물리학과 공학에서, 결과 힘(resultant force)은 벡터 덧셈을 통해 강체에 작용하는 힘(forces)과 토크(torque)의 시스템을 결합함으로써 얻은 단일 힘과 결합된 토크입니다. 결과 힘, 또는 결과 힘-토크의 정의하는 특징은 원래 힘의 시스템으로 강체에 같은 효과를 가진다는 것입니다. 물체에 작용하는 결과 힘을 계산하고 시각화하는 것은 계산 분석 또는 (충분히 단순한 시스템의 경우에서) 자유 물체 다이어그램(free body diagram)을 통해 수행됩니다.
결과 힘의 응용의 점은 그의 결합된 토크를 결정합니다. 용어 결과 힘은 강체(rigid body)에 작용하는 힘과 토크를 모두 참조하는 것으로 이해되어야 하며, 일부에서는 용어 결과 힘-토크를 사용하는 이유입니다.
Illustration
다이어그램은 간단한 평면 시스템의 결과 힘의 적용의 선(line of application)을 찾기 위한 간단한 그래픽 방법을 보여줍니다:
- 가장 왼쪽 그림에서 실제 힘 \(\displaystyle {\scriptstyle \vec{F}_{1}}\) 및 \(\displaystyle \scriptstyle \vec{F}_{2}\)의 적용의 선이 교차합니다. 벡터 덧셈(vector addition)이 "\(\displaystyle \scriptstyle \vec{F}_{1}\)의 위치에서" 수행된 후, 얻은 알짜 힘(net force)은 그것의 적용의 선이 공통 교차 점을 통과하도록 평행이동됩니다. 그 지점과 관해 모든 토크는 영이므로, 결과 힘 \(\displaystyle \scriptstyle \vec{F}_{R}\)의 토크는 실제 힘의 토크 합과 같습니다.
- 다이어그램 중간에 있는 그림은 두 개의 평행 실제 힘을 보여줍니다. 벡터 덧셈이 "\(\displaystyle \scriptstyle\vec{F}_{2}\)의 위치에서" 수행된 후, 알짜 힘은 적절한 적용의 선으로 평행이동되며, 그것이 결과 힘 \(\displaystyle \scriptstyle \vec{F}_{R}\)이 됩니다. 그 절차는 적용의 선 (옅은 점선)이 한 점 (소위 그림의 오른쪽에 임의적으로 설정된 극점)에서 교차하는 구성 요소로 모든 힘의 분해를 기반으로 합니다. 그런-다음 이전 경우로부터 요지가 힘과 그것들의 구성 요소를 토크 관계를 시연하기 위해 적용됩니다.
- 가장 오른쪽 그림은 알짜 힘의 양이 0인 두 개의 같지만 반대인 힘, 한 쌍을 보여주지만, 그것들은 알짜 토크 \(\displaystyle \scriptstyle\tau = Fd \)를 생성하며, 여기서 \(\displaystyle \scriptstyle d \)는 적용의 선 사이의 거리입니다. 결과 힘이 없기 때문에 이것은 "순수한" 토크입니다.
Bound vector
물체에 가해지는 힘은 적용의 점을 가집니다. 힘의 효과는 적용의 점에 따라 다릅니다. 이러한 이유로 힘은 적용의 점에 구속되어 있음을 의미하는 경계 벡터(bound vector)라고 불립니다.
같은 점에 가해지는 힘은 물체에 같은 효과를 얻기 위해 함께 더할 수 있습니다. 어쨌든, 다른 적용의 점을 갖는 힘은 함께 더할 수 없고 물체에 같은 효과를 유지할 수 없습니다.
물체에 순수한 토크를 생성하는 두 개의 서로 다른 적용의 점에서 같고 반대되는 힘을 도입함으로써 힘의 적용의 점을 변경하는 것은 간단한 문제입니다. 이러한 방식으로, 몸체에 작용하는 모든 힘은 결합된 토크를 갖는 같은 적용의 점으로 이동될 수 있습니다.
강체에 대한 힘의 시스템은 힘을 같은 적용의 점으로 이동하고 결합된 토크를 계산함으로써 결합됩니다. 이들 힘과 토크의 합은 결과 힘-토크를 산출합니다.
