반복하는 십진수(repeating decimal 또는 recurring decimal)는 그것의 자릿수(digits)가 (규칙적인 간격으로 그것의 값을 반복하는) 주기적(periodic)이고 무한하게(infinitely) 반복된 부분은 영(zero)이 아닌 숫자의 십진 표현(decimal representation)입니다. 그것은 숫자가 유리수(rational)인 것과 그것의 십진 표현이 반복하거나 종료하는 (즉, 유한하게 많은 자릿수를 제외한 모든 숫자가 영임) 것은 필용충분 조건임을 보여줍니다. 예를 들어, \(\tfrac13\)의 십진 표현은 십진 점(decimal point) 바로 다음에 주기적이 되고, 영원히 한 자릿수 "3"이 반복되며, 즉 0.333...입니다. 보다 복잡한 예제는 \(\tfrac{3227}{555}\)이며, 그것의 십진수가 십진 점 아래에 두 번째 자릿수에서 주기적이 되고 그런-다음 수열 "144"를 영원히 반복하며, 즉 5.8144144144...입니다. 현재, 반복하는 십진에 대해 단일의 보편적으로 수용된 표기법 또는 어구는 없습니다.
무한하게 반복된 자릿수 수열은 반복마디(repetend 또는 reptend)라고 불립니다. 만약 반복마디가 영이면, 이 십진 표현은 반복하는 십진이 아니라 종료하는 십진(terminating decimal)으로 불리는데, 왜냐하면 영은 생략될 수 있고 십진수는 이들 영들 전에 종료하기 때문입니다. 모든 각 종료하는 십진 표현은, 그것의 제수(divisor)가 10의 거듭제곱(power)인 분수 (예를 들어 \(1.585 = \tfrac{1585}{1000}\)), 십진 분수(decimal fraction)로 쓸 수 있습니다; 그것은 형식 \(\tfrac{k}{2^n 5^m}\)의 비율(ratio) (예를 들어 \(1.585 = \tfrac{317}{2^3 5^2}\))로 역시 쓸 수 있습니다. 어쨌든, 종료하는 십진 표현을 가진 모든 각 숫자는 그것의 반복마디가 자릿수 9인 반복하는 십진으로 두 번째, 대안적인 표현을 역시 자명하게 가집니다. 이것은 마지막 (가장-오른쪽) 비-영 자릿수에서 일을 감소하고 9의 반복마디를 덧붙임으로써 얻습니다. 1.000... = 0.999... 및 1.585000... = 1.584999...는 이것의 두 예제입니다. (반복하는 십진의 이 유형은 만약 우리가 보통 나눗셈 알고리듬(division algorithm)의 수정된 형식을 사용하면 긴 나눗셈에 의해 얻어질 수 있습니다.)
두 정수(integer)의 비율(ratio)로 표현될 수 없는 임의의 숫자는 무리수(irrational)라고 말합니다. 그것들의 십진 표현은 종료되지도 않고 무한히 반복되지도 않지만 규칙적인 반복없이 영원히 확장됩니다. 그러한 무리수의 예제는 2의 제곱근(square root of 2)과 π입니다.
Background
Notation
반복하는 십진수를 표현하기 위한 여러 표기법이 있습니다. 그들 중 어느 것도 보편적으로 받아들여지지 않습니다.
- 미국(United States), 캐나다(Canada), 인도(India), 프랑스(France), 독일(Germany), 스위스(Switzerland), 체코(Czechia), 및 슬로바키아(Slovakia)에서, 관례는 반복마디 위에 수평선 (괄선(vinculum))을 그리는 것입니다. (아래 테이별, 괄선 열의 예제를 참조하십시오.)
- 영국(United Kingdom), 뉴질랜드(New Zealand), 호주(Australia), 한국(South Korea) 및 중국 본토(mainland China)에서, 관례는 반복마디의 가장-바깥쪽 숫자 위에 점을 배치하는 것입니다. (아래 테이블, 점들 열의 예제를 참조하십시오.)
- 유럽(Europe)의 일부와 베트남(Vietnam)에서, 관례는 괄호(parentheses)로 반복마디를 감싸는 것입니다. (아래 테이블, 괄호 열의 예제를 참조하십시오.) 이것은 표준 불확실성(standard uncertainty)에 대해 표기법과 혼동의 원인이 될 수 있습니다.
- 스페인(Spain)과 일부 라틴 아메리카(Latin America) 국가에서, 반복마디 위에 호 표기법이 괄선과 점 표기법의 대안으로 역시 사용됩니다. (아래 테이블, 호 열의 예제를 참조하십시오.)
- 비공식적으로, 반복하는 십진은 종종 생략부호(ellipsis) (마침표 3개, 0.333...)에 의해 표시되며, 특히 이전의 표기법적 관례가 학교에서 처음 가르칠 때 더욱 그렇습니다. 이 표기법은 어떤 숫자가 반복되어야 하는지 및 심지어 반복이 발생하는지에 대한 불확실성을 도입하는데, 왜냐하면 그러한 생략부호는 3.14159...와 같은 무리수(irrational number)에 대해 역시 사용되기 때문입니다. (아래 테이블, 생략부호 열에서 예제를 참조하십시오.)
