수학(mathematics)에서, 양의 실수(positive real numbers)의 집합, \(\displaystyle \mathbb{R}_{>0} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \right\}\)은 영보다 큰 실수의 부분-집합입니다. 비-음의 실수(non-negative real numbers), \(\displaystyle \mathbb{R}_{\geq 0} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \right\}\)는 영을 포함합니다. 비록 기호 \(\displaystyle \mathbb{R}_{+}\)와 \(\displaystyle \mathbb{R}^{+}\)가 이들 중 하나에 대해 모호하게 사용되지만, \(\displaystyle \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \right\}\)에 대해 \(\displaystyle \mathbb{R}_{+}\) 또는 \(\displaystyle \mathbb{R}^{+}\)와 \(\displaystyle \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \right\}\)에 대해 \(\displaystyle \mathbb{R}_{+}^{*}\) 또는 \(\displaystyle \mathbb{R}^{+}_{*}\)가 역시 널리 사용되어 왔으며, 표기법은 영 원소의 제외를 별표로 나타내는 대수학의 관행과 일치하고, 대부분의 수학자들이 이해할 수 있어야 합니다.
복소 평면(complex plane)에서, \(\displaystyle \mathbb{R}_{>0}\)은 양의 실수 축(positive real axis)으로 식별되고, 보통 수평 반직선으로 그려집니다. 이 반직선은 복소수의 극좌표 형식에서 참조로 사용됩니다. 실수 양의 축은 편각(argument) \(\displaystyle \varphi = 0\)를 갖는 복소수(complex numbers) \(\displaystyle z = |z| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\)에 해당합니다.
Properties
집합 \(\displaystyle \mathbb{R}_{>0}\)은 덧셈, 곱셈, 및 나눗셈 아래에서 닫혀 있습니다. 그것은 실수 직선으로부터 토폴로지를 상속받고, 따라서, 곱셈 토폴로지적 그룹(topological group) 또는 덧셈 토폴로지적 반그룹(topological semigroup)의 구조를 가집니다.
주어진 양의 실수 \(\displaystyle x\)에 대해, 그것의 정수 거듭제곱의 수열(sequence) \(\displaystyle \left\{x^n\right\}\)은 세 가지 다른 운명을 가집니다: \(\displaystyle x \in (0, 1)\)일 때, 극한(limit)은 영입니다; \(\displaystyle x = 1\)일 때, 수열은 상수입니다; 그리고 \(\displaystyle x > 1\)일 때, 수열은 경계지지 않습니다.
\(\displaystyle \mathbb{R}_{>0} = (0,1) \cup \{ 1 \} \cup (1,\infty)\)이고 곱셈의 역(multiplicative inverse) 함수는 구간을 교환합니다. 함수 바닥(floor), \(\displaystyle \operatorname{floor} : [ 1 , \infty ) \to \mathbb{N},\, x \mapsto \lfloor x \rfloor,\) 및 초과(excess), \(\displaystyle \operatorname{excess} : [ 1 , \infty ) \to (0,1),\, x \mapsto x - \lfloor x \rfloor\)는 원소 \(\displaystyle x \in \mathbb{R}_{>0}\)를 연속된 분수(continued fraction) \(\displaystyle \left[ n_0; n_1, n_2, \ldots\right]\)로 설명하는 데 사용되었으며, 이는 초과가 역수된 후 바닥 함수에서 얻어진 정수의 수열입니다. 유리수 \(\displaystyle x\)에 대해, 그 수열은 \(\displaystyle x\)의 정확한 분수 표현으로 종료하고, 이차 무리수(quadratic irrational) \(\displaystyle x\)에 대해, 그 수열은 주기적인 연속 분수(periodic continued fraction)가 됩니다.
순서화된 집합 \(\displaystyle \left(\mathbb{R}_{>0}, >\right)\)은 전체 순서(total order)를 형성하지만 바른-순서화된 집합(well-ordered set)은 아닙니다. 이중으로 무한(doubly infinite) 기하 진행(geometric progression) \(\displaystyle 10^n\)은, 여기서 \(\displaystyle n\)은 정수이며, 전적으로 \(\displaystyle \left(\mathbb{R}_{>0}, >\right)\)에 놓이고 초과를 위해 그것을 분할하는 역할을 합니다. \(\displaystyle \mathbb{R}_{>0}\)은 비율 스케일(ratio scale), 가장 높은 측정의 수준(level of measurement)을 형성합니다. 원소는 과학적 표기법(scientific notation)에서 \(\displaystyle a \times 10^n\)으로 쓰일 수 있으며, 여기서 \(\displaystyle 1 \leq a < 10\)이고 \(\displaystyle b\)는 이중으로 무한 진행에서 정수이고, 데케이드(decade)라고 불립니다. 물리적 크기에 대한 연구에서, 데케이드의 차수는 비율 스케일에 함축된 순서-숫자 스케일을 참조하는 양수와 음수 순서-숫자를 제공합니다.
고전 그룹(classical groups)의 연구에서, 모든 각 \(\displaystyle n \in \mathbb{N}\)에 대해, 행렬식(determinant)은 실수에 걸쳐 \(\displaystyle n \times n\) 행렬에서 실수로의 맵: \(\displaystyle \mathrm{M}(n, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}\)을 제공합니다. 역-가능 행렬로 제한하면 일반 선형 그룹(general linear group)에서 비-영 실수로의 맵: \(\displaystyle \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}^\times\)을 제공합니다 양의 행렬식을 갖는 행렬로 제한하면 맵 \(\displaystyle \operatorname{GL}^+(n, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}_{> 0}\)을 제공합니다; 특수 선형 그룹(special linear group)이라고 불리는 정규 부분그룹(normal subgroup) \(\displaystyle \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \triangleleft \operatorname{GL}^+(n, \mathbb{R})\)에 의해 이미지를 몫 그룹(quotient group)으로 해석하면, 양의 실수를 리 그룹(Lie group)으로 표현합니다.
