수학(mathematics)에서, 평면(plane)은 무한히 멀리 뻗어나가는 평평한(flat), 이-차원 표면(surface)입니다. 평면은 점(point) (영 차원), 선(line) (일 차원), 및 삼-차원 공간(three-dimensional space)의 이-차원 유사체(two-dimensional analogue)입니다. 평면은, 방의 벽 중 하나가 무한히 멀리 연장된 것처럼, 일부 고-차원 공간의 부분-공간으로 발생할 수 있거나, 그것들은 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 설정에서 처럼, 그들의 권리 안에서 독립적인 존재를 즐길 수 있습니다.
독점적으로 이-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 작업할 때, 명확한 기사가 사용되므로, 그 평면은 전체 공간을 참조합니다. 수학, 기하학(geometry), 삼각법(trigonometry), 그래프 이론(graph theory), 및 그래프를 그리는 것(graphing)의 많은 기본 임무는 이-차원 공간에서, 종종 그 평면에서 수행됩니다.
Euclidean geometry
유클리드(Euclid)는 수학적 사상의 최초의 위대한 이정표, 기하학의 공리적 처리를 제시했습니다. 그는 정의되지 않은 용어 (공통 개념(common notions이라고 함)와 공준 (또는 공리(axiom))의 작은 핵심을 선택하고 그런-다음 다양한 기하학적 명제를 증명하기 위해 그것들을 사용했습니다. 비록 현대적 의미에서 평면은 원론(Elements)의 어느 곳에서도 직접적으로 정의되지는 않을지라도, 그것은 공통 개념의 일부로 생각될 수 있습니다. 유클리드는 길이, 각도 또는 넓이를 측정하기 위해 숫자를 결코 사용하지 않았습니다. 이런 식으로, 유클리드 평면은 데카르트(Cartesian) 평면과 완전히 같지는 않습니다.
평면은 자로-그은 표면(ruled surface)입니다.
Representation
이 섹션은 다만 3차원, 특히 \(\mathbf{R}^3\)에 삽입된 평면과 관련됩니다.
Determination by contained points and lines
임의의 차원의 유클리드 공간에서, 평면은 다음 중 임의의 하나에 의해 고유하게 결정됩니다:
- 셋의 비-같은-직선(collinear) 점 (하나의 직선 위에 있지 않은 점들).
- 하나의 직선과 해당 직선 위에 있지 않은 한 점.
- 둘의 구별되지만 교차하는 직선.
- 둘의 구별되지만 평행(parallel) 직선.
Properties
다음 명제는 삼-차원 유클리드 공간에서 유지되지만, 비록 그것들이 더 높은 자원 유사체를 가질지라도, 더 높은 차원에서는 유지되지 않습니다:
- 둘의 구별되는 평면은 서로 평행하거나 그것들은 하나의 직선(line)에서 교차합니다.
- 하나의 직선은 평면에 평행하거나, 평면과 단일 점에서 교차하거나, 평면에 포함됩니다.
- 같은 평면에 직교(perpendicular)하는 둘의 구별되는 직선은 서로 평행해야 합니다.
- 같은 직선에 직교하는 둘의 구별되는 평면은 서로 평행해야 합니다.
Point–normal form and general form of the equation of a plane
이-차원 공간에서 직선이 방정식에 대해 점-기울기 형식을 사용하여 설명되는 방법과 유사한 방식으로, 삼차원 공간에서 평면은 평면 안의 한 점과 평면의 "기울기"를 나타내기 위한 그것에 직교하는 벡터 (법선 벡터(normal vector))를 사용하여 자연스러운 설명을 가집니다.
구체적으로 특별히, \(\mathbf{r}_0\)를 어떤 점 \(P_0 =(x_0, y_0, z_0)\)의 위치 벡터라고 놓고, \(\mathbf{n} =(a,b,c)\)를 비-영 벡터로 놓습니다. 점 \(P_0\)와 벡터 n에 의해 결정되는 평면은 \(P_0\)에서 P로 그린 벡터가 n에 수직이 되도록 하는 위치 벡터 r을 갖는 점 P로 구성됩니다. 두 벡터가 수직인 것과 그들의 점 곱이 0인 것은 필요충분 조건임을 기억해 내면, 원하는 평면은 다음을 만족하는 모든 점 r의 집합으로 설명될 수 있음을 따릅니다:
\(\quad\displaystyle \boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0)=0.\)
점은 여기서 점 (스칼라) 곱을 의미합니다.