영어에서, 반복하는 십진을 소리내어 읽는 다양한 방법이 있습니다. 예를 들어, \(1.2\overline{34}\)는 "일 점 이 반복하는 삼 사", "일 점 이 반복된 삼 사", "일 점 이 순환하는 삼 사", "일 점 이 반복마디 삼 사"또는 "일 점 이 무한하게 삼 사"로 읽힐 수 있습니다.
Decimal expansion and recurrence sequence
분수로 표현된 유리수(rational number)를 십진 형식으로 변환하기 위해, 우리는 긴 나눗셈(long division)을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 유리수 \(\tfrac{5}{74}\)를 생각해 보십시오:
각 단계에서 우리는 나머지를 가짐을 관찰합니다; 위에 표시된 연속적인 나머지는 56, 42, 50입니다. 우리가 나머지로 50에 도달하고, "0"을 아래로 내릴 때, 우리는 500을 74로 나누는 것이 우리가 시작했던 것과 같은 문제임을 스스로 발견합니다. 따라서, 십진수는 반복합니다: 0.0675675675....
Every rational number is either a terminating or repeating decimal
임의의 주어진 제수에 대해, 오직 유한하게 많은 다른 나머지가 발생할 수 있습니다. 위의 예제에서, 74 가능한 나머지는 0, 1, 2, ..., 73입니다. 만약 나눗셈에서 임의의 지점에서 그 나머지가 0이면, 확장은 해당 지점에서 종료됩니다. 그런-다음 반복마디의 길이는, 역시 "주기"라고 불리며, 0으로 정의됩니다.
만약 0이 나머지로 절대 발생하지 않으면, 나눗셈 과정은 영원히 계속되고, 결국 나머지는 이전에 발생했었던 것이 발생해야 합니다. 나눗셈에서 다음 단계는 몫에서 같은 새로운 자릿수, 및 같은 새로운 나머지를 산출하는데, 왜냐하면 이전 시기에 그 나머지가 같았었기 때문입니다. 그러므로, 이어지는 나눗셈은 같은 결과를 반복할 것입니다. 반복하는 자릿수의 수열은 "반복마디"로 불리며 이것은 0보다 큰 특정 길이를 가지고, 역시 "주기"라고 불립니다.
Every repeating or terminating decimal is a rational number
각 반복하는 십진수는 정수 계수를 갖는 선형 방정식(linear equation)을 만족시키고, 그것의 고유한 해는 유리수입니다. 후자 관점을 묘사하기 위해, 위의 숫자 α = 5.8144144144...는 방정식 10000α − 10α = 58144.144144... − 58.144144... = 58086을 만족시키며, 그것의 해는 \(\alpha = \tfrac{58086}{9990} = \tfrac{3227}{555}\)입니다. 이들 정수 계수를 찾기 위한 방법의 과정은 아래에 설명됩니다.
Table of values
그것에 따라서 L은 반복마다의 길이입니다.
Fractions with prime denominators
2 또는 5가 아닌 소수(prime) 분모(즉, 10과 서로소(coprime))를 갖는 가장 낮은 항(in lowest terms)에서 분수는 항상 반복하는 십진수를 생성합니다. \(\tfrac{1}{p}\)의 반복마디 (반복하는 십진 분절의 주기)의 길이는 10 모듈로 p의 차수(order)와 같습니다. 만약 10이 원시 근(primitive root) 모듈로 p이면, 반복마디 길이는 p − 1과 같습니다; 만약 그렇지 않으면, 반복마디 길이는 p − 1의 인수입니다. 이 결과는 \(10^{p-1} \equiv 1\) (mod p)임을 말하는 페르마의 작은 정리(Fermat's little theorem)로부터 추론될 수 있습니다.
5보다 더 큰 임의의 소수의 역의 밑수-10 반복마디는 9로 나뉩니다.
만약 소수 p에 대해 \(\tfrac{1}{p}\)의 반복마디 길이는 p − 1와 같으면, 반복마디는, 정수로 표현되며, 순환 숫자(cyclic number)라고 불립니다.
목록은 분수 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193, 등을 계속해서 포함할 수 있습니다. (OEIS에서 수열 A001913).
순환 숫자의 모든 각 적절한 배수 (즉, 자릿수의 같은 숫자를 가지는 배수)는 회전입니다:
- 1/7 = 1 × 0.142857... = 0.142857...
- 2/7 = 2 × 0.142857... = 0.285714...
- 3/7 = 3 × 0.142857... = 0.428571...
- 4/7 = 4 × 0.142857... = 0.571428...
- 5/7 = 5 × 0.142857... = 0.714285...
