수학(mathematics)에서, 실수 직선(real line)에서 구간(interval) [a, b]의 분할은 다음을 만족하는 실수(real number)의 유한 수열(sequence) \(x_0, x_1, x_2, ..., x_n\)입니다:
\(\quad a= x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b\).
다시 말해, 컴팩트(compact) 구간 I의 분할은 I의 초기 점에서 시작하고 I의 끝 점에 도달하는 (구간 I 자체에 속하는) 엄격하게 증가하는 숫자의 수열입니다.
형식 \([x_i, x_{i+1}]\)의 모든 각 구간은 분할 x의 부분구간으로 참조됩니다.
Refinement of a partition
주어진 구간 [a, b]의 또 다른 분할 Q는 만약 Q가 P의 모든 점과 마찬가지로 가능한 일부 다른 점을 포함하며 분할 P의 세분화라고 정의합니다; 분할 Q는 P보다 "더 미세하다"고 말합니다. 두 분할, P와 Q가 주어지면, 우리는 항상 증가하는 순서에서 P와 Q의 모든 점으로 구성되는 P ∨ Q로 표시되는 그것들의 공통 세분화를 형성할 수 있습니다.
Norm of a partition
다음 분할의 노름 (또는 그물)는
\(\quad x_0 < x_1 <x_2 < ... < x_n\)
이들 부분구간의 가장 긴 것의 길이입니다:
\(\quad \text{max}\{|x_i - x_{i-1}| :i = 1,..., n\}\).
Applications
분할은 리만 적분(Riemann integral), 리만–스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral), 및 조절된 적분(regulated integral) 이론에서 사용됩니다. 구체적으로 특별히, 주어진 구간의 더 미세한 분할이 고려됨에 따라, 그것들의 메쉬는 영에 접근하고 주어진 분할을 기반으로 하는 리만 합(Riemann sum)은 리만 적분(Riemann integral)에 접근합니다.
Tagged partitions
태그-지정된 분할(tagged partition)은 각 i에 대해 다음이라는 조건에 따르는 숫자의 유한 수열 \(t_0,..., t_{n-1}\)와 함께 주어진 구간의 분할입니다:
\(\quad x_i \le t_i \le x_{i+1}\).
다시 말해서, 태그-지정된 분할은 모든 각 부분구간의 구별되는 점을 갖는 파티션입니다: 그것의 메쉬는 보통의 분할과 같은 방법으로 정의됩니다. 하나의 태그-지정된 분할이 만약 더 큰 것이 더 작은 것의 세분화이면 또 다른 것보다 더 크다고 말함으로써 모든 태그-지정된 분할의 집합에 대한 부분 순서(partial order)를 정의하는 것이 가능합니다.
\(x_0,...,x_n\)가 \(t_0,...,t_{n-1}\)과 함께 [a, b]의 태그-지정된 분할이고, \(y_0, ..., y_m\)가 \(s_0,...,s_{m-1}\)와 함께 [a, b]의 또 다른 태그-지정된 분할로 가정합니다. 우리는 \(y_0,..., y_m\)가 \(s_0,...,s_{m-1}\)와 함께 만약 0 ≤ i ≤ n를 갖는 정수(integer) i에 대해, r(i) ≤ j ≤ r(i + 1) − 1를 갖는 일부 j에 대해 \(x_i = y_{r(i)}\)를 만족하고 \(t_i = s_j\)를 만족하는 정수 r(i)가 있으면 \(x_0,...,x_n\)가 \(t_0,...,t_{n-1}\)과 함께 태그-지정된 분할의 세분화라고 말합니다. 보다 간단히 말해서, 태그-지정된 분할의 세분화는 시작 분할을 취하고 더 많은 태그를 추가하지만, 어떤 제거도 하지 않습니다.
See also
References
- Brannan, D. A. (2006). A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. p. 262. ISBN 9781139458955.
- Hijab, Omar (2011). Introduction to Calculus and Classical Analysis. Springer. p. 60. ISBN 9781441994882.
- Zorich, Vladimir A. (2004). Mathematical Analysis II. Springer. p. 108. ISBN 9783540406334.
- Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). A Course in Calculus and Real Analysis. Springer. p. 213. ISBN 9780387364254.
- Dudley, Richard M.; Norvaiša, Rimas (2010). Concrete Functional Calculus. Springer. p. 2. ISBN 9781441969507.
Further reading
- Gordon, Russell A. (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Graduate Studies in Mathematics, 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.
