수학(mathematics)에서, 비율(ratio)은 한 숫자가 다른 숫자를 몇 번 포함하는지 나타냅니다. 예를 들어, 만약 과일 그릇에 8개의 오렌지와 6개의 레몬이 있으면, 오렌지 대 레몬의 비율은 8 대 6입니다 (즉, 8∶6, 이것은 비율 4∶3과 동등합니다). 비슷하게, 레몬 대 오렌지의 비율은 6∶8 (또는 3∶4)이고 오렌지의 과일 총량에 대한 비율은 8∶14 (또는 4∶7)입니다.
비율에서 숫자는 사람 또는 물체의 셈 또는 길이, 무게, 시간 등의 측정과 같은 임의의 종류의 양일 수 있을 것입니다. 대부분 문맥에서, 숫자 둘 다는 양수로 제한됩니다.
비율은 "a 대 b" 또는 "a∶b"로 쓰인, 구성하는 숫자 둘 다를 제공함으로써, 또는 단지 그들의 몫(quotient) \(\tfrac{a}{b}\)의 값을 제공함으로써 지정될 수 있을 것입니다. 같은 몫은 같은 비율에 해당합니다.
결과적으로, 비율은 숫자의 순서화된 쌍, 분자에서 첫 번째 숫자와 분모로 두 번째 숫자를 가진 분수(fraction), 또는 이 분수에 의해 나타내는 값으로 여길 수 있습니다. (비-영) 자연수(natural number)로 주어진, 셈의 비율은 유리수(rational number)이고 때때로 자연수일 수 있습니다. 두 양이 같은 단위로 측정될 때, 종종 경우에서 처럼, 그 비율은 무차원 숫자(dimensionless number)입니다. 다른 단위로 측정된 두 양의 몫은 율(rate)로 불립니다.
Notation and terminology
숫자 A와 B의 비율은 다음으로 표현될 수 있습니다:[3]
- A 대 B의 비율
- A∶B
- A는 B에 대한 것 ("C가 D에 대한 것처럼"에 의해 따라올 때; 아래를 참조하십시오)
- 분자로 A와 분모로 B를 갖는 분수(fraction), 그것은 몫: A는 B로 나눕니다: \(\tfrac{A}{B}\)를 나타냅니다. 이것은 단순 또는 십진 분수, 또는 백분율 등으로 표현될 수 있습니다.
콜론(colon) (:)은 비율 기호, 유니코드 U+2236 (∶)의 위치에서 종종 사용됩니다.
숫자 A와 B는 때때로 A를 전제(antecedent) 및 B를 결론(consequent)으로 가진 비율의 항(terms of the ratio)으로 불립니다.
두 비율 A∶B 및 C∶D의 같음을 나타내는 명제는 비례(proportion)로 불리며, A∶B = C∶D 또는 A∶B∷C∶D로 씁니다. 이 후자 형식은, 영어로 읽거나 쓰일 때, 종종 다음으로 표현됩니다:
- (C는 D에 대한 것)처럼 (A는 B에 대한 것).
A, B, C 및 D는 비례의 항으로 불립니다. A와 D는 그의 외향(extremes)으로 불리고, B와 C는 그의 내항(means)으로 불립니다. 세 개 이상의 비율의 상등은, A∶B = C∶D = E∶F처럼, 연속된 비례(continued proportion)로 불립니다.
비율은 때때로 세 개 또는 한층 더 많은 항과 함께 사용됩니다. 예를 들어, 10인치 길이인 "2 대 4"의 가장자리 길이에 대한 비례는 그러므로
\(\quad\displaystyle \text{thickness : width : length } = 2:4:10;\)
\(\quad\)(설계없는 측정; 처음 두 숫자는 나무가 매끄럽게 설계될 때 약간 감소됩니다)
좋은 콘크리트 혼합 (부피 단위에서)는 때때로 다음으로 인용됩니다:
\(\quad\displaystyle \text{cement : sand : gravel } = 1:2:4.\)
시멘트의 물에 대한 부피에서 4/1 부분의 (꽤 건조한) 혼합물에 대해, 그것은 시멘트의 물에 대한 비율은 4:1입니다, 물의 4배 많은 시멘트가 있습니다, 또는 시멘트 만큼의 물 쿼터 (1/4)가 있습니다로 말합니다.
