콜모고로프 공리(Kolmogorov Axioms)는 1933년에 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)에 의해 도입된 확률 이론(Probability Theory)의 토대입니다. 이들 공리는 중심으로 남아 있고 수학, 물리적 과학 및 실-생활 확률 경우에 직접적인 공헌을 가집니다. 일부 베이즈(Bayesians)에 의해 선호되는, 확률을 공식화하기 위한 대안적인 접근은 콕스의 정리(Cox's theorem)에 의해 제공됩니다.
Axioms
공리 설정에 대한 가정은 다음으로 요약될 수 있습니다: (Ω, F, P)를 P가 일부 사건(event) E의 확률(probability)을 갖는, \(\displaystyle P(E)\)로 표시되는 측정 공간(measure space)으로 놓고 \(\displaystyle P(\Omega)=1\)입니다. 그런-다음 (Ω, F, P)는 표본 공간 Ω, 사건 공간 F 및 확률 측정 P를 갖는 확률 공간(probability space)입니다.
First axiom
사건의 확률은 비-음의 실수입니다:
\(\quad\displaystyle P(E)\in\mathbb{R}, P(E)\geq 0 \qquad \forall E \in F\)
여기서 \(\displaystyle F\)는 사건 공간입니다. 그것은 \(\displaystyle P(E)\)가, 보다 일반적인 측정 이론(measure theory)과는 달리, 항상 유한임을 따릅니다. 음의 확률(negative probability)을 할당하는 이론은 첫 번째 공리를 완화시킵니다.
Second axiom
이것은 단위 측정(unit measure)의 가정입니다: 전체 표본 공간에서 기본 사건(elementary event)의 적어도 하나가 발생할 해당 확률은 1입니다.
\(\quad\displaystyle P(\Omega) = 1.\)
Third axiom
이것은 σ-덧셈성(σ-additivity)의 가정입니다:
- (서로 배타적(mutually exclusive) 사건과 동의어) 서로소 집합 \(\displaystyle E_1, E_2, \ldots\)의 임의의 셀-수-있는(countable) 수열은 다음을 만족시킵니다:
- \(\displaystyle P\left(\bigcup_{i = 1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(E_i).\)
일부 저자는 단지 유한하게 덧셈적(finitely additive) 확률 공간을 고려하며, 이것에서 우리는 σ-대수(σ-algebra)가 아니라 단지 집합의 대수(algebra of sets)가 필요합니다. 준확률 분포(Quasiprobability distribution)는 일반적으로 세 번째 공리를 완화시킵니다.
Consequences
콜모고로프(Kolmogorov) 공리로부터, 우리는 확률을 연구하는 것에 대해 다른 유용한 규칙을 추론할 수 있습니다. 이들 규칙의 증명은 세 번째 공리의 힘과 나머지 두 공리와의 상호 작용을 묘사하는 매우 통찰력있는 절차입니다. 즉각적인 따름정리의 네 개와 그들의 증명은 아래에 보입니다:
Monotonicity
- 만약 \(\displaystyle A\subseteq B\)이면 \(\displaystyle P(A)\leq P(B)\)입니다.
만약 A가 B의 부분-집합, 또는 B와 같으면, A의 확률은 B의 확률보다 작음, 또는 같습니다.
Proof of monotonicity
단조성 속성을 확인하기 위해, 우리는 \(\displaystyle E_1=A\) 및 \(\displaystyle E_2=B\setminus A\)를 놓으며, 여기서 \(\displaystyle i\geq 3\)에 대해 \(\displaystyle A\subseteq B\) 및 \(\displaystyle E_i=\varnothing\)입니다. 집합 \(\displaystyle E_i\)가 쌍별 서로소이고 \(\displaystyle E_1\cup E_2\cup\cdots=B\)임을 보이는 것은 쉽습니다. 따라서, 우리는 다음임을 세 번째 공리로부터 얻습니다:
\(\quad\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=P(B).\)
첫 번째 공리에 의해, 이 방정식의 왼쪽 변은 비-음의 숫자의 급수이므로, 및 그것이 유한인 \(\displaystyle P(B)\)에 수렴하므로, 우리는 \(\displaystyle P(A)\leq P(B)\) 및 \(\displaystyle P(\varnothing)=0\) 둘 다를 얻습니다.
The probability of the empty set
\(\quad\displaystyle P(\varnothing)=0.\)
일부 경우에서, \(\displaystyle \varnothing\)가 확률 0을 갖는 유일한 사건은 아닙니다.
