수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 반-연속성 (semi-continuity 또는 semicontinuity)은 연속성(continuity)보다 더 약한 확장된 실수(extended real)-값 함수(function)의 속성입니다. 확장된 실수-값 함수 f는 만약, 대략적으로 말하면, \(x_0\) 근처의 인수에 대해 함수 값이 \(f(x_0)\)보다 훨씬 더 높지 (각각, 더 낮지) 않은 점 \(x_0\)에서 위쪽 (각각, 아래쪽) 반-연속입니다.
함수는 연속인 것과 그것이 위쪽- 및 아래쪽-반연속적인 것과 필요-충분 조건입니다. 만약 우리가 연속 함수를 취하고 특정 점 \(x_0\)에서 그것의 값을 \(f(x_0)+c\) (일부 양의 상수 c에 대해)로 증가하면, 그 결과는 위쪽-반연속입니다; 만약 우리가 그것의 값을 \(f(x_0)-c\)로 감소하면, 그 결과는 아래쪽-반연속입니다.
Examples
다음에 의해 조각별(piecewise)로 정의된 함수 f를 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle f(x) = \begin{cases}
-1 & \mbox{if } x < 0,\\
1 & \mbox{if } x \geq 0
\end{cases} \)
이 함수는 \(x_0=0\)에서 위쪽 반-연속이지만, 아래쪽 반-연속은 아닙니다.
닫힌 집합(closed set)의 지시 함수(indicator function)는 위쪽 반-연속이지만, 열린 집합(open set)의 지시 함수는 아래쪽 반-연속입니다. 주어진 실수 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 반환하는 바닥 함수(floor function) \(\displaystyle f(x)=\lfloor x \rfloor\)는 모든 곳에서 위쪽 반-연속입니다. 유사하게, 천장 함수(ceiling function) \(\displaystyle f(x)=\lceil x \rceil\)은 아래쪽 반-연속입니다.
함수는 왼쪽 또는 오른쪽 연속(left or right continuous)인 것없이 위쪽 또는 아래쪽 반-연속일 수 있습니다. 예를 들어, 다음 함수는,
\(\quad\displaystyle f(x) = \begin{cases}
1 & \mbox{if } x < 1,\\
2 & \mbox{if } x = 1,\\
1/2 & \mbox{if } x > 1,
\end{cases} \)
x = 1에서 위쪽 반-연속인데, 왜냐하면 그곳에서 그것의 값이 그것의 이웃에서 그것의 값보다 더 높기 때문입니다. 어쨌든, 그것은 왼쪽 연속도 아니고 오른쪽 연속도 아닙니다: 왼쪽으로부터 극한은 1과 같고 오른쪽으로부터 극한은 1/2와 같으며, 그것의 양쪽은 함수 값 2와 다릅니다. 만약 f가 수정되면, 즉, f(1) = 0로 설정함으로써, 그것은 아래쪽 반-연속입니다.
비슷하게 다음 함수는
\(\quad\displaystyle f(x) = \begin{cases}
\sin(1/x) & \mbox{if } x \neq 0,\\
1 & \mbox{if } x = 0,
\end{cases}\)
x = 0에서 위쪽 반-연속이지만, 영에서 왼쪽 또는 오른쪽으로부터 함수 극한은 심지어 존재하지 않습니다.
만약 \(\displaystyle X=\mathbb R^n\)가 유클리드 공간 (또는 보다 일반적으로, 메트릭 공간)이고 \(\displaystyle \Gamma=C([0,1],X)\)가 (상한 거리(supremum distance) \(\displaystyle d_\Gamma(\alpha,\beta)=\sup_t\ d_X(\alpha(t),\beta(t)\)를 갖는) \(\displaystyle X\)에서 곡선(curve)의 공간이면, 각 곡선 \(\displaystyle \alpha\)에 그것의 길이(length) \(\displaystyle L(\alpha)\)를 할당하는, 길이 함수형 \(\displaystyle L:\Gamma\to[0,+\infty]\)은 아래쪽 반-연속입니다.