이것을 전개하면 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle a (x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0,\)
이것은 평면의 점-법선 형식의 방정식입니다. 이것은 단지 다음 선형 방정식(linear equation)입니다:
\(\quad\displaystyle ax + by + cz + d = 0,\)
여기서
\(\quad\displaystyle d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)\),
이것은 \(\displaystyle - \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_0\)의 전개된 형식입니다.
수학에서 법선을 단위 벡터(unit vector)로 표현하는 것이 공통적인 관례이지만, 위의 인수는 임의의 비-영 길이 법선 벡터에 대해 유지됩니다.
반대로, a, b, c 및 d가 상수이고 a, b, 및 c가 모두 영이 아니면, 다음 방정식의 그래프가 법선으로 벡터 n = (a, b, c)를 가지는 평면임을 쉽게 보입니다:
\(\quad\displaystyle ax + by + cz + d = 0\).
평면에 대해 이 친숙한 방정식은 평면 방정식의 일반 형식이라고 불립니다.
따라서 예를 들어 y = d + ax + cz (b = −1일 때) 형식의 회귀 방정식(regression equation)은 두 개의 설명 변수가 있을 때 삼-차원 공간에서 가장 적합한 평면을 설정합니다.
Describing a plane with a point and two vectors lying on it
대안적으로, 평면은 다음 형식의 모든 점 집합으로 매개변수적으로 설명될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + s \boldsymbol{v} + t \boldsymbol{w},\)
여기서 s와 t는 모든 실수에 걸쳐 변하고, v와 w는 평면을 정의하는 주어진 선형 독립(linearly independent) 벡터(vectors)이고, \(\mathbf{r}_0\)은 평면 위에 임의의 (그러나 고정된) 점의 위치를 나타내는 벡터입니다. 벡터 v와 w는 \(\mathbf{r}_0\)에서 시작하고 평면을 따라 다른 방향을 가리키는 벡터로 시각화될 수 있습니다. 벡터 v와 w는 수직(perpendicular)일 수 있지만, 평행할 수는 없습니다.
Describing a plane through three points
\(\mathbf{p}_1=(x_1, y_1, z_1),\mathbf{p}_2=(x_2, y_2, z_2),\mathbf{p}_3=(x_3, y_3, z_3)\)를 비-같은-직선 점으로 놓습니다.
Method 1
\(\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\) 및 \(\mathbf{p}_3\)를 통과하는 평면은 다음의 행렬식(determinant) 방정식을 만족하는 모든 점 (x,y,z)의 집합으로 설명될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3
\end{vmatrix} = 0. \)
Method 2
형식 \(\displaystyle ax + by + cz + d = 0 \)의 방정식에 의해 평면을 설명하기 위해, 다음 연립방정식을 풉니다:
\(\quad\displaystyle \, ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0\)
\(\quad\displaystyle \, ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0\)
\(\quad\displaystyle \, ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0.\)
이 시스템은 크라메르의 규칙(Cramer's rule)과 기본 행렬 조작을 사용하여 풀릴 수 있습니다. 다음으로 놓습니다:
\(\quad\displaystyle D = \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}\).
만약 D가 비-영이면 (원점을 통과하지 않는 평면이 아니면), a, b 및 c에 대해 값은 다음과 같이 계산될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
1 & y_1 & z_1 \\
1 & y_2 & z_2 \\
1 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}\)
\(\quad\displaystyle b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & 1 & z_1 \\
x_2 & 1 & z_2 \\
x_3 & 1 & z_3
\end{vmatrix}\)
\(\quad\displaystyle c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}.\)
이들 방정식은 d에서 매개변수입니다. d를 임의의 비-영 숫자와 같고 놓고 그것을 이들 방정식에 대입하면 하나의 해 집합을 생성할 것입니다.