- 6/7 = 6 × 0.142857... = 0.857142...
순환 동작에 대해 이유는 1/7의 긴 나눗셈의 산술 연습으로부터 명백합니다: 순차적 나머지는 순환 수열 {1, 3, 2, 6, 4, 5}입니다. 이 순환 숫자의 더 많은 속성에 대해 역시 기사 142,857를 참조하십시오.
순환적인 분수는 따라서 구의 보수(nines' complement) 형식에서 두 수열로 나뉘는 짝수 길이의 반복하는 십진수를 가집니다. 예를 들어 \(\tfrac17\)는 '142'로 시작하고 '857'가 뒤따라오지만, (회전에 의해) \(\tfrac67\)은 '857'로 시작하고 그것의 구의 보수 '142'가 뒤따릅니다.
적절한 소수는 밑수 10에서 자릿수 1로 끝나고 밑수 10에서 그것의 역이 길이 p − 1을 갖는 반복마디를 가지는 소수 p입니다. 그러한 소수에서, 각 자릿수 0, 1,..., 9는 반복하는 수열에서 각 다른 자릿수와 배수의 같은 숫자 (즉, \(\tfrac{p-1}{10}\) 배)를 나타냅니다. 그것들은 다음입니다:
- 61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (OEIS에서 수열 A073761).
소수가 적절한 소수인 것과 그것이 전체 반복마디 소수(full reptend prime) 및 1 모드 10과 일치(congruent)하는 것은 필요충분 조건입니다.
만약 소수 p가 전체 반복마디 소수(full reptend prime)이고 안전 소수(safe prime)이면, \(\tfrac{1]{p}\)는 p − 1 유사-무작위 자릿수(pseudo-random digits)의 숫자열을 생성할 것입니다. 그들 소수는 다음입니다:
- 7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823,... (OEIS에서 수열 A000353).
Other reciprocals of primes
순환 숫자를 생성하지 않는 소수의 일부 역수는 다음입니다:
그 이유는 3이 9의 약수, 11은 99의 약수, 41은 99999의 약수, 등인 것입니다. \(\tfrac{1}{p}\)의 주기를 구하기 위해, 우리는 소수 p가 자릿수의 숫자가 p − 1로 나누는 것에서 일부 숫자 999...999를 나누는지 여부를 검사할 수 있습니다. 그 주기는 결코 p − 1보다 더 클 수 없으므로, 우리는 이것을 \(\tfrac{10^{p-1}-1}{p}\)를 계산함으로써 ㅣ얻을 수 있습니다. 예를 들어, 11에 대해 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad \frac{10^{11-1}-1}{11}= 909090909\)
그런-다음 검사를 통해 반복마디 09와 2의 주기를 찾습니다.
소수의 그들 역수는 반복되는 십진의 여러 수열과 연관될 수 있습니다. 예를 들어, \(\tfrac{1}{13}\)의 배수는 다른 반복마디와 함께 두 집합으로 나뉠 수 있습니다. 첫 번째 집합은 다음입니다:
- 1/13 = 0.076923...
- 10/13 = 0.769230...
- 9/13 = 0.692307...
- 12/13 = 0.923076...
- 3/13 = 0.230769...
- 4/13 = 0.307692...,
여기서 각 분수의 반복마다는 076923의 주기적 재-배열입니다. 두 번째 집합은 다음입니다:
- 2/13 = 0.153846...
- 7/13 = 0.538461...
- 5/13 = 0.384615...
- 11/13 = 0.846153...
- 6/13 = 0.461538...
- 8/13 = 0.615384...,
여기서 각 분수의 반복마디는 153846의 주기적 재-배열입니다.
일반적으로, 소수 p의 역수의 적절한 배수의 집합은, 반복마디 길이 k를 갖는 각각의, n 부분집합을 구성하며, 여기서 nk = p − 1입니다.
Totient rule
임의의 정수 n에 대해, \(\tfrac{1}{n}\)의 반복마디의 길이 λ(n)는 φ(n)을 나누며, 여기서 φ는 토션트 함수(totient function)입니다. 그 길이가 φ(n)과 같은 것과 10이 원시 근 모듈로 n(primitive root modulo n)인 것은 필요충분 조건입니다.
특히, λ(p) = p − 1인 것과 p가 소수이고 10이 주요 근 모듈로 p인 것은 필요충분(iff) 조건임을 따릅니다. 그런-다음, n = 1, 2, ..., p − 1에 대해 \(\tfrac{n}{p}\)의 십진 확장, 모두는 주기 p − 1를 가지고 오직 주기적 순열과 다릅니다. 그러한 숫자 p는 완전 반복마디 소수(full repetend prime)라고 불립니다.
