수학(mathematics)에서, 무한 하강(infinite descent)에 의한 증명은, 역시 페르마의 하강의 방법으로도 알려져 있으며, 하나의 명제가 만약 그 명제가 하나의 숫자에 유지되면, 같은 것이 더 작은 숫자에 대해 참이며, 무한 하강과 궁극적으로 모순으로 이어짐을 보임으로써, 임의의 숫자에 대해 유지될 수 없다는 것을 보여주기 위해 사용되는 특정 종류의 모순에 의한 증명(proof by contradiction)입니다. 그것은 바른-순서화 원리(well-ordering principle)에 의존하는 방법이고, 디오판토스 방정식(Diophantine equation)과 같은 주어진 방정식이 해를 가지지 않음을 보여주기 위해 종종 사용됩니다.
전형적으로, 어떤 의미에서 하나 이상의 자연수와 관련된 문제에 대한 해가 존재하면, 하나 이상의 '더 작은' 자연수와 관련된 두 번째 해가 존재함을 필연적으로 암시한다는 것을 보입니다. 이것은 차례로 더 작은 자연수와 관련된 세 번째 해를 의미하며, 네 번째 해, 따라서 다섯 번째 해, 등을 의미합니다. 어쨌든, 더 작은 자연수의 무한대는 있을 수 없고, 따라서 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의해 임의의 해가 존재한다는 원래 전제는 올바르지 않습니다; 그것의 정확성은 모순(contradiction)을 생성합니다.
이것을 표현하는 대안적인 방법은 하나 이상의 해 또는 예제가 존재한다고 가정하는 것이며, 이것으로부터 가장 작은 해 또는 예제—최소 반대예제—는 그런-다음 추론될 수 있습니다. 일단 거기에 도달하면, 우리는 가장 작은 해가 존재한다면, 그것은 (어떤 의미에서) 더 작은 해의 존재를 암시해야 함을 증명하려고 시도할 것이며, 이는 다시 임의의 해의 존재가 모순으로 이어질 것이라는 것을 입증합니다.
무한 하강의 방법의 가장 초기 사용은 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에 나타납니다. 전형적인 예는 7권의 제안 31이며, 여기에서 유클리드는 모든 각 합성 정수가 어떤 소수로 나누어진다 (유클리드의 용어로 "측정된다")는 것을 증명합니다.
이 방법은 훨씬 후에 페르마(Fermat)에 의해 개발되었으며, 그는 용어를 만들고 디오판토스 방정식(Diophantine equations)에 종종 사용했습니다. 두 가지 전형적인 예제는 디오판토스 방정식 \(r^2+s^4=t^4\)의 해결 불가능성을 보여주고 두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리를 증명하는 것입니다. 그 정리는 홀수 소수 p가 p ≡ 1 (모드 4)일 때 두 제곱의 합으로 표현될 수 있다는 것입니다 (증명 참조). 이런 방법으로 페르마는 고전적인 관심사인 디오판토스 방정식의 많은 경우 (예를 들어, 산술 진행에서 4개의 완전 제곱 문제)에 해가 존재하지 않음을 보일 수 있었습니다.
어떤 경우에서, 현대인의 눈에, 그의 "무한 하강의 방법"은 타원 곡선(elliptic curve) E의 유리 점(rational points)에 대한 두-배 함수의 반전을 이용한 것입니다. 문맥은 E의 가설적 비-자명한 유리 점입니다. E 위의 두-배 점은 점을 "절반으로 하는 것"이 더 작은 항으로 유리수를 제공하도록 (자릿수의 숫자로) 그것을 쓰는 데 필요한 숫자의 길이를 대략적으로 두 배로 합니다. 그 항은 양수이므로, 그것들은 영원히 감소할 수 없습니다.
Number theory
20세기의 숫자 이론(number theory)에서, 무한 하강 방법이 다시 채택되고, 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)과 L-함수(L-functions) 연구의 주요 추진력과 연결되는 지점까지 밀고 나갔습니다. 타원 곡선 E 위의 유리 점들이 유한하게-생성된 아벨 그룹(finitely-generated abelian group)을 형성한다는 모델의 구조적 결과는 페르마 양식에서 E/2E 위에 기반한 무한 하강 논증을 사용했습니다.
이것을 아벨 다양체(abelian variety) A의 경우로 확장하기 위해, 앙드레 베유(André Weil)는 높이 함수(height function)를 수단으로 해의 크기를 정량화하는 보다 명확한 방법을 만들어야 했습니다 – 이 개념은 토대적이 되었습니다. A(Q)/2A(Q)가 유한하다는 것을 보여주기 위해, 이는 확실히 A의 유리 점의 그룹 A(Q)의 유한 생성을 위한 필수 조건이며, 나중에 갈루아 코호몰로지(Galois cohomology)로 인식된 것에서 계산을 수행해야 합니다. 이런 방법으로, 그 이론에서 추상적으로 정의된 코호몰로지 그룹은 페르마의 전통에서 하강(descents)과 동일시됩니다. 모델–베유 정리(Mordell–Weil theorem)는 나중에 매우 광범위한 이론이 된 것의 시작이었습니다.