Method 3
이 평면은 역시 위의 ""점과 법선 벡터" 규정에 의해 설명될 수 있습니다. 적절한 법선 벡터는 다음 교차 곱(cross product)에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \boldsymbol n = ( \boldsymbol p_2 - \boldsymbol p_1 ) \times ( \boldsymbol p_3 - \boldsymbol p_1 ), \)
그리고 점 \(\mathbf{r}_0\)는 주어진 점 \(\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2\) 또는 \(\mathbf{p}_3\) (또는 평면에서 임의의 다른 점) 중 하나로 취할 수 있습니다.
Operations
Distance from a point to a plane
평면 \(\displaystyle \Pi : ax + by + cz + d = 0\)과 평면 위에 놓일 필요는 없는 한 점 \(\displaystyle \boldsymbol p_1 = (x_1,y_1,z_1) \)에 대해, \(\displaystyle \boldsymbol p_1\)에서 평면까지 가장 짧은 거리는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \)
\(\displaystyle \boldsymbol p_1\)가 그 평면 위에 놓이는 것과 D=0인 것은 필요충분(iff) 조건임을 따릅니다.
만약 a, b, 및 c가 정규화되었음을 의미하는 \(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}=1\)이면, 그 방정식은 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle D = \ | a x_1 + b y_1 + c z_1+d |.\)
헤세 법선 형식(Hesse normal form)으로 알려진 평면 방정식에 대해 또 다른 벡터 형식은 매개변수 D에 의존합니다. 이 형식은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r} - D_0 = 0,\)
여기서 \(\displaystyle \boldsymbol{n}\)는 평면에 대한 단위 법선 벡터, \(\displaystyle \boldsymbol{r}\)는 평면의 한 점의 위치 벡터이고 \(D_0\)는 원점에서 평면의 거리입니다.
더 높은 차원에 대한 일반 공식은 벡터 표기법(vector notation)을 사용하여 빠르게 도달될 수 있습니다. 초평면(hyperplane)이 방정식 \(\displaystyle \boldsymbol{n} \cdot (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) = 0 \)을 가진다고 놓으며, 여기서 \(\displaystyle \boldsymbol{n}\)는 법선 벡터(normal vector)이고 \(\displaystyle \boldsymbol{r}_0 = (x_{10},x_{20},\dots,x_{N0})\)는 초평면(hyperplane)에서 한 점에 대한 위치 벡터(position vector)입니다. 우리는 점 \(\displaystyle \boldsymbol{r}_1 = (x_{11},x_{21},\dots,x_{N1})\)에 대한 수직 거리를 원합니다. 초평면(hyperplane)은 역시 상수 \(\displaystyle \{a_i\}\)에 대해 스칼라 방정식 \(\displaystyle \textstyle\sum_{i=1}^N a_i x_i = -a_0\)에 의해 표현될 수 있습니다. 마찬가지로, 대응하는 \(\displaystyle \boldsymbol{n}\)은 \(\displaystyle (a_1,a_2, \dots, a_N)\)으로 표현될 수 있습니다. 우리는 \(\displaystyle \boldsymbol{n}\)의 방향에서 벡터 \(\displaystyle \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_0\)의 스칼라 투영(scalar projection)을 원합니다. \(\displaystyle \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{r}_0 \cdot \boldsymbol{n} = -a_0\)임을 주목하면 (\(\displaystyle \boldsymbol{r}_0\)가 초평면(hyperplane)의 방정식을 만족할 때) 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
D &= \frac{|(\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_0) \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} \\
&= \frac{|\boldsymbol{r}_1\cdot \boldsymbol{n} - \boldsymbol{r}_0 \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} \\
&= \frac{|\boldsymbol{r}_1\cdot \boldsymbol{n} + a_0|}{|\boldsymbol{n}|} \\
&= \frac{|a_1x_{11} + a_2x_{21} + \dots + a_Nx_{N1} + a_0|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2}}
\end{align}
\).
Line–plane intersection
해석 기하학에서, 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 한 직선(line)과 한 평면의 교차점은 빈 집합(empty set), 한 점(point) 또는 하나의 직선일 수 있습니다.