Reciprocals of composite integers coprime to 10
만약 p가 2 또는 5가 아닌 소수이면, 분수 \(\tfrac{1}{p^2}\)의 십진 표현은 반복합니다:
\(\quad \tfrac{1}{\mathbf{49}} = 0.\overline{020408163265306122448979591836734693877551}.\)
주기 (반복마디 길이)는 λ(49) = 42의 인수이어야 하며, 여기서 λ(n)는 카마이클 함수(Carmichael function)로 알려져 있습니다. 이것은 만약 n이 양의 정수이면 λ(n)이 n과 서로소(coprime)인 모든 각 정수 a에 대해 다음을 만족하는 가장 작은 정수 m이라고 말하는 카마이클의 정리(Carmichael's theorem)를 따릅니다.
\(\quad a^m \equiv 1\quad (\text{mod} n)\).
\(\tfrac{1}{p^2}\)의 주기는 보통 \(pT_p\)이며, 여기서 \(T_p\)는 \(\tfrac{1}{p}\)의 주기입니다. 이것이 참이 아닌 것에 대해 세 개의 알려진 소수가 있고, 그것들에 대해 \(\tfrac{1}{p^2}\)의 주기는 \(\tfrac{1}{p}\)의 주기와 같은데 왜냐하면 \(p^2\)은 \(10^{p-1}-1\)을 나누기 때문입니다. 이들 세 소수는 3, 487, 및 56598313입니다 (OEIS에서 수열 A045616).
비슷하게, \(\tfrac{1}{p^k}\)의 주기는 보통 \(p^{k-1}T_p\)입니다.
만약 p와 q가 2 또는 5가 아닌 소수이면, 분수 \(\tfrac{1}{pq}\)의 십진 표현은 반복합니다. 예제는 \(\tfrac{1}{119}\)입니다:
\(\quad \mathbf{119} = 7\times 17\)
\(\quad \lambda(7\times 17) = \text{LCM}(\lambda(7), \lambda(17)) = \text{LCM}(6,16)=48\),
여기서 LCM은 최소 공통 배수(least common multiple)를 나타냅니다.
\(\tfrac{1}{pq}\)의 주기 T는 λ(pq)의 인수이고 그것이 이 경우에서 48로 발생합니다:
\(\quad \tfrac{1}{119}= 0.\overline{008403361344537815126050420168067226890756302521}\).
\(\tfrac{1}{pq}\)의 주기 T는 \(\text{LCM} (T_q, T_q)\)이며, 여기서 \(T_p\)는 \(\tfrac{1}{p}\)의 주기이고 \(T_q\)는 \(\tfrac{1}{q}\)의 주기입니다.
만약 p, q, r, 등이 2 또는 5가 아닌 소수이고, k, l, m, 등이 양의 정수이면, 다음은
\(\quad\displaystyle \frac{1}{p^k q^l r^m \cdots}\)
다음의 주기를 갖는 반복하는 십진입니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{LCM}(T_{p^k}, T_{q^l}, T_{r^m}, \ldots)\)
여기서 \(T_{p^k}, T_{q^l}, T_{r^m},...\)는 각각 위에서 정의된 것처럼 반복하는 십진 \(\tfrac{1}{p^k}, \tfrac{1}{q^l}, \tfrac{1}{r^m},...\)의 주기입니다.
Reciprocals of integers not co-prime to 10
10과 서로소가 아니지만 2 또는 5가 아닌 소수 인수를 가지는 정수는 결국 주기적인 역수를 가지지만, 반복하는 부분의 앞에 나서는 자릿수의 비-반복하는 수열을 가집니다. 그 역수는 다음으로 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{2^a 5^b p^k q^l \cdots}\, ,\)
여기서 a와 b는 둘 다 영은 아닙니다.
이 분수는 역시 만약 a > b이면 다음으로,
\(\quad\displaystyle \frac{5^{a-b}}{10^a p^k q^l \cdots}\, ,\)
또는 만약 b > a이면 다음으로,
\(\quad\displaystyle \frac{2^{b-a}}{10^b p^k q^l \cdots}\, ,\)
또는 만약 a = b이면 다음으로 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{10^a p^k q^l \cdots}\, \).
십진은 다음을 가집니다:
- 십진 점 후에 max(a, b) 자릿수의 초기 과도 현상. 과도 현상에서 자릿수의 일부 또는 전부는 영일 수 있습니다.
- 분수 \(\tfrac{1}{p^k q^l \cdots}\)에 대한 것과 같은 후속 반복마디.
예를 들어 \(\tfrac{1}{28} = 0.03\overline{571428}\):
- a = 2, b = 0, 및 다른 인수들 \(p^k q^l \cdots = 7\)
- 2 초기 비-반복하는 자릿수, 03이 있습니다; 그리고
- 6 반복하는 자릿수, 571428가 있습니다, \(\tfrac17\)과 같은 양을 가집니다.