두 개보다 많은 항을 갖는 비율의 그러한 비례의 의미는 왼쪽 변에 대한 임의의 두 항의 비율이 오른쪽 변에 대한 해당하는 두 항을 가진 표준 비율을 구성한다는 것입니다.
History and etymology
그것은 고대 그리스(Ancient Greek) λόγος (로고스)에 대한 단어 "비율"의 기원을 추적하는 것이 가능합니다. 초기 번역가는 이것을 라틴어(Latin)에서 ratio ("reason"; 단어 "rational"에서 처럼)로 표현했습니다. 유클리드의 의미의 보다 현대적인 해석은 계산 또는 셈에 더 비슷합니다. 중세의 작가들은 비율을 나타내기 위해 단어 proportio ("proportion")를 사용했고 비율의 같음에 대해 proportionalitas ("proportionality")을 사용했습니다.
유클리드는 이전 출처에서 원론에 나타나는 결과를 수집했습니다. 피타고라스 사람들(Pythagoreans)은 숫자에 적용되는 것으로 비율과 비례의 이론을 발전시켰습니다. 피타고라스 사람들의 숫자의 개념은 오늘날 유리수라고 불리는 것을 오직 포함했으며, 역시 피타고라스 사람들이 발견한, 비-정수-비율-가능 비율 (무리수)이 존재하는 것처럼, 기하학에서 이론의 타당성을 의심합니다. 같은-표준으로-잴-수-있는-가능성을 가정하지 않는 비율의 이론의 발견은 아마도 크니도스의 에우독소스(Eudoxus of Cnidus)에 기인한 것입니다. 원론의 책 VII에 나오는 비례의 이론의 설명은 초기의 같은-표준으로-잴-수 있는 비율의 이론을 반영합니다.
여러 이론의 존재는 현대의 감성에 불필요하게 복잡해 보이는데, 왜냐하면 비율은 대부분 몫으로 식별되기, 크게 확장되기, 때문입니다. 이것은 비교적 최근의 개발인데, 어쨌든, 왜냐하면 현대 기하학 교과서는 여전히 비율과 몫에 대해 구별되는 용어와 표기법을 사용한다는 사실에서 알 수 있기 때문입니다. 이것에 대해 이유는 두 가지입니다. 첫째, 앞에서 언급된 무리수를 참 숫자로 받아들이기를 꺼려했습니다. 둘째, 이미 확립된 비율의 용어를 대체하기 위해 널리 사용되는 상징주의의 부재는 16세기까지 대안으로써 분수의 완전한 수용을 지연시켰습니다.
Euclid's definitions
유클리드의 원론(Euclid's Elements) 책 V은 18 정의를 가지며, 그것의 모두는 비율과 관련이 있습니다. 게다가 유클리드는, 그가 정의에 포함하지 않았던 그러한 공통 사용법에서 아이디어를 사용했습니다. 처음 두 정의는 양의 일부가 그것을 "측정하는" 또 다른 양이며, 반대로 양의 배수는 그것을 측정하는 또 다른 양이라고 말합니다. 현대 용어에서, 이것은 양의 배수는 그 양에 일보다 큰 정수를 곱한 값이고–양의 부분 (나누어지는 부분(aliquot part)을 의미함)은, 일보다 큰 정수를 곱했을 때, 양을 제공하는 부분이라는 의미입니다.
유클리드는 여기에 사용된 용어 "측정하는"을 정의하지 않았으며, 어쨌든, 우리는 만약 하나의 양이 측정의 단위로 취해지고, 두 번째 양이 이들 단위의 정수로 주어지면 첫 번째 양은 두 번째 양을 측정하는 것을 추론할 수 있습니다. 이들 정의는 책 VII에서 정의 3과 5로, 거의 단어에 대해 단어로, 반복됩니다.
