수학(mathematics)에서, 노름된 벡터 공간(normed vector space) 또는 노름된 공간(normed space)은 노름(norm)이 정의된 실수 또는 복소수에 걸쳐 벡터 공간(vector space)입니다. 노름은 물리적 세계에서 "길이"의 직관적인 개념의 일반화입니다. 만약
- 비-음수성: 모든 각
에 대해, . - 양수 한정성: 모든 각
에 대해, 인 것과 가 영 벡터인 것은 필요충분 조건입니다. - 절대 동차성: 모든 각
와 에 대해, - 삼각형 부등식(Triangle inequality): 모든 각
와 에 대해,
만약
노름은 다음 공식에 의해 (노름) 유도된 메트릭((norm) induced metric)이라고 불리는 거리(distance)를 유도합니다:
이는 임의의 노름된 벡터 공간을 메트릭 공간(metric space)과 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)으로 만듭니다. 만약 이 메트릭 공간이 완비(complete)이면 노름된 공간은 바나흐 공간(Banach space)입니다. 모든 각 노름된 벡터 공간은 바나흐 공간으로 "고유하게 확장"될 수 있으며, 이는 바나흐 공간과 밀접하게 관련된 노름된 공간을 만듭니다. 모든 각 바나흐 공간은 노름된 공간이지만 전환은 참이 아닙니다. 예를 들어, 실수의 유한 수열(finite sequences)의 집합은 유클리드 노름(Euclidean norm)으로 노름될 수 있지만, 이 노름에 대해서는 완비가 아닙니다.
안의 곱 공간(inner product space)은 노름이 벡터와 자신의 안의 곱의 제곱근인 노름된 벡터 공간입니다. 유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)의 유클리드 노름(Euclidean norm)은 다음 공식에 의해 유클리드 거리를 정의할 수 있는 특별한 경우입니다:
노름된 공간과 바나흐 공간에 대한 연구는 수학의 주요 하위 분야인 함수형 해석(functional analysis)의 토대적 부분입니다.
Definition
노름된 벡터 공간(normed vector space)은 노름(norm)을 갖춘 벡터 공간(vector space)입니다. 반노름 벡터 공간(seminormed vector space)은 반노름(seminorm)을 갖춘 벡터 공간입니다.
유용한 삼각형 부등식의 변형은 임의의 벡터
이것은 역시 벡터 노름이 (균등하게) 연속적인 함수(continuous function)임을 보여줍니다.
속성 3은 스칼라의 필드 위에 노름
Topological structure
만약
- 벡터 덧셈
은 이 토폴로지에 관해 결합적으로 연속입니다. 이것은 삼각형 부등식(triangle inequality)에서 직접 따릅니다. - 스칼라 곱셈
은, 여기서 는 의 놓여있는 스칼라 필드이며, 결합적으로 연속입니다. 이것은 삼각형 부등식과 노름의 동차성에서 따릅니다.
유사하게, 임의의 반노름된 벡터 공간에 대해, 두 벡터
특히 흥미로운 것은 바나흐 공간(Banach space)으로 알려진 완비(complete) 노름된 공간입니다. 모든 각 노름된 벡터 공간
같은 벡터 공간 위에 두 개의 노름은 만약 그것들이 같은 토폴로지(topology)를 정의하면 동등하다(equivalent)고 합니다. 유한-차원 벡터 공간 위에, 모든 노름이 동등하지만 이것은 무한 차원 벡터 공간에 대해 참이 아닙니다.