Converting repeating decimals to fractions
반복하는 십진이 주어지면, 그것을 생성하는 분수를 계산하는 것이 가능합니다. 예를 들어:
\(\quad\displaystyle \begin{alignat}{1}
x &= 0.333333\ldots\\
10x &= 3.333333\ldots\quad&\text{(multiplying each side of the above line by 10)}\\
9x &= 3 &\text{(subtracting the 1st line from the 2nd)}\\
x &= \frac39 = \frac13 &\text{(reducing to lowest terms)}\\
\end{alignat}\)
또 다른 예제:
\(\quad\displaystyle \begin{alignat}{1}
x &= \ \ \ \ 0.836363636\ldots\\
10x &= \ \ \ \ 8.36363636\ldots\quad&\text{(multiplying by a power of 10 to move decimal to start of repetition)}\\
1000x &= 836.36363636\ldots &\text{(multiplying by a power of 100 to move decimal to end of first repeating decimal)}\\
990x &= 828 &\text{(subtracting to clear decimals)}\\
x &= \frac{828}{990} = \frac{18 \times 46}{18 \times 55} = \frac{46}{55}.
\end{alignat}\)
A shortcut
아래 절차는 특히 만약 반복마디가 n 자릿수를 가지며, 마지막 숫자가 1인 것을 제외하고 그것의 모두가 0이면 적용될 수 있습니다. 예를 들어, n = 7에 대해:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
x &= 0.000000100000010000001\ldots \\
10^7x &= 1.000000100000010000001\ldots \\
\left(10^7-1\right)x=9999999x &= 1 \\
x &= \frac{1}{10^7-1} = \frac{1}{9999999}
\end{align}\)
따라서 이 특별한 반복하는 십진은 분수 \(\tfrac{1}{10^n -1}\)에 해당하며, 여기서 분모는 n 자릿수 9로 쓰인 숫자입니다. 단지 그것을 알면, 일반적인 반복하는 십진은 방정식을 푸는 것없이 분수로 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 다음과 같이 추론할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
7.48181818\ldots & = 7.3 + 0.18181818\ldots \\[8pt]
& = \frac{73}{10}+\frac{18}{99} = \frac{73}{10} + \frac{9\times2}{9\times 11}
= \frac{73}{10} + \frac{2}{11} \\[12pt]
& = \frac{11\times73 + 10\times2}{10\times 11} = \frac{823}{110}
\end{align}
\)
십진 점 바로 뒤에서 시작하는 n-자릿수 주기 (반복마디 길이)를 갖는 반복하는 십진을 분수로 표현하는 일반적인 공식을 얻는 것이 가능합니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
x &= 0.\overline{a_1 a_2 \cdots a_n} \\
10^n x &= a_1 a_2 \cdots a_n.\overline{a_1 a_2 \cdots a_n} \\
\left(10^n - 1\right)x = 99 \cdots 99x &= a_1 a_2 \cdots a_n \\
x &= \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{10^n - 1} = \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{99 \cdots 99}
\end{align}\)
보다 명시적으로, 우리는 다음과 같은 경우를 얻습니다:
만약 반복하는 십진이 0과 1 사이이고, 반복하는 블록이 n 자릿수 길이이고, 십진 점 바로 뒤에 처음으로 발생하면, 분수는 (반드시 감소된 것은 아니며) n-자리 블록에 의해 표현된 정수를 n 자릿수 9로 나눈 것일 것입니다. 예를 들어,
- 0.444444... = \(\tfrac49\) 왜냐하면 반복하는 블록이 4 (1-자리 블록)이기 때문입니다.
- 0.565656... = \(\tfrac{56}{99}\) 왜냐하면 반복하는 블록이 56 (2-자리 블록)이기 때문입니다.
- 0.012012... = \(\tfrac{12}{999}\) 왜냐하면 반복하는 블록이 012 (3-자리 블록)이기 때문입니다; 이것은 나아가서 4/333로 감소됩니다.
- 0.999999... = \(\tfrac99\) = 1, 왜냐하면 반복하는 블록이 9 (역시 1-자리 블록)이기 때문입니다.
만약 반복하는 십진이 위에서 처럼, 십진 점과 반복되는 n-자리 블록 사이에 k (여분의) 자릿수 0이 있는 것을 제외하고 같으면, 우리는 분모의 n 자릿수 9 뒤에 k 자릿수 0을 단순히 추가할 수 있습니다 (그리고, 이전과 같이, 분수는 후속적으로 단순화될 수 있습니다.) 예를 들어,
- 0.000444... = \(\tfrac{4}{9000}\) 왜냐하면 반복하는 블록은 4이고 이 블록은 3 영들 뒤에 있기 때문입니다.
- 0.005656... = \(\tfrac{56}{9900}\) 왜냐하면 반복하는 블록은 56이고 이 블록은 2 영들 뒤에 있기 때문입니다.
- 0.00012012... = \(\tfrac{12}{99900} = \tfrac{1}{8325}\) 왜냐하면 반복하는 블록은 012이고 그것은 2 영들 뒤에 있기 때문입니다.
