수학(mathematics)에서, 투영 직선(projective line)은, 대략적으로 말해서, 무한대에서 점(point at infinity)이라고 불리는 점에 의해 보통의 직선의 확장입니다. 많은 기하학의 정리의 명제와 증명은 결과로써 생기는 특수한 경우의 제거에 의해 단순화됩니다; 예를 들어, 투영 평면(projective plane)에 있는 두 개의 구별되는 투영 직선은 정확하게 한 점에서 만납니다 ("평행" 경우는 없습니다).
투영 직선을 형식적으로 정의하는 많은 동등한 방법이 있습니다; 가장 공통적인 것 중 하나는 이-차원 K-벡터 공간(vector space)의 일-차원 부분공간의 집합으로, 공통적으로 \(\mathbf{P}^1(K)\)로 표시되는, 필드(field) K에 걸쳐 투영 직선을 정의하는 것입니다. 이 정의는 투영 공간(projective space)의 일반적인 정의의 특별한 사례입니다.
실수에 걸쳐 투영 직선은 매니폴드(manifold)입니다; 자세한 내용에 대해 실수 투영 직선(real projective line)을 참조하십시오.
Homogeneous coordinates
투영 직선 \(\mathbf{P}^1(K)\)에서 임의적인 점은 둘 다 영이 아닌 K의 원소의 다음 쌍의 형식을 취하는 동차 좌표(homogeneous coordinates)의 동치 클래스(equivalence class)에 의해 나타낼 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle [x_1 : x_2]\)
두 개의 그러한 쌍은 만약 그것들이 전체로 비-영 인수 λ만큼 다르면 동등(equivalent)합니다:
\(\quad\displaystyle [x_1 : x_2] \sim [\lambda x_1 : \lambda x_2].\)
Line extended by a point at infinity
투영 직선은 무한대에서 점(point at infinity)에 의해 연장된 직선 K로 식별될 수 있습니다. 보다 정확하게, 직선 K는 다음에 의해 주어진 \(\mathbf{P}^1(K)\)의 부분집합으로 식별될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \left\{[x : 1] \in \mathbf P^1(K) \mid x \in K\right\}.\)
이 부분집합은 무한대에서 점(point at infinity)이라고 불리는 점을 제외하고 \(\mathbf{P}^1(K)\)에서 모든 점을 덮습니다:
\(\quad\displaystyle \infty = [1 : 0].\)
이것은 다음 공식에 의해 K의 산술을 \(\mathbf{P}^1(K)\)로 확장하는 것을 허용합니다:
\(\quad\displaystyle \frac {1}{0}=\infty,\qquad \frac {1}{\infty}=0,\)
\(\quad\displaystyle x\cdot \infty = \infty \quad \text{if}\quad x\not= 0\)
\(\quad\displaystyle x+ \infty = \infty \quad \text{if}\quad x\not= \infty\)
[0 : 0]이 발생하지 않을 때, 이 산술을 동차 좌표의 관점에서 변환하는 것은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle [x_1 : x_2] + [y_1 : y_2] = [(x_1 y_2 + y_1 x_2) : x_2 y_2],\)
\(\quad\displaystyle [x_1 : x_2] \cdot [y_1 : y_2] = [x_1 y_1 : x_2 y_2],\)
\(\quad\displaystyle [x_1 : x_2]^{-1} = [x_2 : x_1].\)
Examples
Real projective line
실수(real numbers)에 걸쳐 투영 직선은 실수 투영 직선(real projective line)이라고 불립니다. 그것은 무한대 ∞에서 이상화된 점과 함께 직선 K로 생각될 수도 있습니다; 그 점은 닫힌 고리 또는 토폴로지적 원을 생성하기 위해 K의 양쪽 끝에 연결합니다.
예제는 \(\mathbf{R}^2\)에서 점을 단위 원(unit circle) 위로 투영하고 그런-다음 지름-방향으로 반대(diametrically opposite) 점을 식별함으로써 얻을 수 있습니다. 그룹 이론(group theory)의 관점에서, 우리는 부분-그룹(subgroup) {1, −1}으로 몫을 취할 수 있습니다.
