위치적 숫자-표시 시스템(positional numeral systems)에서, 밑 또는 밑수(radix 또는 base)는 숫자를 표현하는 것에 사용되는, 영을 포함하여, 고유한 자릿수(digits)의 숫자입니다. 예를 들어, 십진수(decimal/denary) 시스템 (오늘날 사용에서 가장 공통적인 시스템)에 대해 밑수는 십인데, 왜냐하면 그것은 0부터 9까지의 십의 자릿수를 사용하기 때문입니다.
임의의 표준 위치적 숫자-표시 시스템에서, 숫자는, 자릿수의 문자열(string)로 x와 그것의 밑수로 y를 갖는 \((x)_y\)로 쓰이지만, 밑수 십에 대해 아래첨자가 보통 가정되는데 (그리고 괄호의 쌍과 함께 생략됩니다), 왜냐하면 그것이 값(value)을 표현하기 위해 가장 공통적인 방법이기 때문입니다. 예를 들어, \((100)_{10}\)은 100과 동등하고 (십진 시스템은 후자로 함축됨) 숫자 일백을 나타내고, 반면에 (밑수 2를 갖는 이진 시스템(binary system)에서) \((100)_2\)는 숫자 사를 나타냅니다.
Etymology
Radix는 "root"에 대해 라틴 단어입니다. Root는 산술적 의미에서 base에 대해 동의어로 고려될 수 있습니다.
In numeral systems
밑수 13을 갖는 시스템에서, 예를 들어, 398과 같은 자릿수의 문자열은 (십진) 숫자 \(3 \times 13^2 + 9 \times 13^1 + 8 \times 13^0=632\)를 나타냅니다.
보다 일반적으로, 밑수 b (b > 1)를 갖는 시스템에서, 자릿수 \(d_1 \cdots d_n\)의 문자열은 숫자 \(d_1 b^{n-1}+ d_2 b^{n-2} + \cdots + d_n b^0\)를 나타내며, 여기서 \(0\le d_i < b\)입니다. 십진수, 또는 밑수 10과 달리, 이것은 일의 자리, 십의 지라, 백의 자리, 이런 식으로 가지며, 밑수 b는 일의 자리, 그런-다음 \(b^1\)의 자리, \(b^2\)의 자리, 이런 식으로 가질 것입니다.
공통적으로 사용된 숫자-표시 시스템은 다음을 포함합니다:
팔진법과 십육진법 시스템은 이진법에 대해 속기처럼 쉽기 때문에 컴퓨팅에 자주 사용됩니다. 모든 각 십육진 자릿수는 넷의 이진 자릿수의 수열에 해당하는데, 왜냐하면 십육은 2의 네 번째 거듭제곱이기 때문입니다; 예를 들어, 십육진수 \(78_{16}\)은 이진수 \(111\,1000_2\)입니다. 유사하게, 모든 각 팔진 자릿수는 셋의 이진 자릿수의 고유한 수열에 해당하는데, 왜냐하면 팔은 이의 세제곱이기 때문입니다.
이 표현은 고유합니다. b를 1보다 큰 양의 정수로 놓습니다. 그런-다음 모든 각 양의 정수 a는 다음 형식에서 고유하게 표현될 수 있습니다:
\(\quad a = r_m b^m + r_{m-1} b^{m-1} + \dotsb + r_1 b + r_0\)
여기서 m은 비-음의 정수이고 r은 다음을 만족하는 정수입니다:
\(\quad 0 < r_m < b\) 및 \(0\le r_i < b\)
여기서 \(i=0,1,...,m-1\).
밑수들은 보통 자연수(natural number)입니다. 어쨌든, 다른 위치적 시스템이 가능하며, 예를 들어, 황금 비율 밑수(golden ratio base) (그것의 밑수가 비-정수 대수적 숫자(algebraic number)), 및 음의 밑수(negative base) (그것의 밑수가 음수). 음의 밑수는 빼기 기호의 사용없이 음수의 표현을 허용합니다. 예를 들어, b = −10이라고 놓습니다. 그런-다음 19와 같은 자릿수의 문자열은 (십진) 숫자 \(1 \times (-10)^1 + 9 \times (-10)^0 = -1\)을 나타냅니다.
See also
Notes
- Mano, M. Morris; Kime, Charles (2014). Logic and Computer Design Fundamentals (4th ed.). Harlow: Pearson. pp. 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4.
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- Bertman, Stephen (2005). Handbook to Life in Ancient Mesopotamia (Paperback ed.). Oxford [u.a.]: Oxford Univ. Press. p. 257. ISBN 978-019-518364-1.
- McCoy (1968, p. 75)
- Bergman, George (1957). "A Number System with an Irrational Base". Mathematics Magazine. 31 (2): 98–110. doi:10.2307/3029218. JSTOR 3029218.
- William J. Gilbert (September 1979). "Negative Based Number Systems" (PDF). Mathematics Magazine. 52 (4): 240–244. doi:10.1080/0025570X.1979.11976792. Retrieved 7 February 2015.
References
- McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