유한-차원 벡터 공간의 모든 노름은 그것들이 같은 토폴로지를 유도하기 때문에 토폴로지적 관점에서 동등합니다 (결과 메트릭 공간이 같을 필요는 없습니다). 그리고 임의의 유클리드 공간이 완비이기 때문에, 우리는 따라서 모든 유한-차원 노름된 벡터 공간이 바나흐 공간이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 노름된 벡터 공간
반노름된 벡터 공간의 토폴로지는 많은 좋은 속성을 가지고 있습니다. 0 주변의 이웃 시스템(neighbourhood system)
이때
게다가, 흡수 집합(absorbing sets)과 볼록 집합(convex sets)으로 구성된 원점에 대한 이웃 기저(neighbourhood basis)가 존재합니다. 이 속성은 함수형 해석(functional analysis)에 매우 유용하기 때문에, 이 속성을 갖는 노름된 벡터 공간의 일반화는 지역적으로 볼록 공간(locally convex spaces)이라는 이름 아래에서 연구됩니다.
토폴로지적 벡터 공간
Normable spaces
토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)
콜모고로프의 노름가능성 기준(Kolmogorov's normability criterion): 하우스도르프 토폴로지적 벡터 공간이 노름-가능인 것과
노름가능 공간의 가족의 곱이 노름가능인 것과 공간의 유한하게 많은 것만 비-자명한 (즉,
만약
는 노름가능입니다. 는 원점의 경계진 이웃을 가집니다. 의 강한 이중 공간(strong dual space) 는 노름가능입니다. 의 강한 이중 공간 은 메트릭가능(metrizable)입니다.
게다가,
프레셰 공간(Fréchet space)
측정-가능 토폴로지적 벡터 공간이 노름의 가족에 의해 정의되는 토폴로지를 가지고 있더라도, 그럼에도 불구하고 여전히 노름가능 공간이 될 수 없습니다 (그 토폴로지가 임의의 단일 노름에 의해 정의될 수 없음을 의미합니다). 그러한 공간의 예제는 프레셰 공간
Linear maps and dual spaces
두 개의 노름된 벡터 공간 사이에서 가장 중요한 맵은 연속 선형 맵(continuous linear maps)입니다. 이들 맵과 함께, 노름된 벡터 공간은 카테고리(category)를 형성합니다.
노름은 그것의 벡터 공간 위에 연속 함수입니다. 유한 차원 벡터 공간 사이의 모든 선형 맵도 연속적입니다.
노름된 두 벡터 공간 사이의 등거리변환(isometry)은 노름을 보존하는 선형 맵
노름된 벡터 공간에 대해 말할 때, 우리는 노름을 고려하기 위해 이중 공간(dual space)의 개념을 보강합니다. 노름된 벡터 공간
Normed spaces as quotient spaces of seminormed spaces
많은 노름된 공간 (특히, 바나흐 공간)의 정의는 벡터 공간 위에 정의된 반노름을 포함하고 그런-다음 노름된 공간은 반노름 영의 원소의 부분공간에 의한 몫 공간(quotient space)으로 정의됩니다. 예를 들어,
오른쪽 변의 르베그 적분(Lebesgue integral)이 정의되고 유한한 모든 함수의 벡터 공간 위에 반노름입니다. 어쨌든, 그 반노름은 르베그 측정(Lebesgue measure) 영의 집합 위에 지원된 임의의 함수에 대해 영과 같습니다. 이들 함수는 우리가 "나누는(quotient out)" 부분공간을 형성하여, 영 함수와 동등하게 만듭니다.
Finite product spaces
반노름
여기서 벡터 덧셈은 다음과 같이 정의됩니다:
그리고 스칼라 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다:
다음에 의해 새로운 함수
이는
보다 일반적으로, 각 실수
각
기본 선형 대수를 포함하는 직접적인 주장은 유일한 유한-차원 반노름된 공간이 노름된 공간과 자명한 반노름을 갖는 공간의 곱 공간으로 발생하는 공간이라는 것을 보여줍니다. 결과적으로, 반노름된 공간의 더 흥미로운 예제와 응용은 무한-차원 벡터 공간에 대해 발생합니다.
See also
- Inner product space, normed vector spaces where the norm is given by an inner product
- Kolmogorov's normability criterion
- Space (mathematics) – mathematical set with some added structure
Bibliography
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Template:Banach Théorie des Opérations Linéaires
- Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
- Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
External links
- Media related to Normed spaces at Wikimedia Commons