확장된 실수 직선(extended real number line)을 비교해 보십시오, 이는 ∞와 −∞를 구별합니다.
Complex projective line: the Riemann sphere
복소 평면(complex plane)에 무한대에서 점을 더하면 토폴로지적으로 구(sphere)인 공간을 초래합니다. 그러므로 복소 투영 직선은 역시 리만 구(Riemann sphere, 또는 때때로 가우스 구)라고 알려져 있습니다. 그것은 컴팩트 리만 표면(compact Riemann surface)의 가장 간단한 예로서 복소 해석학(complex analysis), 대수적 기하학(algebraic geometry), 및 복소 매니폴드(complex manifold) 이론에서 지속적으로 사용됩니다.
For a finite field
q 원소의 유한 필드(finite field) \(F_q\)에 걸쳐 투영 직선은 q + 1 점을 가집니다. 모든 다른 측면에서, 그것은 다른 유형의 필드에 걸쳐 정의된 투영 직선과 다르지 않습니다. 동차 좌표 [x : y]의 측면에서, 이들 점의 q는 다음과 같은 형식을 가집니다:
\(\quad [a:1]\mbox{ for each } a\mbox{ in } F_q\),
그리고 남아있는 무한대에서 점(point at infinity)은 [1 : 0]로 나타낼 수 있습니다.
Symmetry group
꽤 일반적으로, K에서 계수(coefficients)를 갖는 호모그래피(homographies)의 그룹은 투영 직선 \(\mathbf{P}^1(K)\) 위에 작용합니다. 이 그룹 동작(group action)은 \(\mathbf{P}^1(K)\)가 그 그룹에 대해 동차 공간(homogeneous space)이도록 전이적(transitive)이며, 종종 이들 변환의 투영 본성을 강조하기 위해 \(\text{PGL}_2(K)\)로 작성됩니다. 전이성(Transitivity)은 임의의 점 Q를 임의의 다른 점 R로 변환하는 호모그래피가 존재한다고 말합니다. \(\mathbf{P}^1(K)\) 위의 무한대에서 점은 따라서 좌표 선택의 인공물(artifact)입니다: 다음 동차 좌표(homogeneous coordinates)는
\(\quad\displaystyle [X : Y] \sim [\lambda X : \lambda Y]\)
그것 안에 놓이는 단일 비-영 점 (X, Y)으로 일-차원 부분-공간을 표현하지만, 투영 직선의 대칭은 점 ∞ = [1 : 0]을 임의의 다른 점으로 이동할 수 있고, 그것은 결코 구별되지 않습니다.
어떤 변환이 i = 1, 2, 3에 대해 임의의 주어진 구별되는 점 \(Q_i\)를 구별되는 점의 임의의 다른 3-튜플 \(R_i\)로 취할 수 있다는 점 (삼중 전이성(triple transitivity))에서 훨씬 더 사실입니다. 이 사양의 총양은 \(\text{PGL}_2(K)\)의 삼-차원을 '사용'합니다; 다시 말해서, 그룹 동작은 급격하게 3-전이적(sharply 3-transitive)입니다. 이것의 계산적 측면은 교차-비율(cross-ratio)입니다. 실제로, 일반화된 전환은 참입니다: 급격하게 3-전이적 그룹 동작은 항상 투영 직선 위에 \(\text{PGL}_2(K)\) 동작의 일반화된 형식 (에 동형적)이며, "필드"를 "KT-필드"로 대체하고 (그 전환을 더 약한 종류의 인볼루션으로 일반화함), 투영 선형 맵의 해당하는 일반화에 의한 "PGL"로 대체합니다.