정의 3은 일반적인 방법으로 비율이 무엇인지 설명합니다. 그것은 수학적 의미에서 엄격하지 않고 일부는 유클리드 자신이라기 보다는 유클리드의 편집자에게 속하는 것으로 생각되어 왔습니다. 유클리드는 같은 유형의 두 양 사이의 비율을 정의하므로, 이 정의에 의해 두 길이 또는 두 넓이의 비율이 정의되지만, 길이와 영역의 비율은 정의하지 않습니다. 정의 4는 이것을 보다 엄격하게 만듭니다. 그것은, 두 양의 비율은 서로를 초과하는 각각의 배수가 있을 때 존재한다고 말합니다. 현대 표기법에서, 비율은, 만약 정수 m과 n이 존재하면 mp>q 및 nq>p이 되도록 양 p와 q 사이에 비율이 존재합니다. 이 조건은 아르키메데스 속성(Archimedes property)으로 알려져 있습니다.
정의 5는 가장 복잡하고 어렵습니다. 그것은, 두 비율에 대해 같은 것이 무엇을 의미하는지를 정의합니다. 오늘날, 이것은, 항의 몫이 같을 때 비율이 같다고 간단히 말함으로써 행해질 수 있지만, 유클리드는 비-정수-비율-가능 몫의 존재를 받아들이지 않았으므로 그러한 정의는 그에게 무의미했을 것입니다. 따라서, 보다 세밀한 정의가 요구되며 여기서 관련된 양은 서로 직접 측정되지 않습니다. 현대 표기법에서, 같음의 유클리드의 정의는, p, q, r 및 s가 주어지면 p∶q∷r ∶s인 것과 임의의 양의 정수 m과 n에 대해 nr<ms, nr=ms, 또는 nr>ms에 따른, 각각, np<mq, np=mq, 또는 np>mq인 것은 필요충분 조건인 것입니다. 이 정의는 데데킨트 자름과의 밀접한-관계를 가지는 것, 즉, n과 q 둘 다가 양수이고, \(\tfrac{p}{q}\)가 유리수 \(\tfrac{m}{n}\)을 나타내기 때문에 (두 항을 nq로 나누면) np는 mq를 나타내는 것과 밀접한-관계를 가집니다.
정의 6은, 같은 비율을 가지는 양은 비례적 또는 비례하는 것이라고 말합니다. 유클리드는 그리스어 ἀναλόγον (analogon)을 사용하며, 이것은 λόγος와 같은 어근을 가지고 영어 단어 "analog"와 관련됩니다.
정의 7은 한 비율이 다른 비율보다 작거나 크다는 것에 대해 그것이 무엇을 의미하는지 정의하고 정의 5에 제시된 아이디어를 기반으로 합니다. 현대 표기법에서, 그것은, 양 p, q, r 및 s이 주어지면, 만약 np>mq 및 nr≤ms가 되도록 양의 정수 m과 n이 있으면, p∶q>r∶s임을 말합니다.
정의 3과 마찬가지로, 정의 8은 유클리드의 편집자에 의해 나중에 삽입된 것으로 어떤 사람들에게 여겨집니다. 그것은, 세 항 p, q 및 r은 p∶q∷q∶r일 때 비례하는 것으로 정의합니다. 이것은 p∶q∷q∶r∷r∶s일 때, 네 항 p, q, r 및 s으로 확장되고, 계속 마찬가지로 확장됩니다. 연속 항의 비율이 같은 속성을 가지는 수열은 기하 진행(geometric progression)이라고 불립니다. 정의 9와 10은 이것을 적용하며, 만약 p, q와 r이 비례하면 p∶r은 p∶q의 이중 비율(duplicate ratio)이고, 만약 p, q, r과 s가 비례하면 p∶s는 p:q의 삼중 비율(triplicate ratio)이라고 말합니다.
