숫자(number) e는 1683년 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)에 의해 도입되었습니다. 반세기 이상 뒤에, 야콥의 남동생 요한(Johann)의 제자였던 오일러(Euler)는 e가 무리수(irrational)임을 입증했습니다; 즉, 그것은 두 정수의 몫으로 표현될 수 없습니다.
Euler's proof
오일러는 1737년에 e가 무리수라는 사실에 대한 첫 번째 증명을 작성했습니다 (그러나 그 텍스트는 7년 후에 출판되었습니다). 그는 e의 표현을 단순 연속 분수(simple continued fraction)로 계산했으며, 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, \ldots, 2n, 1, 1, \ldots]. \)
이 연속 분수는 무한대이고 모든 각 유리수는 종료하는 연속 분수를 가지기 때문에, e는 무리수입니다. 이전 상등의 짧은 증명이 알려져 있습니다. e의 단순 연속 분수는 주기적(periodic)이지 않기 때문에, 이것은 역시 e가 유리 계수를 갖는 이차 다항식의 근이 아님을 입증합니다; 특히 \(e^2\)은 무리수입니다.
Fourier's proof
가장 잘-알려진 증명은 조제프 푸리에(Joseph Fourier)의 모순에 의한 증명(proof by contradiction)이며, 이는 다음 상등에 기반을 두고 있습니다:
\(\quad\displaystyle e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot\)
처음에 e는 \(\tfrac{a}{b}\) 형식의 유리수로 가정됩니다. 그 아이디어는 그런 다음 e의 급수 표현과 극한하는 값 e에 근사하는 그것의 엄격하게 작은 b-번째 부분 합 사이의 확대된 차이 (여기서 x로 표시)를 분석하는 것입니다. 스케일 인수를 b의 팩토리얼(factorial)로 선택함으로써, 분수 \(\tfrac{a}{b}\)와 b-번째 부분 합이 정수(integers)로 바뀌고, 따라서 x는 양의 정수여야 합니다. 어쨌든, 급수 표현의 빠른 수렴은 x가 여전히 1보다 엄격하게 작다는 것을 의미합니다. 이 모순으로부터 우리는 e가 무리수임을 추론합니다.
이제 자세한 내용에 대해, 만약 e가 유리수(rational number)이면, \(e=\tfrac{a}{b}\)를 만족하는 양의 정수 a와 b가 존재합니다. 다음 숫자를 정의합니다:
\(\quad\displaystyle x = b!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).\)
\(e=\tfrac{a}{b}\)라는 가정을 사용하여 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle x = b!\left (\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}.\)
첫 번째 항은 정수이고, 합에서 모든 각 분수는 실제로 정수인데 왜냐하면 각 항에 대해 n ≤ b이기 때문입니다. 그러므로, e가 유리수라는 가정 아래에서, x가 정수입니다.
우리는 이제 0 < x < 1임을 입증합니다. 먼저, x가 엄격하게 양수임을 입증하기 위해, 우리는 e의 위의 급수 표현을 x의 정의에 삽입하고 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle x = b!\left(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}>0,\)
왜냐하면 모든 항이 엄격하게 양수이기 때문입니다.
우리는 이제 x < 1임을 입증합니다. n ≥ b + 1을 갖는 모든 항에 대해 우리는 위쪽 경계 추정을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \frac{b!}{n!} =\frac1{(b+1)(b+2)\cdots(b+(n-b))} \le \frac1{(b+1)^{n-b}}.\)
이 부등식은 모든 각 n ≥ b + 2에 대해 엄격합니다. 합계의 인덱스를 k = n – b으로 바꾸고 무한 기하 급수(infinite geometric series)에 대한 공식을 사용하여, 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle x =\sum_{n = b+1}^\infty \frac{b!}{n!}
< \sum_{n=b+1}^\infty \frac1{(b+1)^{n-b}}
=\sum_{k=1}^\infty \frac1{(b+1)^k}
=\frac{1}{b+1} \left (\frac1{1-\frac1{b+1}}\right )
= \frac{1}{b} \le 1.\)
엄격하게 0과 1 사이의 정수가 없기 때문에, 우리는 모순에 도달했고, 따라서 e는 무리수입니다. Q.E.D.
Alternate proofs
또 다른 증명은 다음임을 참고함으로써 이전 증명에서 얻을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle (b+1)x=1+\frac1{b+2}+\frac1{(b+2)(b+3)}+\cdots<1+\frac1{b+1}+\frac1{(b+1)(b+2)}+\cdots=1+x,\)
그리고 이 부등식이 bx < 1이라는 주장과 동등합니다. 물론, 이것은 불가능한데, 왜냐하면 b와 x가 양의 정수이기 때문입니다.
여전히 또 다른 증명은 다음이라는 사실에서 얻을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{e} =e^{-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\cdot\)
\(\displaystyle s_{n}\)을 다음으로 정의합니다:
\(\quad\displaystyle s_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}.\)
그런-다음:
\(\quad\displaystyle e^{-1}-s_{2n-1}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} -\sum_{k=0}^{2n-1} \frac{(-1)^{k}}{k!} <\frac{1}{(2n)!},\)
이것은 임의의 양의 정수 \(\displaystyle n\)에 대해 다음임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle 0<(2n-1)! \left (e^{-1}-s_{2n-1} \right ) < \frac{1}{2n} \le \frac{1}{2}\;. \)
\(\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}\)가 항상 정수임을 주목하십시오. \(\displaystyle e^{-1}\)가 유리수라고 가정하므로, \(\displaystyle e^{-1}=\tfrac{p}{q}\)이며, 여기서 \(\displaystyle p, q\)는 서로소이고 \(\displaystyle q \neq 0\)입니다. \(\displaystyle (2n-1)!e^{-1}\)가 정수, 즉, \(\displaystyle n \geq \tfrac{q+1}{2}\)가 되도록 \(\displaystyle n\)을 적절하게 선택할 수 있습니다. 그러므로, 이 선택에 대해, \(\displaystyle (2n-1)!e^{-1}\)와 \(\displaystyle (2n-1)!e^{-1}\) 사이의 차이는 정수일 것입니다. 그러나 위의 부등식으로부터, 그것은 불가능합니다. 따라서 \(\displaystyle e^{-1}\)는 무리수입니다. 이것은 \(\displaystyle e\)가 무리수임을 의미합니다.
Generalizations
1840년에, 리우빌(Liouville)은 \(\displaystyle e^2\)이 무리수라는 사실의 증명을 이어 \(\displaystyle e^2\)이 유리 계수를 갖는 이차 다항식의 근이 아니라는 증명을 출판했습니다. 이 마지막 사실은 \(\displaystyle e^4\)이 무리수임을 의미합니다. 그의 증명은 e의 무리성의 푸리에의 증명과 유사합니다. 1891년에, 후르비츠(Hurwitz)는 e가 유리 계수를 갖는 삼차 다항식의 근이 아니라는 것을 같은 아이디어 선을 따라 증명하는 것이 가능한 방법을 설명했으며, 이는 \(\displaystyle e^3\)가 무리수임을 의미합니다. 더 일반적으로, \(\displaystyle e^q\)가 비-영 유리수 \(\displaystyle q\)에 대해 무리수입니다.
샤를 에르미트(Charles Hermite)는 1873년에 e가 초월적 숫자(transcendental number)임을 입증했으며, 이는 임의의 비-영 대수적(algebraic) α에 대해 \(e^a\)와 마찬가지로 유리 계수를 갖는 임의의 다항식의 근이 아님을 의미합니다.
