것으로 정의하고, 인코딩된 것을 나타내는 항 (즉, 그것의 선행 비트없이 유효숫자)는 후행하는 유효-숫자 필드(trailing significand field)입니다.
Use of "mantissa"
미국 영어에서, 이것에 대해 원래 단어는 mantissa(가수)인 것 (Burks et al.)으로 보이고, 이 사용법은 컴퓨팅에서 및 컴퓨터 과학자들(computer scientists) 사이에서 공통적으로 남아 있습니다. 어쨌든, 그 용어 유효-숫자(significand)는 1967년 조지 포올사이(George Forsythe)와 클리브 몰러(Cleve Moler)에 의해 도입되었고, 이 목적에 대해 mantissa의 사용은 IEEE 부동-점 표준(IEEE floating-point standard) 위원회에 의해 및 윌리엄 카한(William Kahan)과 도널드 커누스(Donald E. Knuth)와 같은 일부 전문가에 의해 권장되지 않는데, 왜냐하면 그것은 로그(logarithm)의 분수 부분(fractional part)에 대해 mantissa의 이미-존재하는 사용과 충돌하기 때문입니다 (상용 로그(common logarithm)를 역시 참조하십시오) 예를 들어, 커누스는 위의 예제에서 세 번째 표현 \(0.12345 \times 10^{+3}\)을 채택하고 0.12345를 숫자의 분수(fraction) 부분이라고 부릅니다; 그는 덧붙였습니다: "이 개념은 로그와 관련하여 상당히 다른 의미를 가지기 때문에, 분수 부분을 가수로 부르는 것은 용어를 남용하는 것입니다."
그 혼란은 과학적 표기법과 부동-점 표시가 로그가 아니라 로그-선형이기 때문입니다. 두 숫자를 곱하기 위해, 그들의 로그가 주어지면, 우리는 지표 (정수 부분)과 가수 (분수 부분)을 그냥 더합니다. 반대로, 두 부동-점 숫자를 곱하기 위해, 우리는 지수 (이것이 로그임)를 더하고 유효-숫자 (이것이 선형임)를 곱합니다.
See also
