수학(mathematics)에서, 나머지는 일부 계산을 수행한 후 "남은" 양입니다. 산술(arithmetic)에서, 나머지는 정수 몫(quotient)을 생성하기 위해 하나의 정수(integer)를 다른 정수로 나눈(dividing) 후의 "남은" 정수입니다 (정수 나눗셈). 대수(algebra)에서, 나머지는 다항식을 하나의 다항식으로 나눈 후 "남은" 다항식입니다. 모듈로 연산(modulo operation)은 나누어지는-숫자와 나누는-숫자가 주어졌을 때 그러한 나머지를 생성하는 연산입니다.
공식적으로 나머지는 한 숫자를 또 다른 숫자에서 뺀(subtracting) 후에 남은 것이라는 것은 역시 참이지만, 이것은 보다 정확하게 차이라고 불립니다. 이 사용법은 일부 기본 교과서에서 찾아질 수 있습니다; 구어체로 "2달러를 나에게 돌려주고 나머지는 그대로 두십시오."와 같이 "나머지"라는 표현으로 대체됩니다. 어쨌든, 용어 "나머지"는 함수(function)가 급수 전개(series expansion)에 의해 근사화되고 오차 표현 ("남은 것")은 나머지 항(remainder term)으로 참조될 때 이런 의미에서 여전히 사용됩니다.
Integer division
만약 a와 d가 정수(integer)이면, 비-영 d와 함께, a = qd + r 및 0 ≤ r < |d|를 만족하는 고유한 정수 q와 r이 존재함을 입증될 수 있습니다. 숫자 q는 몫(quotient)이라고 불리고, r은 나머지(remainder)라고 불립니다.
이 결과의 증명에 대해 유클리드 나눗셈(Euclidean division)을 참조하고 나머지를 계산하는 방법을 설명하는 알고리듬에 대해 나눗셈 알고리듬(division algorithm)을 참조하십시오.
나머지는, 위에서 언급된 것처럼, 최소 양의 나머지 또는 단순히 나머지라고 불립니다. 정수 a는 d의 배수 또는 d의 연속적인 배수, 즉 q⋅d와 (q + 1)d (양수 q에 대해) 사이의 구간에 놓입니다.
때때로 a가 d의 정수 배수에 최대한 가깝도록 나눗셈을 수행하는 것이 편리합니다. 즉, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:
- a = k⋅d + s, 여기서, 임의의 정수 k에 대해 |s| ≤ |d/2|입니다.
이 경우에서, s는 최소 절대 나머지라고 불립니다. 몫과 나머지와 마찬가지로, k와 s는 d = 2n 및 s = ± n인 경우를 제외하고 고유하게 결정됩니다. 이 예외에 대해 우리는 다음을 가집니다:
- a = k⋅d + n = (k + 1)d − n.
고유한 나머지는 이 경우에서 항상 s의 양의 값을 취하는 것과 같은 일부 규칙에 의해 얻어질 수 있습니다.
Examples
5로 43의 나눗셈에서 우리는 다음을 가집니다:
- 43 = 8 × 5 + 3,
따라서 3은 최소 양의 나머지입니다. 우리는 역시 다음을 가집니다:
- 43 = 9 × 5 − 2,
그리고 −2는 최소 절대 나머지입니다.
이들 정의는 만약 d가 음수이면 역시 유효하며, 예를 들어, −5로 43의 나눗셈에서 그렇습니다.
- 43 = (−8) × (−5) + 3,
그리고 3은 최소 양의 나머지이지만,
- 43 = (−9) × (−5) + (−2)
그리고 −2는 최소 절대 나머지입니다.
5로 42의 나눗셈에서 우리는 다음을 가집니다:
- 42 = 8 × 5 + 2,
그리고 2 < 5/2이므로, 2는 최소 양의 나머지 및 최소 절대 나머지 둘 다입니다.
이들 예제에서, (음의) 최소 절대 나머지는 최소 양의 나머지를 d인 5를 뺌으로써 얻습니다. 이것은 일반적으로 유지됩니다. d로 나눌 때, 두 나머지 모두는 양수이고 따라서 같거나, 그들은 반대 부호를 가집니다. 만약 양의 나머지가 \(r_1\)이고, 음의 나머지가 \(r_2\)이면,
- \(r_1 = r_2 +d\)
For floating-point numbers
a와 d가 부동-점 숫자(floating-point number)이며, 비-영 d와 함께, a는, 몫은 또 다른 부동-점 숫자인 것과 함께, 나머지없이 d로 나누어질 수 있습니다. 만약 몫이 정수로 제한되면, 어쨌든, 나머지의 개념이 여전히 필요합니다. 0 ≤ r < |d|와 함께 a = qd + r를 만족하는 고유한 정수 몫 q와 고유한 부동-점 나머지 r이 존재함을 입증될 수 있습니다.
