수학(mathematics)과 물리학(physics)에서, 스칼라 필드(scalar field)는 단일 숫자를 공간 – 아마도 물리적 공간에서 모든 각 점에 결합하는 함수(function)입니다. 스칼라는 순수하게 수학적 숫자 (무차원)이거나 스칼라 물리적 양 (단위를 가짐)일 수 있습니다.
물리적 맥락에서, 스칼라 필드는 참조 프레임 선택과 독립적이어야 합니다. 즉, 같은 단위를 사용하는 임의의 두 관찰자는 각각의 원점에 관계없이 공간 (또는 시공간)에서 같은 절대 점에서 스칼라 필드의 값에 일치할 것입니다. 물리학에서 사용되는 예제는 공간 전체의 온도 분포, 유체에서 압력 분포, 및 힉스 필드(Higgs field)와 같은 스핀-없는 양자 필드를 포함합니다. 이들 필드는 스칼라 필드 이론(scalar field theory)의 주제입니다.
Definition
수학적으로, 영역 U 위의 스칼라 필드는 U 위의 실수-값 함수 또는 복소-값 함수 또는 분포입니다. 영역 U는 일부 유클리드 공간, 민코프스키 공간, 또는 더 일반적으로 매니폴드의 부분집합에서 집합일 수 있고, 연속적이거나 종종 어떤 순서로 연속적으로 미분-가능함을 만족하는 필드 위에 추가적 조건을 부과하는 것이 수학에서 전형적입니다. 수학에서 필드에 추가 조건을 부과하여 연속적이거나 종종 어떤 순서로 연속적으로 미분 가능하도록 합니다. 스칼라 필드는 차수 영의 텐서 필드이고, "스칼라 필드"라는 용어는 이러한 종류의 함수를 보다 일반적인 텐서 필드, 밀도, 또는 미분 형식(differential form)과 구별하기 위해 사용될 수 있습니다.
수학적으로, 영역 U 위의 스칼라 필드는 U 위의 실수-값 함수 또는 복소-값 함수 또는 분포입니다. 영역 U는 일부 유클리드 공간, 민코프스키 공간, 또는 더 일반적으로 매니폴드의 부분집합에서 집합일 수 있고, 연속적이거나 종종 어떤 순서로 연속적으로 미분-가능함을 만족하는 필드 위에 추가적 조건을 부과하는 것이 수학에서 전형적입니다. 수학에서 필드에 추가 조건을 부과하여 연속적이거나 종종 어떤 순서로 연속적으로 미분 가능하도록 합니다. 스칼라 필드는 차수 영의 텐서 필드이고, "스칼라 필드"라는 용어는 이러한 종류의 함수를 보다 일반적인 텐서 필드, 밀도, 또는 미분 형식(differential form)과 구별하기 위해 사용될 수 있습니다.
Uses in physics
물리학에서, 스칼라 필드는 종종 특정 힘(force)과 결합된 퍼텐셜 에너지(potential energy)를 설명합니다. 힘은 퍼텐셜 에너지 스칼라 필드의 그래디언트(gradient)의 인수로 얻을 수 있는 벡터 필드(vector field)입니다. 예제는 다음을 포함합니다:
- 뉴턴의 중력 퍼텐셜, 또는 정전기에서 전기적 퍼텐셜과 같은 퍼텐셜 필드는 더 친숙한 힘을 설명하는 스칼라 필드입니다.
- 기상학에서 사용되는 것과 같은 온도, 습도, 또는 압력 필드.
Examples in quantum theory and relativity
- 양자 필드 이론(quantum field theory)에서, 스칼라 필드는 스핀-0 입자와 결합됩니다. 스칼라 필드는 실수 또는 복소-값일 수 있습니다. 복소 스칼라 필드는 하전된 입자를 나타냅니다. 이것들은 표준 모델(Standard Model)의 힉스 필드(Higgs field)와 마찬가지로 강력한 핵 상호 작용(strong nuclear interaction)을 매개하는 하전된 파이온(pions)을 포함합니다.
- 기본 입자의 표준 모델(Standard Model)에서, 스칼라 힉스 필드(Higgs field)는 유카와 상호작용(Yukawa interaction)과 자발적인 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)의 조합을 통해 경입자(leptons)와 거대 벡터 보손(massive vector bosons)의 질량을 제공하기 위해 사용됩니다. 이 메커니즘은 힉스 메커니즘(Higgs mechanism)으로 알려져 있습니다. 힉스 보손(Higgs boson)의 후보는 2012년 CERN에서 처음 발견되었습니다.
- 중력의 스칼라 이론(scalar theories of gravitation)에서, 스칼라 필드는 중력 필드를 설명하기 위해 사용됩니다.
