수학(mathematics)에서, 주요 가지(principal branch)는 다중-값 함수(multi-valued function)의 하나의 가지(branch) ("조각(slice)")를 선택하는 함수입니다. 가장 자주, 이것은 복소 평면(complex plane) 위에 정의된 함수에 적용됩니다.
Examples
Trigonometric inverses
주요 가지는 다음임을 정의하기 위한 선택과 같은 많은 역 삼각 함수(inverse trigonometric functions)의 정의에서 사용됩니다:
\(\quad\displaystyle \arcsin:[-1,+1]\rightarrow\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
또는
\(\quad\displaystyle \arccos:[-1,+1]\rightarrow[0,\pi]\).
Exponentiation to fractional powers
실수로 제한되는 더 친숙한 주요 가지 함수는 양의 실수에 1/2의 거듭제곱을 올린 함수입니다.
예를 들어, 관계 \(y=x^{1/2}\)를 취하십시오, 여기서 x는 임의의 양의 실수입니다.
이 관계는 x의 제곱근(square root) (양수 또는 음수 중 하나)과 같은 y의 임의의 값으로 만족될 수 있습니다. 관례에 따라, \(\sqrt{x}\)는 x의 양의 제곱근을 나타내기 위해 사용됩니다.
이 경우에서, 양의 제곱근 함수는 다중-값 관계 \(x^{1/2}\)의 주요 가지로 취합니다.
Complex logarithms
주요 가지를 보는 한 가지 방법은 그것이 복소 해석학(complex analysis)에서 정의된 것처럼 지수 함수(exponential function)와 로그(logarithm)를 구체적으로 살펴보는 것입니다.
지수 함수는 여기서 \(e^z\)가 다음처럼 정의되는 단일-값입니다:
\(\quad\displaystyle e^z = e^a \cos b + i e^a \sin b\)
여기서 \(\displaystyle z = a + i b\).
어쨌든, 관련된 삼각 함수의 주기적인 본성은 로그가 그렇게 고유하게 결정되지 않는다는 것을 분명히 합니다. 이것을 보는 한 가지 방법은 다음을 보는 것입니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{Re} (\log z) = \log \sqrt{a^2 + b^2}\)
및
\(\quad\displaystyle \operatorname{Im} (\log z) = \operatorname{atan2}(b, a) + 2 \pi k\)
여기서 k는 임의의 정수이고 atan2는 그것들의 주요 값 범위 \(\displaystyle (-\pi/2,\; \pi/2]\)에서 arctan(b/a)-함수의 값을 계속하며, 복소 평면에서 모든 넷의 사분면을 덮는 arg(z)-함수 \(\displaystyle (-\pi,\; \pi]\)의 주요 값 범위로 \(\displaystyle a > 0\)에 해당합니다.
그러한 기준에 의해 정의된 임의의 숫자 log z는 \(e^{\log z} =z\)라는 속성을 가집니다.
이 방식에서, 로그 함수는 다중-값 함수(multi-valued function)입니다 (종종 복소 해석학의 문맥에서 "다중함수"로 참조됩니다). 가지 자름은, 보통 음의 실수 축을 따라, 허수 부분을 제한할 수 있으므로 그것은 −π와 π 사이에 놓입니다. 이것들은 선택된 주요 값(principal value)입니다.
이것은 log 함수의 주요 가지입니다. 종종 그것은 대문자, Log z를 사용하여 정의됩니다.
External links
- Weisstein, Eric W. "Principal Branch". MathWorld.
- Branches of Complex Functions Module by John H. Mathews