위에서 설명한 것처럼 부동-점 숫자에 대해 나머지의 정의를 확장하는 것은 수학에서 이론적으로 중요하지 않습니다; 어쨌든, 많은 프로그래밍 언어(programming language)가 이 정의를 구현하며, 모듈로 연산(modulo operation)을 참조하십시오.
In programming languages
정의에 내재된 어려움은 없지만, 음수가 나머지를 계산하는 것에서 포함될 때 일어나는 구현 문제가 있습니다. 다른 프로그래밍 언어는 다른 규칙을 채택했습니다:
- 파스칼(Pascal)은 mod 연산 결과를 양수로 선택하지만, d는 음수 또는 영을 허용하지 않습니다 (따라서, a = (a div d ) × d + a mod d는 항상 유효하지는 않습니다).
- C99는 나누어지는-숫자 a와 같은 부호를 가진 나머지를 선택합니다. (C99 이전에, C 언어는 다른 선택을 허용했습니다.)
- 펄(Perl), 파이션(Python) (오직 최신 버전), 및 Common Lisp은 약수 d와 같은 부호로 나머지를 선택합니다.
- 해스켈(Haskell) 및 스킴(Scheme)은 두 함수, 나머지와 모듈을 제공합니다 – PL/I은 mod 및 rem을 가지지만, 포트란(Fortran)은 mod 및 modulo을 가집니다; 각 경우에서, 전자는 나누어지는-숫자와 부호에서 일치하고, 후자는 나누는-숫자와 일치합니다.
Polynomial division
다항식의 유클리드 나눗셈은 정수의 유클리드 나눗셈(Euclidean division)과 매우 유사하고 다항식 나머지로 이어집니다. 그것의 존재는 다음 정리를 기반으로 합니다: 필드 (특히, 실수(reals) 또는 복소수(complex number))에 걸쳐 정의된 두 개의 일변수 다항식 a(x)와 b(x)가 주어지면 (여기서 b(x)는 영 다항식이 아님), 다음을 만족시키는 두 개의 다항식 q(x) (몫) 및 r(x) (나머지)가 존재합니다:
\(\quad a(x) = b(x)q(x) + r(x)\)
여기서
\(\quad \deg(r(x)) < \deg(b(x)),\)
여기서 "deg(...)"는 다항식의 차수를 나타냅니다 (그의 값이 항상 0인 상수 다항식의 차수는 이 차수 조건이 이것이 나머지일 때 항상 유효하게 되도록 음으로 정의됩니다.) 게다가, q(x)와 r(x)는 이들 관계에 의해 고유하게 결정됩니다.
이것은 정수에 대해, 차수 조건이 나머지 r에 대한 경계로 대체되는 것 (비-음수이고 나누는-숫자보다 작으며, 이것이 r이 고유함을 보장합니다)에서 정수의 유클리드 나눗셈과는 다릅니다. 정수에 대해 및 역시 다항식에 대해 유클리드 나눗셈의 유사성은 유클리드 나눗셈이 유효한 가장 일반적인 대수적 설정에 대해 묻는 것으로 이어집니다. 그러한 정리가 존재하는 링은 유클리드 도메인(Euclidean domain)이라고 불리지만, 이 일반성에서 몫과 나머지의 고유성은 보장되지 않습니다.
다항식 나눗셈은 나머지 정리(Remainder theorem)로 알려진 결과로 이어집니다: 만약 다항식 f(x)가 x − k로 나누어지면, 나머지는 상수 r = f(k)입니다.
See also
References
- Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
- Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
- Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
- Smith, David Eugene (1958) [1925], History of Mathematics, Volume 2, New York: Dover, ISBN 0486204308
Further reading
- Davenport, Harold (1999). The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 25. ISBN 0-521-63446-6.
- Katz, Victor, ed. (2007). The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : a sourcebook. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
- Schwartzman, Steven (1994). "remainder (noun)". The words of mathematics : an etymological dictionary of mathematical terms used in english. Washington: Mathematical Association of America. ISBN 9780883855119.
- Zuckerman, Martin M. Arithmetic: A Straightforward Approach. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.