Number of terms and use of fractions
일반적으로, 2-엔터디 비율의 양의 비교는 비율로부터 도출된 분수(fraction)로 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 2∶3의 비율에서, 첫 번째 엔터디의 총양, 크기, 부피, 또는 양은 두 번째 엔터디의 \(\displaystyle \tfrac{2}{3}\)입니다.
만약 2 오렌지와 3 사과가 있으면, 사과에 대한 오렌지의 비율은 2∶3이고, 과일의 전체 개수에 대한 오렌지의 비율은 2∶5입니다. 이들 비율은 역시 분수 형식으로 표현될 수 있습니다: 사과의 2/3만큼 많은 오렌지가 있고, 과일의 개수의 2/5는 오렌지입니다. 만약 오렌지 주스 농축액이 1:4의 비율로 물과 함께 희석되면, 농축액의 한 부분은 물의 4 부분과 혼합하며, 전체 5 부분을 제공합니다; 오렌지 주스 농축액의 총양은 물의 총양의 1/4이며, 반면에 오렌지 주스 농축액의 총양은 전체 액체의 1/5입니다. 비율과 분수 둘 다에서, 그것은 무엇이 무엇과 비교되고 있는지 명확하게 하는 것이 중요하고, 초보자는 종종 이 이유로 실수를 저지릅니다.
분수는 두 개 보다 많은 엔터디를 가진 비율로부터 역시 유추될 수 있습니다. 어쨌든, 두 개 보다 많은 엔터디를 가진 비율은 단일 분수로 완전하게 변환될 수 없는데, 왜냐하면 분수는 오지 두 양을 비교할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 갈라진 분수는 비율로 덮이는 엔터디의 임의의 두 개의 엔터디를 비교하기 위해 사용될 수 있습니다: 예를 들어, 2∶3∶7의 비율로부터, 우리는 두 번째 엔터티의 양은 세 번째 엔터티의 \(\displaystyle \tfrac{3}{7}\) 양임을 추론할 수 있습니다.
Proportions and percentage ratios
만약 우리가 비율에서 관련된 모든 양에 같은 숫자를 곱하면, 비율은 유효하게 남습니다. 예를 들어, 3∶2의 비율은 12∶8과 같습니다. 그것은 항을 최소 공통 분모(lowest common denominator)로 낮추는 것 또는 백개당 부분 (백분율(percent))로 그들을 표현하는 것이 보통입니다.
만약 혼합물이 5∶9∶4∶2의 비율에서 물질 A, B, C 및 D를 포함하면, B의 모든 각 9 부분, C의 4 부분 및 D의 2 부분에 대해 A의 5 부분이 있습니다. 5+9+4+2=20에서 처럼, 총 혼합물은 A의 5/20 (총 20 중 5 부분), B의 9/20, C의 4/20, 및 D의 2/20을 포함합니다. 만약 우리가 전체로 모든 숫자를 나누고 100을 곱하면, 우리는 백분율(percentages): 25% A, 45% B, 20% C, 및 10% D로 변환합니다 (비율을 25:45:20∶10으로 쓰는 것과 동등합니다).
만약 둘 이상의 비율 양이 특정 상황에서 양의 모두를 포함하면, 그것은 "전체"가 부분의 합을 포함하는 것으로 말합니다: 예를 들어 사과 두 개와 오렌지 세 개와 다른 과일이 없는 것을 포함하는 과일 바구니는 두 부분 사과와 세 부분 오렌지로 구성됩니다. 이 경우에서, 전체의 \(\tfrac25\), 또는 40%는 사과이고 전체의 \(\tfrac35\), 또는 60%는 오렌지입니다. "전체"에 대한 특정 수량의 이 비교는 비례로 불립니다.