- 스칼라-텐서 이론(Scalar–tensor theories)은 텐서와 스칼라를 통한 중력 상호 작용을 나타냅니다. 그러한 시도는 예를 들어 칼루차–클라인 이론(Kaluza–Klein theory)과 브랜스-딕 이론(Brans–Dicke theory)의 일반화로서의 요르단(Jordan) 이론입니다.
- 힉스 필드와 같은 스칼라 필드는 표준 모델(Standard Model)의 힉스 필드를 스칼라 필드로 사용하여 스칼라-텐서 이론 내에서 찾을 수 있습니다. 이 필드는 그것을 통해 질량을 얻는 입자와 중력과 유카와(Yukawa)-같은 (짧은-범위) 상호 작용합니다.
- 스칼라 필드는 이 텐서의 양자 이상 현상의 균형을 맞추지만 스트링의 등각 대칭을 깨는 딜라톤(dilaton) 필드로 초끈 이론 내에서 발견됩니다.
- 스칼라 필드는 초기 우주의 높은 가속 팽창 (인플레이션)을 야기했다고 가설을 세워, 지평선 문제(horizon problem)를 해결하는 데 도움이 되고 우주론의 사라지지 않는 우주적 상수(cosmological constant)에 대해 가설적 이유를 제공합니다. 이 문맥에서 질량-없는 (즉, 긴-범위) 스칼라 필드는 인플라톤(inflaton)으로 알려져 있습니다. 대규모 (즉, 짧은-범위) 스칼라 필드도 예를 들어 힉스-같은 필드를 사용하여 제안됩니다.
Other kinds of fields
- 공간에서 모든 각 점에 벡터(vector)를 결합하는 벡터 필드(Vector fields). 벡터 필드(vector fields)의 몇 가지 예제는 기상학에서 전자기 필드와 공기 흐름 (바람)을 포함합니다.
- 공간에서 모든 각 점에 텐서(tensor)를 결합하는 텐서 필드(Tensor fields). 예를 들어, 일반 상대성(general relativity)에서 중력은 아인슈타인 텐서(Einstein tensor)라는 텐서 필드와 결합됩니다. 칼루차–클라인 이론(Kaluza–Klein theory)에서, 시공간은 5차원으로 확장되고 그것의 리만 곡률 텐서(Riemann curvature tensor)는 보통의 4-차원 중력과 전자기 필드(electromagnetic field)에 대한 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)과 동등한 여분의 집합과 "딜라톤(dilaton)"으로 알려진 여분의 스칼라 필드로 분리될 수 있습니다. (딜라톤 스칼라는 끈 이론에서 질량-없는 보손 필드에서도 발견됩니다.)
References
- Apostol, Tom (1969). Calculus. Vol. II (2nd ed.). Wiley.
- "Scalar", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- "Scalar field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Technically, pions are actually examples of pseudoscalar mesons, which fail to be invariant under spatial inversion, but are otherwise invariant under Lorentz transformations.
- P.W. Higgs (Oct 1964). "Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons". Phys. Rev. Lett. 13 (16): 508–509. Bibcode:1964PhRvL..13..508H. doi:10.1103/PhysRevLett.13.508.
- Jordan, P. (1955). Schwerkraft und Weltall. Braunschweig: Vieweg.
- Brans, C.; Dicke, R. (1961). "Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation". Phys. Rev. 124 (3): 925. Bibcode:1961PhRv..124..925B. doi:10.1103/PhysRev.124.925.
- Zee, A. (1979). "Broken-Symmetric Theory of Gravity". Phys. Rev. Lett. 42 (7): 417–421. Bibcode:1979PhRvL..42..417Z. doi:10.1103/PhysRevLett.42.417.
- Dehnen, H.; Frommert, H.; Ghaboussi, F. (1992). "Higgs field and a new scalar–tensor theory of gravity". Int. J. Theor. Phys. 31 (1): 109. Bibcode:1992IJTP...31..109D. doi:10.1007/BF00674344. S2CID 121308053.
- Dehnen, H.; Frommmert, H. (1991). "Higgs-field gravity within the standard model". Int. J. Theor. Phys. 30 (7): 985–998 [p. 987]. Bibcode:1991IJTP...30..985D. doi:10.1007/BF00673991. S2CID 120164928.
- Brans, C. H. (2005). "The Roots of scalar–tensor theory". arXiv:gr-qc/0506063. Bibcode:2005gr.qc.....6063B. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
- Guth, A. (1981). "Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems". Phys. Rev. D. 23 (2): 347–356. Bibcode:1981PhRvD..23..347G. doi:10.1103/PhysRevD.23.347.
- Cervantes-Cota, J. L.; Dehnen, H. (1995). "Induced gravity inflation in the SU(5) GUT". Phys. Rev. D. 51 (2): 395–404. arXiv:astro-ph/9412032. Bibcode:1995PhRvD..51..395C. doi:10.1103/PhysRevD.51.395. PMID 10018493. S2CID 11077875.