위에 설명된 형식이 아닌 임의의 반복 십진은 종료하는 십진과 위의 두 유형 중 하나의 반복하는 십진의 합으로 쓸 수 있습니다 (실제로 첫 번째 유형으로도 충분하지만, 종료하는 십진이 음수임을 요구할 수 있습니다). 예를 들어,
- 1.23444... = 1.23 + 0.00444... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
- 또는 대안적으로 1.23444... = 0.79 + 0.44444... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
- 0.3789789... = 0.3 + 0.0789789... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
- 또는 대안적으로 0.3789789... = −0.6 + 0.9789789... = −6/10 + 978/999 = −5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665
심지어 더 빠른 방법은 십진 점을 완전히 무시하고 다음처럼 진행합니다:
- 1.23444... = 1234 − 123/900 = 1111/900 (분모는 하나의 9와 두 0을 가지는데 왜냐하면 한 자릿수가 반복되고 십진 점 뒤에 두 비-반복하는 숫자가 있기 때문입니다)
- 0.3789789... = 3789 − 3/9990 = 3786/9990 (분모는 세 개의 9와 하나의 0을 가지는데 왜냐하면 세 자릿수가 반복되고 십진 점 뒤에 하나의 비-반복하는 자릿수가 있기 때문입니다)
그것은 period n을 갖는 임의의 반복하는 십진과 반복하는 부분에 속하지 않는 십진 점 뒤의 k 자릿수가 그것의 분모가 \((10^n-1)10^k\)인 분수 (반드시 감소된 것은 아님)로 쓸 수 있음을 따릅니다.
반대로 분수 \(\tfrac{c}{d}\)의 반복하는 십진의 주기는 10n − 1가 d로 나뉠 수 있음을 만족하는 (많아야) 가장 작은 숫자 n일 것입니다.
예를 들어, 분수 \(\tfrac27\)는 d = 7을 가지고, 7로 나누어질 수 있는 \(10^k-1\)를 만드는 가장 작은 k는 k = 6인데, 왜냐하면 999999 = 7 × 142857이기 때문입니다. 분수 \(\tfrac27\)의 주기는 따라서 6입니다.
Repeating decimals as infinite series
반복하는 십진은 역시 무한 급수(infinite series)로 표현될 수 있습니다. 즉, 반복하는 십진은 유리수의 무한 숫자의 합으로 여길 수 있습니다. 가장 간단한 예제를 취하기 위해,
\(\quad\displaystyle 0.\overline{1} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}\)
위의 급수는 첫 항을 \(\tfrac{1}{10}\)로 공통 인수를 \(\tfrac{1}{10}\)로 갖는 기하 급수(geometric series)입니다. 공통 인수의 절댓값이 1보자 작기 때문에, 우리는 기하 급수는 수렴(converges)하고 다음 공식을 사용함으로써 분수의 형식에서 정확한 값을 찾을 수 있다고 말할 수 있습니다. 여기서 a는 급수의 첫 번째 항이고 r은 공통 인수입니다.
\(\quad\displaystyle \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{1}{10-1} = \frac{1}{9}\)
비슷하게,
\(\quad\displaystyle \begin{align}
0.\overline{142857} &= \frac{142857}{10^6} + \frac{142857}{10^{12}} + \frac{142857}{10^{18}} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{142857}{10^{6n}} \\[6px]
\implies &\quad \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{142857}{10^6}}{1-\frac{1}{10^6}} = \frac{142857}{10^6-1} = \frac{142857}{999999} = \frac17
\end{align}\)
Multiplication and cyclic permutation
곱셈에서 반복하는 십진의 순환적 동작은 역시 특정 숫자에 의해 곱해질 때 순환적으로 순열(cyclically permuted)되는 정수의 구성으로 이어집니다. 예를 들어, 102564 × 4 = 410256. 102564는 \(\tfrac{4}{39}\)의 반복마디이고 410256는 \(\tfrac{16}{39}\)의 반복마디입니다.
Other properties of repetend lengths
반복마디 길이 (주기)의 다양한 속성은 미첼과 딕슨에 의해 제공됩니다.
- 정수 k에 대해 \(\tfrac{1}{k}\)의 주기는 항상 ≤ k − 1입니다.
- 만약 p가 소수이면, \(\tfrac{1}{p}\)의 주기는 균등하게 p − 1로 나눕니다.
- 만약 k가 합성수이면, \(\tfrac{1}{k}\)의 주기는 k − 1보다 엄격하게 작습니다.
- k에 서로소 c에 대해, \(\tfrac{c}{k}\)의 주기는 \(\tfrac{1}{k}\)의 주기와 같습니다.
- 만약 \(k=2^a5^bn\)이며, 여기서 n > 1이고 n이 2 또는 5로 나뉘지 않으면, \(\tfrac{1}{k}\)의 과도 현상의 길이는 max(a, b)이고, 주기는 r과 같으며, 여기서 r은 \(10^r \equiv 1\) (mod n)을 만족하는 가장 작은 정수입니다.