만약 비율이 오직 두 값으로 구성되면, 그것은 분수, 특히 십진 분수로 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 구형 TV의 4:3 관점 비율(aspect ratio)을 가지며, 이것은 폭이 높이의 4/3임을 의미합니다 (이것은 1.33:1 또는 그냥 두 십진 점에 대해 반올림된 1.33으로 역시 표현될 수 있습니다). 최신 와이드-스크린 TV는 16∶9 관점 비율, 또는 두 십진 점에 대해 반올림된 1.78을 가집니다. 인기있는 와이드-스크린 영화 형식 중 하나는 2.35∶1 또는 단순히 2.35입니다. 비율을 십진 분수로 표현하면 그들의 비교를 단순화합니다. 1.33, 1.78 및 2.35를 비교할 때, 어떤 형식이 더 넓은 이미지를 제공하는지 분명해집니다. 그러한 비교는 높이에 대한 관계에서 항상 폭을 표현하는 것처럼, 비교되는 값이 일치될 때 오직 작동합니다.
Reduction
비율은 각 양을 모든 양의 공통 인수로 나눔으로써 (분수에서 처럼) 감소(reduced)될 수 있습니다. 분수에서 처럼, 가장 간단한 형식은 비율에서 숫자가 가장-작은 가능한 정수인 것으로 여겨집니다.
따라서 비율 40∶60은 비율 2∶3과 의미에서 동등하며, 후자는 두 양을 20으로 나눔으로써 전자에서 얻습니다. 수학적으로, 우리는 40∶60 = 2∶3, 또는 동등하게 40∶60∷2:3으로 씁니다. 그에 언어적 동등은 "2는 3에 대한 것처럼 40은 60에 대한 것입니다."
양의 둘 다에 대해 정수를 가지고 (정수를 사용하여) 임의의 추가적으로 감소될 수 없는 비율은 가장-간단한 형식(simplest form) 또는 가장-낮은 항이라고 말합니다.
때때로 그것은, 다른 비율의 비교를 가능하게 하도록, 형식 1:x 또는 x:1으로 비율을 쓰는 것이 유용하며, 여기서 x는 정수일 필요는 없습니다. 예를 들어, 비율 4∶5는 (양쪽 변을 4로 나눔으로써) 1∶1.25로 쓸 수 있습니다. 대안적으로, 그것은 (양쪽 변을 5로 나눔으로써) 0.8∶1로 쓸 수 있습니다.
여기서 문맥이 의미하는 바가 분명하면, 이 형식에서 비율은 때때로, 비록 수학적으로, 이것이 그것을 인수(factor) 또는 배수(multiplier)를 나타낼지라도, 1과 비율 기호 (∶)없이 쓰입니다.
Irrational ratios
비율이 비-정수-비율-가능(incommensurable) 양 (분수 값으로, 그의 비율이 결과적으로 무리수(irrational number)가 되는 양) 사이에 역시 수립될 수 있을 것입니다. 피타고라스 사람들(Pythagoreans)에 의해 찾은, 가장 초기에 발견된 예제는 정규 사각형(square)의 변 s의 길이에 대한 대각선 d의 길이의 비율, 이것은 2의 제곱근(square root of 2)이며, 공식적으로 \(\displaystyle a:d = 1:\sqrt{2}\)입니다. 또 다른 예제는 지름에 대한 원(circle)의 둘레의 비율이며, 이것은 π로 불리고, 단지 대수적으로 무리수(algebraically irrational number)가 아니라, 초월적 무리수(transcendental irrational)입니다.
역시 잘 알려진 것은 두 개의 (대부분) 길이 a와 b의 황금 비율(golden ratio)이며, 이것은 다음 비례에 의해 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle a:b = (a+b):a \quad\) or, equivalently \(\displaystyle \quad a:b = (1+b/a):1.\)
분수로 비율 및 값 x를 가지는 것으로 \(\displaystyle a:b\)를 취하면, 다음 방정식을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle x=1+\tfrac 1x \quad\) 또는 \(\displaystyle \quad x^2-x-1 = 0,\)
이것은 양의, 무리 해 \(\displaystyle x=\tfrac{a}{b}=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)를 가집니다. 따라서 a와 b 중 적어도 하나는 황금 비율이 되는 그들에 대해 무리수이어야 합니다. 수학에서 황금 비율의 발생의 예제는 두 개의 연속 피보나치 숫자(Fibonacci number)의 비율의 극한하는 값입니다: 비록 모든 이들 비율이 두 정수의 비율이고 그러므로 유리수일지라도, 이들 유리 비율의 수열의 극한은 무리의 황금 비율입니다.