\(\displaystyle (X,\mu)\)를 측정 공간으로 놓고 \(\displaystyle L^+(X,\mu)\)는 \(\displaystyle \mu\)에 관한 측정에서 수렴(convergence in measure)의 토폴로지를 부여한 양의 측정-가능 함수의 집합을 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음 파투의 보조정리(Fatou's lemma)에 따르면, \(\displaystyle L^+(X,\mu)\)에서 \(\displaystyle [-\infty,+\infty]\)까지의 연산자로 보이는, 적분은 아래쪽 반-연속입니다.
Formal definition
\(\displaystyle X\)가 토폴로지적 공간(topological space)이고, \(\displaystyle x_0\)가 \(\displaystyle X\)에서 한 점이고 \(\displaystyle f\colon X \to \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \}\)가 확장된 실수-값 함수라고 가정합니다.
우리는 \(\displaystyle f\)가 만약 모든 각 \(\displaystyle y > f(x_0)\)에 대해 모든 \(\displaystyle x \in U\)에 대해 \(\displaystyle f(x) < y\)를 만족하는 \(\displaystyle x_0\)의 이웃(neighborhood) \(\displaystyle U\)가 존재하면 \(\displaystyle x_0\)에서 위쪽 반-연속이라고 말합니다. 메트릭 공간의 특별한 경우에 대해, 이것은 다음으로 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \limsup_{x\to x_{0}} f(x)\le f(x_0)\)
여기서 \(\displaystyle \limsup\)는 (점 \(\displaystyle x_0\)에서 함수 \(\displaystyle f\)의) 극한 상부(limit superior)입니다. (비-메트릭 공간에 대해, 네트(net)를 사용하는 동등한 정의가 말할 수 있습니다.)
함수 \(\displaystyle f\)는 만약 그것이 그것의 도메인(domain)의 모든 각 점에서 위쪽 반-연속이면 위쪽 반-연속이라고 불립니다. 함수가 위쪽 반-연속인 것과 \(\displaystyle \{x \in X: ~f(x) < y\}\)가 모든 각 \(\displaystyle y \in \mathbb{R}\)에 대해 열린 집합(open set)인 것은 필요충분 조건입니다.
우리는 \(\displaystyle f\)가 만약 모든 각 \(\displaystyle y<f(x_0)\)에 대해 \(\displaystyle U\)에서 모든 \(\displaystyle x\)에 대해 \(\displaystyle y < f(x)\)를 만족하는 \(\displaystyle x_0\)의 이웃(neighborhood) \(\displaystyle U\)가 존재하면 아래쪽 반-연속이라고 말합니다. 동등하게, 메트릭 공간의 경우에서, 이것은 다음으로 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \liminf_{x\to x_0} f(x)\ge f(x_0)\)
여기서 \(\displaystyle \liminf\)는 (점 \(\displaystyle x_0\)에서 함수 \(\displaystyle f\)의) 극한 하부(limit inferior)입니다.
함수 \(\displaystyle f\)는 만약 그것이 그것의 도메인의 모든 각 점에서 아래쪽 반-연속이면 아래쪽 반-연속이라고 불립니다. 함수가 아래쪽 반-연속인 것과 \(\displaystyle \{x\in X : ~f(x)>y\}\)가 모든 각 \(\displaystyle y \in \mathbb{R}\)에서 열린 집합(open set)인 것은 필요충분 조건입니다; 동등하게, 함수가 아래쪽 반-연속인 것과 그것의 아래쪽 수준 집합(level set) \(\displaystyle \{x\in X: ~f(x)\leq y\}\)의 모두가 닫힌 것(closed)은 필요충분 조건입니다. 아래쪽 수준 집합은 역시 부분-수준 집합(sublevel sets) 또는 trenches라고 불립니다.
Properties
함수가 \(x_0\)에서 연속(continuous)인 것과 그것이 그곳에서 위쪽 및 아래쪽 둘 다 반-연속인 것은 필요충분 조건입니다. 그러므로, 반-연속성은 연속성을 입증하기 위해 사용될 수 있습니다.
만약 f와 g가 \(x_0\)에서 위쪽 및 아래쪽 둘 다 반-연속인 두 실수-값 함수이면, f + g도 그렇습니다. 만약 두 함수가 비-음수이면, 곱 함수 fg는 \(x_0\)에서 역시 위쪽 반-연속일 것입니다. 같은 것은 \(x_0\)에서 아래쪽 반-연속인 함수에 대해 유지됩니다.