- 만약 p, p′, p″,...가 구별되는 소수이면, \(\tfrac{1}{p p' p'' \cdots}\)의 주기는 \(\tfrac{1}{p}, \tfrac{1}{p'}, \tfrac{1}{p''}, ...\)의 주기의 최소 공통 배수와 같습니다.
- 만약 k와 k′이 2 또는 5가 아닌 공통 소수 인수를 가지지 않으면, \(\tfrac{1}{k k'}\)의 주기는 \(\tfrac{1}{k}\)와 \(\tfrac{1}{k'}\)의 주기의 최소 공통 배수 같습니다.
- 소수 p에 대해, 만약 어떤 m에 대해, 다음이지만
- \(\displaystyle \text{period}\left(\frac{1}{p}\right)= \text{period}\left(\frac{1}{p^2}\right)= \cdots = \text{period}\left(\frac{1}{p^m}\right)\)
- 다음이면,
- \(\displaystyle \text{period}\left(\frac{1}{p^m}\right) \ne \text{period}\left(\frac {1}{p^{m+1}}\right),\)
- c ≥ 0에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
- \(\displaystyle \text{period}\left(\frac{1}{p^{m+c}}\right) = p^c \cdot \text{period}\left(\frac{1}{p}\right).\)
- 만약 p가 1에서 끝나는 적절한 소수, 즉, \(\tfrac{1}{p}\)의 반복마디가 길이 p − 1의 순환 숫자이고 어떤 h에 대해 p = 10h + 1이면, 각 자릿수 0, 1, ..., 9은 정확하게 \(h = \tfrac{p-1}{10}\)번 반복마디에서 나타납니다.
반복마디의 일부 다른 속성에 대해, 역시 참조하십시오.
Extension to other bases
반복하는 십진의 다양한 특색은 단지 밑수 10이 아니라, 모든 다른 정수 밑수에서 숫자의 표현으로 확장됩니다:
- 임의의 실수는 정수 부분과 밑수(radix) 점 (십진 점(decimal point)을 비-십진 시스템으로 일반화)에 뒤따르는 유한 또는 무한 자릿수(digits)의 숫자로 표현될 수 있습니다.
- 만약 밑수가 정수이면, 종료하는 수열이 분명히 유리수를 나타냅니다.
- 유리수는 만약 완전히 축소된 분수 형식의 분모의 모든 소수 인수가 역시 밑수의 인수이면, 종료하는 수열을 가집니다. 이들 숫자는 Q와 R에서 조밀한 집합(dense set)을 구성합니다.
- 만약 위치적 숫자 시스템(positional numeral system)이 표준 시스템이면, 즉, 그것은 r := |b|, dr := d1 + r − 1 및 0 ∈ D와 함께, 다음 자릿수의 연속적인 집합과 결합된,
- \(\displaystyle D:=\{d_1, d_1+1, \dots, d_r\}\)
- 다음 밑수를 가지면:
- \(\displaystyle b\in\Z\setminus\{-1,0,1\}\)
- 종료하는 수열은 자릿수 0으로 구성된 비-종료하는 반복하는 부분을 갖는 같은 수열과 분명히 동등합니다. 만약 밑수가 양수이면, 알파벳(alphabet) D에 걸쳐 오른쪽 무한 문자열(right-sided infinite strings)의 사전적 순서(lexicographical order)로부터, \(A_i \in D\)와 \(A_n \neq d_b\)를 갖는 문자열 \(0.A_1 A_2 ...A_n\overline{d_b}\)와 \(0.A_1 A_2 ...(A_n+1)\overline{d_1}\)를 같은 실수로 매핑하는 – 그리고 다른 중복 이미지를 가지지 않는, 실수의 일부 닫힌 구간으로의 순서 준동형(order homomorphism)이 존재합니다. 십진 시스템에서, 예를 들어, 0.9 = 1.0 = 1이 있습니다; 균형된 삼함(balanced ternary) 시스템에서, \(0.\overline{1}=1.\overline{\text{T}}=\tfrac{1}{2}\)이 있습니다.
- 유리수는 만약 감소된 분수의 분모는 밑수의 인수가 아닌 소수 인수를 포함하면 유한 길이 l의 무한하게 반복하는 수열을 가집니다. 만약 q는 밑수와 서로소인 감소된 분모의 최대 인수이면, l은 q가 \(b^l-1\)를 나눔을 만족하는 가장 작은 지수입니다. 그것은 차례로 q보다 더 작은 카마이클 함수(Carmichael function) λ(q)의 제수인 잔여 클래스 b mod q의 곱셈적 순서(multiplicative order) \(\text{ord}_q(b)\)입니다. 반복하는 수열은 만약 감소된 분수가 밑수와 소인 인수를 역시 공유하면 유한 길이의 과도 현상을 앞에 붙여집니다. 다음 반복되는 수열은
- \(\displaystyle (0.\overline{A_1A_2\ldots A_l})_b\)
- 다음 분수를 나타냅니다:
- \(\displaystyle \frac{\left({A_1A_2\ldots A_l}\right)_b}{b^l-1}\).