Application examples
Irrationality of \(\sqrt{2}\)
2의 제곱근(square root of 2, \(\sqrt{2}\))이 무리수(irrational, 즉, 두 정수의 분수로 표현될 수 없음)라는 증명은 고대 그리스인(ancient Greeks)에 의해 발견되었고, 아마도 무한 하강에 의한 증명의 가장 오래된 알려진 예제일 것입니다. 피타고라스-학파는 정사각형의 대각선이 그것의 변과 비-정수-비율-가능(incommensurable)이라는 것을 발견했으며, 또는 현대 언어에서, 2의 제곱근은 무리수(irrational)입니다. 이 발견의 시기나 상황에 대해 확실하게 알려진 것은 거의 없지만, 메타폰툼의 히파주스(Hippasus)라는 이름이 자주 언급됩니다. 한동안, 피타고라스-학파는 2의 제곱근이 무리수라는 발견을 공식적인 비밀로 취급했고, 전설에 따르면 히파주스는 그것을 누설했다는 이유로 살해당했습니다. 2의 제곱근은 예를 들어 Conway & Guy (1996)와 같이 때때로 "피타고라스의 숫자" 또는 "피타고라스의 상수"라고 불립니다.
대수학이 없었던 고대 그리스인들은 무한 하강에 의한 기하학적 증명(geometric proof)을 수행했습니다 (존 호턴 콘웨이(John Horton Conway)는 더 쉽게 접근할 수 있는 무한 하강에 의한 또 다른 기하학적 증명을 제시했습니다). 다음은 유사한 줄을 따른 대수적(algebraic) 증명입니다:
\(\sqrt{2}\)가 유리수(rational)라고 가정합니다. 그런-다음 그것은 두 자연수 p와 q에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \sqrt{2} = \frac{p}{q}\)
그런-다음 양쪽 변을 제곱하여
\(\quad\displaystyle 2 = \frac{p^2}{q^2}, \)
\(\quad\displaystyle 2q^2 = p^2, \)
따라서 2는 \(p^2\)을 나누어야 합니다. 2는 소수이기 때문에, 그것은 유클리드의 보조정리(Euclid's lemma)에 의해 p도 나누어야 합니다. 따라서 어떤 정수 r에 대해 p = 2r입니다.
그러나 그때에,
\(\quad\displaystyle 2q^2 = (2r)^2 = 4r^2, \)
\(\quad\displaystyle q^2 = 2r^2, \)
이는 2가 마찬가지로 q도 나누어야 함을 보여줍니다. 따라서 어떤 정수 s에 대해 q = 2s입니다.
이것은 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{p}{q}=\frac{2r}{2s}=\frac{r}{s}\).
그러므로, \(\sqrt{2}\)가 유리수로 쓰일 수 있으면, 그것은 항상 더 작은 부분을 갖는 유리수로 쓰일 수 있고, 그것 자체는 더 작은 부분으로 무한히(ad infinitum) 쓰일 수 있습니다. 그러나 이것은 자연수 집합에서는 불가능합니다.. \(\sqrt{2}\)는 유리수이거나 무리수일 수 있는 실수이기 때문에, 남겨진 유일한 선택사항은 \(\sqrt{2}\)에 대해 무리수라는 것입니다.
(대안적으로, 이것은 \(\sqrt{2}\)가 유리수이면, "가장 작은" 표현 p/q를 찾으려는 시도는 더 작은 표현이 존재한다는 것을 의미하므로 분수로 "가장 작은" 표현이 존재할 수 없다는 것을 입증하며, 이는 유사한 모순입니다. )
Irrationality of \(\sqrt{k}\) if it is not an integer
양의 정수 k에 대해, \(\sqrt{k}\)가 정수가 아니라 유리수이고 자연수 m과 n에 대해 \(\tfrac{m}{n}\)으로 표현될 수 있다고 가정하고, q를 \(\sqrt{k}\)보다 작은 가장 큰 정수 (즉, q는 \(\sqrt{k}\)의 바닥)라고 놓습니다. 그런-다음
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\sqrt k &=\frac mn\\
[6pt] &=\frac{m\left(\sqrt k-q\right)}{n\left(\sqrt k-q\right)}\\
[6pt] &=\frac{m\sqrt k-mq}{n\sqrt k-nq}\\
[6pt] &=\frac{\left(n \sqrt k\right)\sqrt k-mq}{n \left(\frac{m}{n}\right) -nq}\\
[6pt] &=\frac{nk-mq}{m-nq}
\end{align}\)
분자와 분모는 각각 표현 (\(\sqrt{k} - q\))—양수이지만 1보다 작음—을 곱하고 그런-다음 독립적으로 단순화했습니다. 따라서 결과 곱, 말하자면 m′과 n′은 그 자체로 정수이고, 각각 m과 n보다 작습니다. 그러므로, \(\sqrt{k}\)를 표현하기 위해 어떤 자연수 m과 n을 사용하더라도, 같은 비율을 가지는 더 작은 자연수 m′ < m과 n′ < n이 존재합니다. 그러나 자연수에 대한 무한 하강은 불가능하므로, 이것이 \(\sqrt{k}\)가 자연수의 비율로 표현될 수 있다는 원래의 가정을 반증합니다.