Line of intersection between two planes
두 평면 \(\displaystyle \Pi_1 : \boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol r = h_1\) 및 \(\displaystyle \Pi_2 : \boldsymbol {n}_2 \cdot \boldsymbol r = h_2\)을 교차하는 직선은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \boldsymbol {r} = (c_1 \boldsymbol {n}_1 + c_2 \boldsymbol {n}_2) + \lambda (\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2) \)
여기서 \(\displaystyle \boldsymbol {n}_i\)는 정규화되었고, 다음입니다:
\(\quad\displaystyle c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2) }{ 1 - (\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2)^2 } \)
\(\quad\displaystyle c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2) }{ 1 - (\boldsymbol {n}_1 \cdot \boldsymbol {n}_2)^2 }.\)
이것은 그 직선이 두 평면 법선에 수직이어야 하고, 교차 곱 \(\displaystyle \boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2\)에 평행해야 한다는 점에 의해 구해집니다 (이 교차 곱이 영인 것과 그 평면이 평행하고, 따라서 비-교차 또는 완전히 일치함은 필요충분 조건입니다).
표현식의 나머지 부분은 그 직선 위의 임의의 점을 찾음으로써 도달됩니다. 그렇게 하기 위해, 공간에서 임의의 점이 \(\displaystyle \boldsymbol r = c_1\boldsymbol {n}_1 + c_2\boldsymbol {n}_2 + \lambda(\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2)\)으로 쓰일 수 있음을 생각해 보십시오, 왜냐하면 \(\displaystyle \{ \boldsymbol {n}_1, \boldsymbol {n}_2, (\boldsymbol {n}_1 \times \boldsymbol {n}_2) \}\)는 기저(basis)이기 때문입니다. 우리는 두 평면 (즉, 교차점)에 있는 점을 찾기를 원하므로, 이 방정식을 평면의 각 방정식에 대입하여 \(\displaystyle c_1\)과 \(\displaystyle c_2\)에 대해 풀릴 수 있는 두 개의 연립 방정식을 얻습니다.
만약 우리가 추가적으로 \(\displaystyle \boldsymbol {n}_1\) and \(\displaystyle \boldsymbol {n}_2\)가 직교-정규(orthonormal)임을 가정하면 원점에서 교차 직선 위의 가장 가까운 점은 \(\displaystyle \boldsymbol r_0 = h_1\boldsymbol {n}_1 + h_2\boldsymbol {n}_2\)입니다. 만약 이것은 그 경우가 아니면, 보다 복잡한 절차가 사용되어야 합니다.
Dihedral angle
\(\displaystyle \Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\) and \(\displaystyle \Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\)에 의해 설명된 두 개의 교차하는 평면이 주어지면, 그들 사이에 이면 각도(dihedral angle)는 그들 법선 방향 사이의 각도 \(\displaystyle \alpha\)로 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle \cos\alpha = \frac{\hat n_1\cdot \hat n_2}{|\hat n_1||\hat n_2|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}. \)
Planes in various areas of mathematics
친숙한 기하학적(geometric) 구조 외에도, 보통의 내부 곱에 관한 등거리-변환(isometry)인 동형(isomorphism)과 함께, 평면은 다양한 다른 수준의 추상화(abstraction)에서 보일 수 있습니다. 각 추상화 수준은 특정 카테고리(category)에 해당합니다.
한 극단에서, 모든 기하학적 및 메트릭(metric) 개념은 토폴로지적(topological) 평면을 떠나기 위해 버려질 수 있으며, 토폴로지적 평면은 근접성의 개념을 유지하지만 거리를 가지지 않는 이상화된 호모토피적으로(homotopically) 자명한 무한 고무 시트로 생각될 수 있습니다. 토폴로지적 평면은 선형 경로의 개념을 가지지만, 직선의 개념은 가지지 않습니다. 토폴로지적 평면 또는 이에 상응하는 열린 디스크는 낮은-차원 토폴로지(low-dimensional topology)로 분류된 표면(surfaces) (또는 2-다양체)을 구성하기 위해 사용되는 기본 토폴로지적 이웃입니다. 토폴로지적 평면의 동형은 모두 연속(continuous) 전단사(bijection)입니다. 토폴로지적 평면은 평면 그래프(planar graphs)와 네 가지 색깔 정리(four color theorem)와 같은 결과를 다루는 그래프 이론(graph theory)의 가지에 대해 자연스러운 맥락입니다.