- 무리수는, 임의의 지점에서, 유한 길이의 무한하게 반복하는 수열이 아닌 무한 길이의 표현을 가집니다.
예를 들어, 십이진법(duodecimal)에서, \(\tfrac12 = 0.6, \tfrac13 = 0.4, \tfrac14 = 0.3\), 및 \(\tfrac16= 0.2\) 모두는 종료합니다; \(\tfrac15 = 0.\overline{2497}\)는 주기 길이 4로 반복하며, 대조적으로 0.2의 동등한 십진 확장을 가집니다; \(\tfrac17 = 0.\overline{186A35}\)는 십이진법에서 주기 6을 가지며, 그것이 십진에서도 그렇습니다.
만약 b가 정수 밑수이고 k가 정수이면,
\(\quad\displaystyle \frac{1}{k} = \frac{1}{b} + \frac{(b-k)^1}{b^2} + \frac{(b-k)^2}{b^3} + \frac{(b-k)^3}{b^4} + \frac{(b-k)^4}{b^5} + \cdots + \frac{(b-k)^{N-1}}{b^N} + \cdots \)
예를 들어, 십이진법에서 \(\tfrac17\):
이것은 (밑수 12에서) \(0.\overline{186A35}\)입니다. 10 (밑수 12)는 12 (밑수 10), \(10^2\) (밑수 12)는 144 (밑수 10), 21 (밑수 12)는 25 (밑수 10), A5 (밑수 12)는 125 (밑수 10), ...
Algorithm for positive bases
유리수 \(0 < \tfrac{p}{q} < 1\) (그리고 밑수 \(b \in \mathbf{N}_{>1}\))에 대해, 그것의 길이와 함께 반복마디르 생성하는 다음 알고리듬이 있습니다:
function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
static digits = "0123..."; // up to the digit with value b–1
begin
s = ""; // the string of digits
pos = 0; // all places are right to the radix point
while not defined(occurs[p]) do
occurs[p] = pos; // the position of the place with remainder p
bp = b*p;
z = floor(bp/q); // index z of digit within: 0 ≤ z ≤ b-1
p = b*p − z*q; // 0 ≤ p < q
if p = 0 then L = 0; return (s); end if
s = s.substring(digits, z, 1); // append the character of the digit
pos += 1;
end while
L = pos - occurs[p]; // the length of the repetend (being < q)
// mark the digits of the repetend by a vinculum:
for i from occurs[p] to pos-1 do
substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
end for
return (s);
end function노란색으로 강조표시된 첫 번째 줄은 자릿수 z를 계산합니다.
그 뒤의 줄은 나눗셈 모듈로(modulo) 분모 q의 새로운 나머지 p′을 계산합니다. 바닥 함수(floor function) floor의 결과로, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \frac{b p}{q} - 1 \; \; < \; \; z = \left\lfloor \frac{b p}{q} \right\rfloor \; \; \le \; \; \frac{b p}{q} , \)
따라서
\(\quad\displaystyle b p - q < z q \quad \implies \quad p' := b p - z q < q \)
및
\(\quad\displaystyle z q \le b p\quad \implies \quad 0 \le b p - z q =: p' \,.\)
모든 이들 나머지 p는 q보다 작은 비-음의 정수이기 때문에, 그것들이 while 루프에서 회귀해야 하는 결과를 갖는 그것들의 오직 유한 숫자일 수 있습니다. 그러한 회귀는 연관 배열(associative array) occurs에 의해 탐지됩니다. 새로운 자릿수 z는 노란 죽에서 형성되며, 여기서 p는 오직 비-상수입니다. 반복마디의 길이 L은 나머지의 숫자와 같습니다 (역시 섹션 모든 각 유리수는 종료하거나 반복하는 십진입니다(Every rational number is either a terminating or repeating decimal)을 참조하십시오).
Applications to cryptography
반복하는 십진 (역시 십진 수열로 불림)은 암호화 및 오류-수정 코딩 응용 프로그램을 발견했습니다. 이들 응용 프로그램에서, 밑수 2로 반복하는 십진이 일반적으로 이진 수열을 생성하는 것에서 사용됩니다. \(\tfrac{1}{p}\)에 대해 최대 길이 이진 수열 (2가 p의 원시 근임)은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle a(i) = 2^{i}~\bmod p ~\bmod 2\)
주기 p − 1의 이들 수열은 \(\tfrac{p-1}{2}\)의 이동에 대해 −1의 음의 피크를 가지는 자동-교정 함수를 가집니다. 이들 수열의 무작위성은 다이하드 테스트(diehard tests)에 의해 검사되어 왔습니다.
See also