비슷하게, a와 b의 은 비율(silver ratio)은 다음 비례에 의해 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle a:b = (2a+b):a \quad (= (2+b/a):1)\)는 \(\displaystyle x^2-2x-1 = 0\)에 해당합니다.
이 방정식은 양의, 무리 해 \(\displaystyle x = \tfrac{a}{b}=1+\sqrt{2}\)를 가지므로, 다시 은 비율에서 두 양 a와 b 중 적어도 하나는 무리수여야 합니다.
Odds
오즈(Odds) (도박에서 처럼)는 비율로 표현됩니다. 예를 들어, (7∶3)"에 맞서는 3에 대한 7"의 오즈는 사건이 발생할 모든 각 세 기회에 대한 그것이 발생하지 않을 7 기회가 있음을 의미합니다. 성공의 확률은 30%입니다. 모든 각 10 시도에서, 3 승리와 7 손실이 있을 것으로 예상됩니다.
Units
비율은, 그들이 같은 차원(dimension)의 단위에서 양을 관련시키는 경우와 같이, 심지어 그들의 측정 단위(units of measurement)가 초기에 다를지라도, 무단위(unitless)일 수 있을 것입니다. 예를 들어, 비율 1 분 ∶ 40 초는 첫 번째 값을 60 초로 변경함으로써 감소될 수 있습니다. 일단 단위가 같아지면, 그들은 생략될 수 있고, 비율은 3∶2로 감소될 수 있습니다.
다른 한편으로, 역시 율(rates)로 알려진 비-무차원 비율이 있습니다. 화학에서, 질량 농도(mass concentration) 비율은 보통 무게/부피 분수로 표현됩니다. 예를 들어, 3% w/v의 농도는 보통 모든 각 100 mL의 용액에서 3 g의 물질을 의미합니다. 이것은, 무게/무게 또는 부피/부피 분수에서 처럼, 무차원 비율로 변환될 수 없습니다.
Triangular coordinates
꼭짓점(vertices) A, B, 및 C와 변 AB, BC, 및 CA를 가진 삼각형에 관한 점의 위치는 종종 삼각형 좌표로 확장된 비율 형식으로 표현됩니다.
질량-중심 좌표(barycentric coordinates)에서, 좌표 α, β, γ를 가진 점은, 만약 무게가 꼭짓점 위에 놓이고, A와 B에서 무게의 비율이 α ∶ β, B와 C에서 무게의 비율이 β ∶ γ이고, 그러므로 A와 C에서 무게의 비율이 α ∶ γ가 되면, 삼각형의 모양과 크기에서 무중력 금속 시트가 정확하게 균형을 이루는 점입니다.
삼-선형 좌표(trilinear coordinates)에서, 좌표 x :y :z를 가진 점은 비율 x ∶y에서 변 BC (꼭짓점 A로부터 교차)와 변 CA (꼭짓점 B로부터 교차)에 대한 수직(perpendicular) 거리, 비율 y ∶z에서 변 CA와 변 AB (C로부터 교차)에 대한 거리를 가지고, 그러므로 비율 x ∶z에서 변 BC와 AB에 대한 거리를 가집니다.
모든 정보는 비율의 관점에서 표시되므로 (α, β, γ, x, y, 및 z로 표시되는 개별 숫자는 그 자체로는 의미를 가지지 않습니다), 무게-중심 또는 삼-선형 좌표를 사용하여 삼각형 해석은 삼각형의 크기에 관계없이 적용됩니다.
See also
Further reading
- "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
- "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271
- "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff
- The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. pp. 112ff.
- D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Ginn and Company (1925) pp. 477ff. Reprinted 1958 by Dover Publications.