Proof of probability of the empty set
이전 증명에서 보인 것처럼, \(\displaystyle P(\varnothing)=0\)입니다. 어쨌든, 이 명제는 모순에 의해 보일 수 있습니다: 만약 \(\displaystyle P(\varnothing)=a\)이면 왼쪽 변 \(\displaystyle [P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^\infty P(E_i)]\)은 무한대보다 작습니다;
\(\quad\displaystyle \sum_{i=3}^\infty P(E_i)=\sum_{i=3}^\infty P(\varnothing)=\sum_{i=3}^\infty a = \begin{cases} 0 & \text{if } a=0, \\ \infty & \text{if } a>0. \end{cases}\)
만약 \(\displaystyle a>0\)이면 우리는 모순을 얻는데, 왜냐하면 그 합은 유한인 \(\displaystyle P(B)\)보다 클 수 없기 때문입니다. 따라서, \(\displaystyle a=0\)입니다. 우리는 \(\displaystyle P(\varnothing)=0\)임을 단조성의 증명의 부산물로 보였습니다.
The complement rule
\(\quad\displaystyle P\left(A^{c}\right) = P(\Omega\setminus A) = 1 - P(A)\)
Proof of the complement rule
\(\displaystyle A\)와 \(\displaystyle A^{c}\)은 서로 배타적이고 \(\displaystyle A \cup A^c = \Omega\)인 것으로 주어지면:
\(\quad\displaystyle P(A \cup A^c)=P(A)+P(A^c)\) ... (''공리 3에 의해'')
및,
\(\quad\displaystyle P(A \cup A^c)=P(\Omega)=1\) ... (''공리 2에 의해'')
\(\quad\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^c)=1\)
\(\quad\displaystyle \therefore P(A^c)=1-P(A)\)
The numeric bound
다음임은 단조성 속성으로부터 즉시 따릅니다:
\(\quad\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.\)
Proof of the numeric bound
여규칙 \(\displaystyle P(E^c)=1-P(E)\) 및 ''공리 1'' \(\displaystyle P(E^c)\geq0\)이 주어지면:
\(\quad\displaystyle 1-P(E) \geq 0\)
\(\quad\displaystyle \Rightarrow 1 \geq P(E)\)
\(\quad\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1\)
Further consequences
또 다른 중요한 속성은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).\)
이것은 확률의 덧셈 법칙, 또는 합 규칙으로 불립니다. 즉, A 또는 B가 발생할 확률은 A가 발생할 확률과 B가 발생할 확률의 합, 빼기 A 그리고 B 둘 다가 발생할 확률입니다. 이것의 증명은 다음과 같습니다:
먼저,
\(\quad\displaystyle P(A\cup B) = P(A\setminus B) + P(B)\) ... (공리 3에 의해)
그래서,
\(\quad\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B\setminus (A \cap B))\) (\(\displaystyle P(B \setminus A) = P(B\setminus (A \cap B))\)에 의해).
역시,
\(\quad\displaystyle P(B) = P(B\setminus (A \cap B)) + P(A \cap B)\)
그리고 두 방정식으로부터 \(\displaystyle P(B\setminus (A \cap B))\)을 제거하면 원하는 결과를 제공합니다.
집합의 임의의 숫자에 대한 덧셈 법칙의 확장은 포함–제외 원리(inclusion–exclusion principle)입니다.
덧셈 법칙에서 A의 여사건 \(A^c\)로 B를 설정하면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle P\left(A^{c}\right) = P(\Omega\setminus A) = 1 - P(A)\)
즉, 임의의 사건이 발생하지 않을 (또는 사건의 여사건(complement)) 확률은 1 빼기 그것이 발생할 확률입니다.
Simple example: coin toss
단일 동전-던지기를 생각해 보십시오. 여기서 동전은 앞면 (H) 또는 뒷면 (T) 중 하나로 떨어진다고 가정합니다 (그러나 둘 다는 아닙니다). 가정은 동전이 공정한지 여부에 대해 만들어지지 않습니다.
우리는 다음을 정의할 것입니다:
\(\quad\displaystyle \Omega = \{H,T\}\)
\(\quad\displaystyle F = \{\varnothing, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}\)
콜모고로프의 공리는 다음임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle P(\varnothing) = 0\)
앞면도 아니고 뒷면도 아닌 것의 확률은 0입니다.
\(\quad\displaystyle P(\{H,T\}) = 1\)
앞면 또는 뒷면의 확률은 1입니다.
\(\quad\displaystyle P(\{H\}) + P(\{T\}) = 1\)
앞면의 확률과 뒷면의 확률의 합은 1입니다.
See also
Further reading
- DeGroot, Morris H. (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. pp. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
- McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatic Probability". Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. pp. 13–28.
- Formal definition of probability in the Mizar system, and the list of theorems formally proved about it.