As algebraic curve
투영 직선은 대수적 곡선(algebraic curve)의 기본적인 예제입니다. 대수적 기하학의 관점에서 볼 때, \(\mathbf{P}^1(K)\)는 지너스(genus) 0의 비-특이(non-singular) 곡선입니다. 만약 K가 대수적으로 닫혀(algebraically closed) 있으면, 그것은 유리 동등성(rational equivalence)까지 K에 걸쳐 고유한 그러한 곡선입니다. 일반적으로, 지너스 0의 (비-특이) 곡선은 K에 걸쳐 유리적으로 원뿔형(conic) C와 동등하며, 이는 그 자체로 투영 직선과 동등한 것과 C가 K에 걸쳐 정의된 점을 가지는 것은 필요충분 조건입니다; 기하학적으로 그러한 점 P는 쌍유리 동등성을 명시적으로 만들기 위한 원점으로 사용될 수 있습니다.
투영 직선의 함수 필드(function field)는 단일 불확정 T에서 K에 걸쳐 유리 함수(rational functions)의 필드 K(T)입니다. K에 걸쳐 K(T)의 필드 자기동형(field automorphisms)은 정확하게 위에서 논의된 그룹 \(\text{PGL}_2(K)\)입니다.
단일 점이 아닌, K에 걸쳐 대수적 다양체(algebraic variety) V의 임의의 함수 필드 K(V)는 K(T)와 동형적인 부분필드를 가집니다. 쌍유리 기하학(birational geometry)의 관점에서, 이것은 V에서 상수가 아닌 \(\mathbf{P}^1(K)\)까지 유리 맵(rational map)이 있을 것임을 의미합니다. 이미지는 \(\mathbf{P}^1(K)\)의 오직 유한하게 많은 점을 생략할 것이고, 전형적인 점 P의 역 이미지는 차원 dim V − 1이 될 것입니다. 이것은 차원 위에 귀납적인 대수적 기하학에서 방법의 시작입니다. 유리 맵은 복소 해석학(complex analysis)의 유리형 함수(meromorphic functions)와 유사한 역할을 하고, 실제로 컴팩트 리만 표면(compact Riemann surfaces)의 경우에서, 두 개념은 일치합니다.
만약 V가 이제 차원 1인 것으로 취해지면, 우리는 \(\mathbf{P}^1(K)\)'에 걸쳐' 표시된 전형적인 대수적 곡선 C의 그림을 얻습니다. C가 비-특이라고 가정하면 (이는 K(C)로 시작하는 일반성의 손실이 아님), C에서 \(\mathbf{P}^1(K)\)까지의 그러한 유리 맵이 실제로 어디에서나 정의될 것임을 보일 수 있습니다. (예를 들어 곡선이 자체 교차하는 이중 점(double point)이 유리 맵 후에 불확정 결과를 제공할 수 있기 때문에, 특이점이 있으면 그렇지 않습니다.) 이것은 주요 기하학적 특색이 분기(ramification)인 그림을 제공합니다.
예를 들어 초타원 곡선(hyperelliptic curves)과 같은 많은 곡선은 투영 직선의 분기된 덮개(ramified covers)로 추상적으로 표시될 수 있습니다. 리만-후르비츠 공식(Riemann–Hurwitz formula)에 따르면, 지너스는 그때에 분파의 유형에만 의존합니다.
유리 곡선(rational curve)은 투영 직선과 쌍유리적으로 동등한(birationally equivalent) 곡선입니다 (유리 다양체(rational variety)를 참조하십시오); 그것의 지너스(genus)는 0입니다. 투영 공간 \(P^n\)의 유리 정규 곡선(rational normal curve)은 적절한 선형 부분-공간 없이 놓이는 유리 곡선입니다; 다음과 같이 동차 좌표에서 매개변수적으로 주어진, (투영 동등성까지) 단 하나의 예제가 있는 것으로 알려져 있습니다:
\(\quad [1 : t: t^2 : ... : t^n]\).
첫 번째 흥미로운 사례에 대해 뒤틀린 삼차-곡선(twisted cubic)을 참조하십시오.
References
- Action of PGL(2) on Projective Space – see comment and cited paper.
- Harris, Joe (1992), Algebraic Geometry: A First Course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 133, Springer, ISBN 9780387977164.