위쪽 반-연속 함수 f와 g의 합성(composition) f∘g는 반드시 위쪽 반-연속일 필요는 없지만, 만약 f가 역시 비-감소이면, f∘g는 위쪽 반-연속입니다.
양의 위쪽 반-연속 함수에 음수를 곱하면 아래쪽 반-연속 함수로 바뀝니다.
만약 C가 컴팩트 공간(compact space) (예를 들어, 닫힌(closed), 경계진(bounded) 구간(interval) [a, b])이고 f : C → [–∞,∞)가 위쪽 반-연속이면, f는 C에서 최댓값을 가집니다. (–∞,∞]-값 아래쪽 반-연속 함수와 최솟값에 대해 유사한 명제는 역시 참입니다. (증명에 대해 극단 값 정리(extreme value theorem)에 대한 기사를 참조하십시오.)
\(f_i : X \to [-\infty, \infty]\)가 비-빈 집합 I에서 모든 각 인덱스 i에 대해 아래쪽 반-연속 함수임을 가정하고, f를 점별 상한(supremum), 즉, 다음으로 정의합니다:
\(\quad\displaystyle f(x)=\sup_{i\in I}f_i(x),\qquad x\in X.\)
그런-다음 f는 아래쪽 반-연속입니다. 심지어 모든 fi가 연속일지라도, f가 연속일 필요는 없습니다: 실제로 균등 공간(uniform space) (예를 들어, 메트릭 공간(metric space))에서 모든 각 아래쪽 반-연속 함수는 연속 함수의 수열의 상한으로 발생합니다.
마찬가지로, 위쪽 반-연속 함수의 임의의 모음의 점별 하한(infimum)은 위쪽 반-연속입니다.
임의의 열린 집합의 지시 함수(indicator function)는 아래쪽 반-연속입니다. 닫힌 집합의 지시 함수는 위쪽 반-연속입니다. 어쨌든, 볼록 해석학에서, 용어 "지시 함수"는 종종 특성 함수(characteristic function)를 참조하고, 임의의 닫힌 집합의 특성 함수는 아래쪽 반연속이고, 임의의 열린 집합의 특성 함수는 위쪽 반-연속입니다.
함수 \(f:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}\)가 아래쪽 반연속인 것과 그것의 에피그래프(epigraph) (그것의 그래프(graph) 위에 또는 위쪽에 놓이는 점의 집합)가 닫힌 것(closed)은 필요충분 조건입니다.
어떤 토폴로지 공간 X에 대해, 함수 f : X→R가 아래쪽 반연속인 것과 그것이 R에서 스콧 토폴로지(Scott topology)에 관한 연속인 것은 필요충분 조건입니다.
임의의 토폴로지 공간 X에서 임의의 위쪽 반연속 함수 f : X→N는 X의 일부 조밀 열린 부분-집합(dense open subset)에서 지역적으로 상수입니다.
유한하게 많은 위쪽 반연속 함수의 최댓값과 최솟값은 위쪽 반연속이고, 같은 것은 아래쪽 반연속 함수의 참을 유지합니다.
See also
References
- Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergence and efficiency of subgradient methods for quasiconvex minimization". Mathematical Programming, Series A. Vol. 90, no. 1. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 1–25. doi:10.1007/PL00011414. ISSN 0025-5610. MR 1819784.
- Puterman, Martin L. (2005). Markov Decision Processes Discrete Stochastic Dynamic Programming. Wiley-Interscience. pp. 602. ISBN 978-0-471-72782-8.
- Moore, James C. (1999). Mathematical methods for economic theory. Berlin: Springer. p. 143. ISBN 9783540662358.
- "Baire theorem". Encyclopedia of Mathematics.
Further reading
- Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review. 59 (4): 703–766. arXiv:1601.00390. doi:10.1137/16M1060947.
- Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 1–4. Springer. ISBN 0-201-00636-7.
- Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 5–10. Springer. ISBN 3-540-64563-2.
- Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. (2003). Counterexamples in analysis. Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
- Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.
