기하학(geometry)에서, 다면체의 전개도(net)는 다면체의 면(faces)이 되기 위해 (가장자리를 따라) 접힐 수 있는 평면(plane)에서 겹치지 않는 가장자리(edge)-접합된 다각형(polygons)의 배열입니다. 다면체 전개도는 얇은 판지와 같은 재료로 다면체의 물리적 모델을 구성할 수 있기 때문에 일반적으로 다면체와 입체 기하학(solid geometry) 연구에 유용한 도움이 됩니다.
다면체 전개도의 초기 사례는 알브레히트 뒤러(Albrecht Dürer)의 연구에 나타나며, 그의 1525년 책 A Course in the Art of Measurement with Compass and Ruler (Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd)는 플라톤 고체(Platonic solids)와 여러 아르키메데스 다면체(Archimedean solids)에 대한 전개도를 포함하고 있습니다. 이들 구조는 1543년 어거스틴 히르슈보겔(Augustin Hirschvogel)에 의해 처음으로 전개도라고 불렸습니다.
Existence and uniqueness
어떤 가장자리가 접합되고 어떤 것이 분리되는지의 선택에 따라 주어진 다면체에 대해 많은 다른 전개도가 존재할 수 있습니다. 볼록 다면체에서 전개도를 형성하기까지 절단된 가장자리가 다면체의 스패닝 트리(spanning tree)를 형성해야 하지만, 절단한 일부 스패닝 트리는 다면체에게 전개도를 형성하는 것이 아니라 펼쳤을 때 자체-겹침을 발생시킬 수 있습니다. 반대로, 주어진 전개도는 그것의 가장자리가 접히는 각도와 함께 붙일 가장자리의 선택에 따라 둘 이상의 다른 볼록 다면체로 접힐 수 있습니다. 만약 결과 모양의 각 꼭짓점이 양의 각도 결함(angular defect)을 가짐을 만족하고 이들 결함의 합이 정확히 4π임을 만족하는 그것의 가장자리를 함께 붙이기 위한 패턴과 함께 전개도가 주어지면, 전개도로부터 접힐 수 있는 필연적으로 정확하게 하나의 다면체가 있습니다; 이것이 알렉산드로프의 고유성 정리(Alexandrov's uniqueness theorem)입니다. 어쨌든, 이러한 방법으로 형성된 다면체는 전개도의 일부로 지정된 면과 다른 면을 가질 수 있습니다: 전개 다각형의 일부는 그들을 가로질러 접힌 부분을 가질 수 있고, 전개 다각형 사이의 가장자리의 일부는 펼쳐진 상태로 남아 있을 수 있습니다. 추가적으로, 같은 전개도는 여러 유효한 달라붙는 패턴을 가질 수 있으며, 다른 접힌 다면체로 이어집니다.
1975년에, G. C. Shephard는 모든 각 볼록 다면체가 적어도 하나의 전개도를 가질지 또는 단순 가장자리-전개가 있는지 물었습니다. 뒤러의 추측, 또는 뒤러의 전개 문제라고도 알려진 이 질문은 해결되지 않은 채 남겨져 있습니다. 전개도를 가지지 않는 비-볼록 다면체가 존재하고, 세분화된 면의 집합이 전개도를 갖도록 (예를 들어 절단 궤적을 따라) 모든 각 볼록 다면체의 면을 세분화하는 것이 가능합니다. 2014년에, 모하마드 고미(Mohammad Ghomi)는 모든 각 볼록 다면체가 아핀 변환(affine transformation) 후에 전개도를 허용한다는 것을 보여주었습니다. 게다가, 2019년 Barvinok과 고미(Ghomi)는 뒤러 추측의 일반화가 유사 가장자리, 즉, 다면체의 꼭짓점을 연결하고 볼록 면을 갖는 그래프를 형성하는 측지선 네트워크에 대해 실패함을 보여주었습니다.
관련된 공개 질문은 볼록 다면체의 모든 각 전개도가 블루밍(blooming), 평평한 상태에서 각 면을 운동 내내 평평하게 유지하는 접힌 상태까지 연속적인 비-자체-교차하는 운동을 가지는지 여부를 묻습니다.
Shortest path
다면체 표면 위에 두 점 사이의 표면에 걸쳐 최단 경로(shortest path)는 경로에 의해 접촉되는 면의 부분집합에 대해 적합한 전개도 위의 직선에 해당합니다. 전개도는 직선이 완전히 그 안에 있어야 함을 만족되어야 하고, 어떤 것이 최단 경로를 제공하는지 보기 위해 여러 개의 전개도를 고려해야 할 수도 있습니다. 예를 들어, 정육면체(cube)의 경우에서, 만약 점들이 인접한 면 위에 있으면, 최단 경로에 대해 후보 중 하나는 공통 가장자리를 가로지르는 경로입니다; 이러한 종류의 최단 경로는 두 면도 인접하는 전개도를 사용하여 찾아집니다. 최단 경로에 대해 다른 후보는 (그것 중 2개가 있는) 두 면 모두에 인접한 세 번째 면의 표면을 통과하고, 해당 전개도는 각 카테고리에서 최단 경로를 찾기 위해 사용될 수 있습니다.
거미와 파리 문제(The spider and the fly problem)는 직육면체 위의 두 점 사이의 최단 경로를 찾는 것과 관련된 레크리에이션 수학(recreational mathematics) 퍼즐입니다.
Higher-dimensional polytope nets
사-차원 폴리토프(polytope), 4-폴리토프(polytope)의 전개도는 다면체의 전개도의 다각형 면이 서로 연결되고 모두 같은 평면을 차지하는 것처럼 그것들의 면에 의해 연결되고 모두 같은 삼-차원 공간을 차지하는 다각형 셀(cells)로 구성됩니다. 모서리와 모두가 같은 평면을 차지합니다. 사-차원 초입방체(hypercube), 테서랙트의 전개도는 Salvador Dalí, Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954)에 의해 그림에서 두드러지게 사용됩니다. 로버트 A. 하인라인(Robert A. Heinlein)에 의한 단편 "—And He Built a Crooked House—"의 줄거리의 중심에는 같은 테서랙트 전개도가 있습니다.
조합적으로 구별되는
External links
- Weisstein, Eric W. "Net". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Unfolding". MathWorld.
- Regular 4d Polytope Foldouts
- Editable Printable Polyhedral Nets with an Interactive 3D View
- Paper Models of Polyhedra
- Unfolder for Blender
- Unfolding package for Mathematica