평면은 역시 아핀 공간(affine space), 그것의 동형이 평행이동과 비-특이 선형 맵의 조합으로 보일 수 있습니다. 이 관점에서, 거리가 없지만, 임의의 직선 위에 공선성(collinearity)과 거리의 비율이 유지됩니다.
미분 기하학(Differential geometry)은 평면을 2차원 실수 매니폴드(manifold), 미분 구조(differential structure)와 제공되는 토폴로지적 평면으로 봅니다. 이 경우에도, 거리의 개념은 없지만, 이제 맵의 매끄러움의 개념, 예를 들어 미분-가능(differentiable) 또는 매끄러운(smooth) 경로 (적용된 차동 구조 유형에 따라 다름)가 있습니다. 이 경우 동형은 선택된 미분-가능성의 차수를 가진 전단사입니다.
추상화의 반대 방향에서, 우리는 기하학적 평면에 호환 가능한 필드 구조를 적용할 수 있으며, 복소 평면(complex plane)과 복소 해석학(complex analysis)의 주요 영역을 생성합니다. 복소 필드는 오직 고정된 실수 직선을 그대로 두는 동형, 항등원과 켤레(conjugation)를 가집니다.
실제 경우와 같은 방식에서, 평면은 역시 가장 단순한, 일-차원 (복소수에 걸쳐) 복소 매니폴드(complex manifold)로 볼 수 있으며, 때때로 복소 직선이라고 불립니다. 어쨌든, 이러한 관점은 평면을 2-차원 실수 매니폴드로의 경우와 극명하게 대조됩니다. 동형은 모두 복소수 평면의 등각(conformal) 전단사이지만, 유일한 가능성은 복소에 의한 곱셈과 평행-이동의 합성에 해당하는 맵입니다.
게다가, 유클리드 기하학 (모든 곳에서 영 곡률(curvature)을 가짐)은 평면이 가질 수 있는 유일한 기하학이 아닙니다. 평면은 입체 투영(stereographic projection)을 사용함으로써 구형 기하학(spherical geometry)을 제공할 수 있습니다. 이것은 평면에 구를 배치하고 (마치 바닥에 공처럼), 꼭대기 점을 제거하고, 이 점에서 평면에 구를 투영하는 것으로 생각될 수 있습니다. 이것은 지구 표면의 일부의 평면 지도를 만드는 데 사용될 수 있는 투영법 중 하나입니다. 결과 기하학은 일정한 양의 곡률을 가집니다.
대안적으로, 평면은 역시 쌍곡 평면(hyperbolic plane)을 제공하는 그것에 일정한 음의 곡률을 제공하는 메트릭을 제공할 수 있습니다. 후자의 가능성은 둘의 공간 차원과 하나의 시간 차원이 있는 단순화된 경우에서 특수 상대성(special relativity)에서 응용 프로그램을 찾습니다. (쌍곡 평면은 삼-차원 민코프스키 공간(Minkowski space)에서 시간꼴(timelike) 초표면(hypersurface)입니다.)
Topological and differential geometric notions
평면의 한-점 컴팩트화(one-point compactification)는 구(sphere)와 동형입니다 (입체 투영(stereographic projection)을 참조하십시오); 열린 디스크는 "북극"이 없는 구와 동형입니다; 그 점을 추가하면 (컴팩트) 구를 완성합니다. 이 컴팩트화의 결과는 리만 구(Riemann sphere) 또는 복소(complex) 투영 직선(projective line)으로 참조되는 매니폴드(manifold)입니다. 유클리드 평면에서 점이 없는 구로의 투영은 미분-동형(diffeomorphism)이고 심지어 등각 맵(conformal map)입니다.
평면 자체는 열린 디스크(disk)에 대한 동형 (및 미분-동형)입니다. 쌍곡 평면(hyperbolic plane)에 대해, 그러한 미분-동형은 등각이지만, 유클리드 평면에 대해 그렇지 않습니다.
See also
References
- Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
- Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, vol. I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.
External links
- "Plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Plane". MathWorld.
- "Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.
