수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 반-연속성 (semi-continuity 또는 semicontinuity)은 연속성(continuity)보다 더 약한 확장된 실수(extended real)-값 함수(function)의 속성입니다. 확장된 실수-값 함수 f는 만약, 대략적으로 말하면,
함수는 연속인 것과 그것이 위쪽- 및 아래쪽-반연속적인 것과 필요-충분 조건입니다. 만약 우리가 연속 함수를 취하고 특정 점
Examples
다음에 의해 조각별(piecewise)로 정의된 함수 f를 생각해 보십시오:
이 함수는
닫힌 집합(closed set)의 지시 함수(indicator function)는 위쪽 반-연속이지만, 열린 집합(open set)의 지시 함수는 아래쪽 반-연속입니다. 주어진 실수 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 반환하는 바닥 함수(floor function)
함수는 왼쪽 또는 오른쪽 연속(left or right continuous)인 것없이 위쪽 또는 아래쪽 반-연속일 수 있습니다. 예를 들어, 다음 함수는,
x = 1에서 위쪽 반-연속인데, 왜냐하면 그곳에서 그것의 값이 그것의 이웃에서 그것의 값보다 더 높기 때문입니다. 어쨌든, 그것은 왼쪽 연속도 아니고 오른쪽 연속도 아닙니다: 왼쪽으로부터 극한은 1과 같고 오른쪽으로부터 극한은 1/2와 같으며, 그것의 양쪽은 함수 값 2와 다릅니다. 만약 f가 수정되면, 즉, f(1) = 0로 설정함으로써, 그것은 아래쪽 반-연속입니다.
비슷하게 다음 함수는
x = 0에서 위쪽 반-연속이지만, 영에서 왼쪽 또는 오른쪽으로부터 함수 극한은 심지어 존재하지 않습니다.
만약
Formal definition
우리는
여기서
함수
우리는
여기서
함수
Properties
함수가
만약 f와 g가
위쪽 반-연속 함수 f와 g의 합성(composition) f∘g는 반드시 위쪽 반-연속일 필요는 없지만, 만약 f가 역시 비-감소이면, f∘g는 위쪽 반-연속입니다.
양의 위쪽 반-연속 함수에 음수를 곱하면 아래쪽 반-연속 함수로 바뀝니다.
만약 C가 컴팩트 공간(compact space) (예를 들어, 닫힌(closed), 경계진(bounded) 구간(interval) [a, b])이고 f : C → [–∞,∞)가 위쪽 반-연속이면, f는 C에서 최댓값을 가집니다. (–∞,∞]-값 아래쪽 반-연속 함수와 최솟값에 대해 유사한 명제는 역시 참입니다. (증명에 대해 극단 값 정리(extreme value theorem)에 대한 기사를 참조하십시오.)
그런-다음 f는 아래쪽 반-연속입니다. 심지어 모든 fi가 연속일지라도, f가 연속일 필요는 없습니다: 실제로 균등 공간(uniform space) (예를 들어, 메트릭 공간(metric space))에서 모든 각 아래쪽 반-연속 함수는 연속 함수의 수열의 상한으로 발생합니다.
마찬가지로, 위쪽 반-연속 함수의 임의의 모음의 점별 하한(infimum)은 위쪽 반-연속입니다.
임의의 열린 집합의 지시 함수(indicator function)는 아래쪽 반-연속입니다. 닫힌 집합의 지시 함수는 위쪽 반-연속입니다. 어쨌든, 볼록 해석학에서, 용어 "지시 함수"는 종종 특성 함수(characteristic function)를 참조하고, 임의의 닫힌 집합의 특성 함수는 아래쪽 반연속이고, 임의의 열린 집합의 특성 함수는 위쪽 반-연속입니다.
함수
어떤 토폴로지 공간 X에 대해, 함수 f : X→R가 아래쪽 반연속인 것과 그것이 R에서 스콧 토폴로지(Scott topology)에 관한 연속인 것은 필요충분 조건입니다.
임의의 토폴로지 공간 X에서 임의의 위쪽 반연속 함수 f : X→N는 X의 일부 조밀 열린 부분-집합(dense open subset)에서 지역적으로 상수입니다.
유한하게 많은 위쪽 반연속 함수의 최댓값과 최솟값은 위쪽 반연속이고, 같은 것은 아래쪽 반연속 함수의 참을 유지합니다.
See also
References
- Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergence and efficiency of subgradient methods for quasiconvex minimization". Mathematical Programming, Series A. Vol. 90, no. 1. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 1–25. doi:10.1007/PL00011414. ISSN 0025-5610. MR 1819784.
- Puterman, Martin L. (2005). Markov Decision Processes Discrete Stochastic Dynamic Programming. Wiley-Interscience. pp. 602. ISBN 978-0-471-72782-8.
- Moore, James C. (1999). Mathematical methods for economic theory. Berlin: Springer. p. 143. ISBN 9783540662358.
- "Baire theorem". Encyclopedia of Mathematics.
Further reading
- Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review. 59 (4): 703–766. arXiv:1601.00390. doi:10.1137/16M1060947.
- Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 1–4. Springer. ISBN 0-201-00636-7.
- Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of Mathematics: General Topology, 5–10. Springer. ISBN 3-540-64563-2.
- Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. (2003). Counterexamples in analysis. Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
- Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.