Non-solvability of \(r^2+s^4=t^4\) and its permutations
정수에서 \(r^2 + s^4 =t^4\)의 비-해결가능성은 정수에서 \(q^4 + s^4 =t^4\)의 비-해결가능성을 보여주기 충분하며, 이는 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)의 특수한 경우이고, 후자의 역사적 증명은 무한 하강을 사용하여 전자를 보다 광범위하게 증명함으로써 진행됩니다. 다음의 더 최근의 증명은 피타고라스의 삼각형(Pythagorean triangle)이 가장 작은 그러한 삼각형이 없기 때문에 두 변이 각각 정사각형이거나 정사각형의 두 배일 수 없다는 것을 훨씬 더 광범위하게 입증함으로써 이들 불가능성을 모두 보여줍니다:
그러한 피타고라스 삼각형이 존재한다고 가정합니다. 그런-다음 같은 속성을 갖는 원시 (즉, 1 이외의 공통 인수를 가지지 않는) 피타고라스 삼각형을 제공하도록 축소될 수 있습니다. 원시 피타고라스 삼각형의 변은 \(x=2ab,\) \(y=a^2-b^2,\) \(z=a^2+b^2\)로 쓸 수 있으며, 여기서 a와 b는 상대적으로 소수(relatively prime)이고 a+b는 홀수이고 따라서 y와 z는 둘 다 홀수입니다. y와 z가 각각 홀수라는 속성은 y와 z가 모두 제곱의 두 배가 될 수 없음을 의미합니다. 나아가서, x가 제곱이거나 제곱의 두 배이면, a와 b는 각각 제곱 또는 제곱의 두 배입니다. 세 가지 경우가 있으며, 어느 두 변이 각각 제곱인지 또는 제곱의 두 배인지에 따라 다음과 같습니다:
- y 및 z: 이 경우에서 y와 z는 모두 제곱입니다. 그러나 그때에 다리 \(\sqrt{yz}\)와 \(b^2\) 및 빗변 \(a^2\)을 갖는 직각 삼각형도 제곱 다리 (\(b^2\))과 제곱 빗변 (\(a^2\))을 포함하는 정수 변을 가지고 더 작은 빗변 (\(z=a^2+b^2\)에 비해 \(a^2\))을 가질 것입니다.
- z 및 x: z는 제곱입니다. 다리 \(b\)와 \(\sqrt{y}\) 및 빗변 \(\sqrt{z}\)를 갖는 정수 직각 삼각형은 각각 제곱 또는 제곱의 두 배인 두 변 (\(a\)와 \(b\))과 더 작은 빗변 (\(z\)에 비해 \(\sqrt{z}\))을 가질 것입니다.
- y 및 x: y는 제곱입니다. 다리 \(b\)와 \(\sqrt{y}\) 및 빗변 \(a\)를 갖는 정수 직각 삼각형은 각 변은 제곱 또는 제곱의 두 배인 두 변 (\(b\)와 \(a\))을 가며, 원래 삼각형보다 더 작은 빗변 (\(z=a^2+b^2\)에 비해 \(a\))을 가집니다.
이들 경우의 어떤 것이라도, 두 변이 제곱 또는 제곱의 두 배인 하나의 피타고라스 삼각형은 더 작은 것으로 이어지며, 이는 차례로 더 작은 것으로 계속 이어질 것입니다; 그러한 수열은 무한히 계속될 수 없기 때문에, 그러한 삼각형이 존재한다는 원래의 전제는 틀렸음에 틀림없습니다.
이것은 다음 방정식이 비-자명한 해를 가질 수 없음을 의미합니다:
\(\quad r^2 + s^4 = t^4,\)
\(\quad r^4 + s^2 =t^4,\) and
\(\quad r^4 + s^4 =t^2\)
왜냐하면 비-자명한 해는 두 변이 정사각형인 피타고라스 삼각형을 제공할 것이기 때문입니다.
페르마의 정리의 n = 4 경우에 대해 무한 하강에 의한 다른 유사한 증명에 대해, Grant and Perella 및 Barbara의 기사를 참조하십시오.
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