Ratio scale
측정의 수준(levels of measurement) 중에서, 비율 스케일은 가장 정밀한 세부 정보를 제공합니다. 나눗셈(division) 함수는 분자(numerator)와 분모(denominator)가 같을 때 일의 값을 가집니다. 다른 비율은 로그, 종종 밑수 10을 사용하는 상용 로그(common logarithm)에 의해 일과 비교됩니다. 비율 스케일은 그런-다음 다양한 측정의 단위(units of measurement)로 표현되는 과학과 기술에서 사용되는 크기의 정도(order of magnitude)에 의해 분할합니다.
비율 스케일의 초기 표현은 에우독수스(Eudoxus)에 의해 기하학적으로 표현되었습니다: "에우독수스의 비율(proportion)의 일반 이론이 개발된 것은 기하학적 언어에서 였으며, 이는 양의 실수의 이론과 동등합니다."
Logarithmic measure
만약 \(\displaystyle [a,b] \subseteq \mathbb{R}_{>0}\)이 구간(interval)이면, \(\displaystyle \mu([a,b]) = \log(b / a) = \log
b - \log a\)는 \(\displaystyle \mathbb{R}_{>0}\)의 특정 부분-집합 위에 측정(measure)을 결정하며, 로그 아래에서 실수 위에 보통의 르베그 측정(Lebesgue measure)의 당김(pullback)에 해당합니다: 그것은 로그 스케일(logarithmic scale)의 길이입니다. 실제로, 그것은 르베그 측정이 덧셈 아래에서 불변인 것과 마찬가지로 \(\displaystyle z \in \mathbb{R}_{>0}\)에 의한 곱셈 \(\displaystyle [a,b] \to [az, bz]\)에 관한 불변 측정(invariant measure)입니다. 토폴로지적 그룹의 문맥에서, 이 측정은 하르 측정(Haar measure)의 예제입니다.
이 측정의 유용성은 로그 스케일(logarithmic scale)의 다른 응용 중에서, 별의 크기(stellar magnitudes)와 소음 수준을 데시벨(decibels) 단위로 설명하는 용도에서 나타납니다. 국제 표준 ISO 80000-3의 목적을 위해, 차원없는 양(dimensionless quantity)은 수준(levels)이라고 참조됩니다.
Applications
비-음의 실수는 수학에서 메트릭(metrics), 노름(norms), 및 측정(measures)에 대한 이미지(image)로 역할을 합니다.
0을 포함하여, 집합 \(\displaystyle \mathbb{R}_{\geq 0}\)은 확률 반-링(probability semiring)으로 알려진 반-링(semiring) 구조를 가집니다 (0은 덧셈 항등원(additive identity)입니다); 로그를 취하는 것 (로그 단위(logarithmic unit)를 제공하는 밑수의 선택과 함께)은 (\(\displaystyle - \infty\)에 해당하는 0과 함께) 로그 반-링(log semiring)으로 동형(isomorphism)을 제공하고, 그것의 단위 (\(\displaystyle - \infty\)를 제외한 유한 숫자)가 양의 실수에 해당합니다.
Square
데카르트 평면의 첫 번째 사분면, \(\displaystyle Q = \mathbb{R}_{> 0} \times \mathbb{R}_{> 0}\)이라고 놓습니다. 사분면 자체는 직선 \(\displaystyle L = \{(x,y): x = y \}\)과 표준 쌍곡선 \(\displaystyle H = \{(x,y): xy = 1 \}\)에 의해 네 부분으로 나뉩니다.
\(\displaystyle L \cup H\)는 삼지창을 형성하고 \(\displaystyle L \cap H = (1, 1)\)은 중심 점입니다. 그것은 거기에서 교차하는 두 개의 일-매개변수 그룹(one-parameter groups)의 항등 원소입니다:
\(\quad\displaystyle \{\left\{\left(e^a, \ e^a\right): a \in R \right\}, \times \} \text{ on } L \quad \text{ and } \quad \{\left\{\left(e^a, \ e^{-a}\right): a \in R\right\},\times \} \text{ on } H.\)
\(\displaystyle \mathbb{R}_{> 0}\)은 그룹(group)이기 때문에, \(\displaystyle Q\)는 그룹의 직접 곱(direct product of groups)입니다. \(\displaystyle Q\)에서 일-매개변수 부분-그룹 \(\displaystyle L\)과 \(\displaystyle H\)는 곱에서 활동을 프로파일링하고, \(\displaystyle L \times H\)는 그룹 동작의 유형의 해상도입니다.
영업과 과학의 영역에서 비율이 풍부하고, 비율에서 임의의 변화는 주의를 끕니다. 그 연구는 \(\displaystyle Q\)에서 쌍곡선 좌표(hyperbolic coordinates)를 참조합니다. \(\displaystyle L\) 축에 대한 운동은 기하 평균(geometric mean) \(\displaystyle \sqrt{xy},\)의 변화를 나타내고, 반면에 \(\displaystyle H\)를 따른 변화는 새로운 쌍곡선 각도(hyperbolic angle)를 나타냅니다. .
See also
References
- "positive number in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-08-11.
- E. J. Dijksterhuis (1961) Mechanization of the World-Picture, page 51, via Internet Archive
Bibliography
- Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). "Additive semigroups of positive real numbers". Mathematische Annalen. 188 (3): 214–218. doi:10.1007/BF01350237.