Associated torque
만약 점 R이 n개의 힘 \(\mathbf{F}_i\)의 시스템의 결과 힘 F의 적용의 점으로 선택되면, 결합된 토크 T는 다음 공식에서 결정됩니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{F} = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i,\)
그리고
\(\quad\displaystyle \mathbf{T} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{R}_i-\mathbf{R})\times \mathbf{F}_i. \)
결과 힘의 적용의 점 R은 결합된 토크의 값 변경 없이 F의 동작의 선(line of action)을 따라 어디든 있을 수 있다는 점에 유의하는 것이 유용합니다. 이를 확인하기 위해 결합된 토크 계산에서 적용의 점 R에 벡터 kF를 더하십시오:
\(\quad\displaystyle \mathbf{T} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{R}_i-(\mathbf{R}+k\mathbf{F}))\times \mathbf{F}_i. \)
이 방정식의 오른쪽 변은 T에 대해 원래 공식과 kF를 포함하는 더해진 항으로 분리될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{T} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{R}_i-\mathbf{R})\times \mathbf{F}_i - \sum_{i=1}^n k\mathbf{F}\times \mathbf{F}_i=\sum_{i=1}^n (\mathbf{R}_i-\mathbf{R})\times \mathbf{F}_i,\)
왜냐하면 두 번째 항이 영이기 때문입니다. 이것을 보이기 위해 F는 다음을 생성하는 벡터 \(\mathbf{F}_i\)의 합이라는 것을 주목하십시오:
\(\quad\displaystyle \sum_{i=1}^n k\mathbf{F}\times \mathbf{F}_i = k\mathbf{F}\times(\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i )=0,\)
따라서 결합된 토크의 값은 변경되지 않습니다.
Torque-free resultant
결합된 토크가 영임을 만족하는 적용의 점 R이 있는지 여부를 고려하는 것이 유용합니다. 이 점은 다음 속성에 의해 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{R} \times \mathbf{F} = \sum_{i=1}^n \mathbf{R}_i \times \mathbf{F}_i, \)
여기서 F는 결과 힘이고 \(\mathbf{F}_i\)는 힘의 시스템을 형성합니다.
R에 대한 이 방정식은 오른쪽 변에 있는 개별 토크의 합이 F에 수직인 벡터를 산출하는 경우에만 해를 가집니다. 따라서, 힘의 시스템이 토크-없는 결과 힘을 가지는 조건은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{F}\cdot(\sum_{i=1}^n \mathbf{R}_i \times \mathbf{F}_i )=0.\)
만약 이 조건이 만족되면 순수한 힘을 초래하는 결과 힘에 대한 적용의 점이 있습니다. 이 조건이 만족되지 않으면, 힘의 시스템에는 모든 각 적용의 점에 대한 순수한 토크가 포함됩니다.
Wrench
강체에 작용하는 힘과 토크는 렌치(wrench)라고 하는 한 쌍의 벡터로 조합될 수 있습니다. 만약 힘과 토크의 시스템이 결과 힘 F와 결과 토크 T를 가지면, 전체 시스템은 힘 F와 토크 T를 산출하는 임의적인 위치한 커플로 대체될 수 있습니다. 일반적으로, 만약 F와 T가 직교이면, \(\displaystyle \mathbf{R}\times\mathbf{F} = \mathbf{T} \)임을 만족하는 방사형 벡터 R을 도출할 수 있으며, 변위 R에서 작용하는 단일 힘 F가 시스템을 대체할 수 있음을 의미합니다. 만약 시스템이 영-힘이면 (토크만 있으면), 그것은 스크류(screw)라고 이름-짓고 수학적으로 스크류 이론(screw theory)으로 공식화됩니다.
힘 \(\mathbf{F}_i\) i=1,...,n의 시스템에서 얻은 강체의 결과 힘과 토크는 단순히 개별 렌치 \(W_i\)의 합이며, 즉,
\(\quad\displaystyle \mathsf{W} = \sum_{i=1}^n \mathsf{W}_i = \sum_{i=1}^n (\mathbf{F}_i, \mathbf{R}_i\times\mathbf{F}_i). \)
각각 점 A와 B에서 작용하는 두 개의 같지만 반대인 힘 F와 –F의 경우에서, 결과 W=(F-F, A×F - B× F) = (0, (A-B)×F)를 산출함을 주목하십시오. 이것은 W=(0, T) 형식의 렌치가 순수한 토크로 해석될 수 있음을 보여줍니다.
References
- H. Dadourian, Analytical Mechanics for Students of Physics and Engineering, Van Nostrand Co., Boston, MA 1913
- R. M. Murray, Z. Li, and S. Sastry, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press, 1994
- R. S. Ball, The Theory of Screws: A study in the dynamics of a rigid body, Hodges, Foster & Co., 1876
- J. M. McCarthy and G. S. Soh, Geometric Design of Linkages. 2nd Edition, Springer 2010
