(번역) Neighbourhood (mathematics)

Original article: w:Neighbourhood (mathematics)

 

토폴로지(topology)와 관련된 수학(mathematics)의 영역에서, 이웃(neighbourhood 또는 neighborhood)은 토폴로지적 공간(topological space)에서 기본 개념 중 하나입니다. 그것은 열린 집합(open set)과 내부(interior)의 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 직관적으로 말하자면, 점의 이웃은 그 점을 포함하는 점들의 집합(set)으로, 집합을 떠나지 않고 그 점에서 멀어지는 방향으로 어느 정도 이동할 수 있습니다.

Definitions

Neighbourhood of a point

만약 ${\displaystyle X}$가 토폴로지적 공간(topological space)이고 ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle X}$에서 한 점이면, ${\displaystyle p}$의 이웃은  ${\displaystyle p}$를 포함하는 열린 집합(open set) ${\displaystyle U}$를 포함하는 ${\displaystyle X}$의 부분집합(subset) ${\displaystyle V}$입니다:

${\displaystyle p\in U\subseteq V\subseteq X.}$

이것은 역시 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle V}$의 토폴로지적 내부(topological interior)에 속하는 점 ${\displaystyle p\in X}$와 동등합니다. 

이웃 ${\displaystyle V}$는 열린 부분집합 ${\displaystyle X}$일 필요는 없지만' ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle X}$에서 열린 것일 때 그것은 열린 이웃이라고 불립니다. 일부 저자는 이웃을 열린 것으로 요구하는 것으로 알려져 있으므로, 규칙을 기록하는 것이 중요합니다.

각 점의 이웃인 집합은 각 점을 포함하는 열린 집합의 합집합으로 표현될 수 있기 때문에 열린 것입니다. 그림에 표시된 것처럼, 직사각형은 모든 점의 이웃이 아닙니다; 사각형의 가장자리 또는 모서리에 있는 점은 직사각형 내에 포함된 임의의 열린 집합에 포함되지 않습니다.

점의 모든 이웃의 모음은 그 점에서 이웃 시스템(neighbourhood system)이라고 불립니다.

Neighbourhood of a set

만약 ${\displaystyle S}$가 토폴로지적 공간 ${\displaystyle X}$의 부분집합(subset)이면, ${\displaystyle S}$의 이웃은 ${\displaystyle S}$를 포함하는 열린 집합 ${\displaystyle U}$를 포함하는 집합 ${\displaystyle V}$입니다,

${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$

집합 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle S}$의 이웃인 것과 그것이 ${\displaystyle S}$에서 모든 점의 이웃인 것은 필요충분 조건임을 따릅니다. 게다가, ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle S}$의 이웃인 것과 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle V}$의 내부(interior)의 부분집합인 것은 필요충분 조건입니다.

${\displaystyle X}$의 열린 부분집합이기도 한 ${\displaystyle S}$의 이웃은 ${\displaystyle S}$의 열린 이웃이라고 불립니다. 점의 이웃은 단지 이 정의의 특별한 경우입니다.

In a metric space

메트릭 공간(metric space) ${\displaystyle M=(X,d)}$에서, 집합 ${\displaystyle V}$는 다음이 ${\displaystyle V}$에 포함됨을 만족하는 중심 ${\displaystyle p}$와 반지름 ${\displaystyle r>0}$을 갖는 열린 공(open ball)이 존재하면 점 ${\displaystyle p}$의 이웃입니다:

${\displaystyle B_r(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$

${\displaystyle V}$는 ${\displaystyle S}$의 모든 원소 ${\displaystyle p}$에 대해, 다음이  ${\displaystyle V}$에 포함됨을 만족하는 양수 ${\displaystyle r}$이 존재하면 집합 ${\displaystyle S}$의 균등 이웃이라고 불립니다:

${\displaystyle B_r(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$

${\displaystyle r>0}$에 대해, 집합 ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle r}$-이웃 ${\displaystyle S_r}$은 ${\displaystyle S}$에서 ${\displaystyle r}$보다 작은 거리에 있는 ${\displaystyle X}$에서 모든 점의 집합입니다 (또는 동등하게, ${\displaystyle S_r}$은 ${\displaystyle S}$에서 한 점에 중심을 둔 반지름 ${\displaystyle r}$의 모든 열린 공의 합집합입니다): 

${\displaystyle S_r=\bigcup _{p\in S}{B}_r(p).}$

${\displaystyle r}$-이웃은 균등 이웃이고, 집합이 균등 이웃인 것과 그것이 일부 ${\displaystyle r}$ 값에 대해 ${\displaystyle r}$-이웃을 포함하는 것은 필요충분 조건임을 직접 따릅니다.

Examples

보통의 유클리드 메트릭(Euclidean metric)과 다음으로 정의된 부분집합 ${\displaystyle V}$를 갖는 실수 ${\displaystyle \mathbb{R}}$의 집합이 주어지면,
${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}B(n;1/n),}$
${\displaystyle V}$는 자연수의 집합 ${\displaystyle \mathbb{N}}$에 대해 이웃이지만, 이 집합의 균등 이웃은 아닙니다.

Topology from neighbourhoods

위의 정의는 열린 집합(open set)의 개념이 이미 정의되어 있으면 유용합니다. 토폴로지를 정의하는 대안적인 방법이 있으며, 먼저 이웃 시스템(neighbourhood system)을 정의하고, 그런-다음 각 점의 이웃을 포함하는 집합으로 집합을 정의하는 것입니다.

${\displaystyle X}$ 위에 이웃 시스템은 다음을 만족하는 ${\displaystyle X}$에서 각 ${\displaystyle x}$에 대한 ${\displaystyle X}$의 부분집합 필터(filter) ${\displaystyle N(x)}$의 할당입니다:

1. 점 ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle N(x)}$에서 각 ${\displaystyle U}$의 원소입니다.
2. ${\displaystyle N(x)}$에서 각 ${\displaystyle U}$는  ${\displaystyle V}$에서 각 ${\displaystyle y}$에 대해, ${\displaystyle U}$가 ${\displaystyle N(y)}$ 안에 있음을 만족하는 ${\displaystyle N(x)}$에서 일부 ${\displaystyle V}$를 포함합니다.

우리는 두 정의가 호환 가능하다는 것을 보여줄 수 있습니다. 즉, 열린 집합을 사용하여 정의된 이웃 시스템에서 얻은 토폴로지가 원래 것이고, 이웃 시스템에서 시작할 때 그 반대도 마찬가지입니다.

Uniform neighbourhoods

균등 공간(uniform space)  ${\displaystyle S=(X,\mathrm{\Phi })}$에서, ${\displaystyle V}$는 만약 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle P}$의 일부 점에 대한 ${\displaystyle U}$-닫힌 ${\displaystyle X}$의 모든 점을 포함함을 만족하는; 즉, 모든 ${\displaystyle x\in P}$에 대해 ${\displaystyle U[x]\subseteq V}$임을 만족하는 측근(entourage) ${\displaystyle U\in \mathrm{\Phi }}$가 존재하면 ${\displaystyle P}$의 균등 이웃이라고 불립니다.

Deleted neighbourhood

점 ${\displaystyle p}$의 삭제된 이웃 (때때로 구멍난 이웃(punctured neighbourhood)이라고 불림)은 ${\displaystyle \{p\}}$ 없이 ${\displaystyle p}$의 이웃입니다. 예를 들어, 구간(interval) ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$은 실수 직선에서 ${\displaystyle p=0}$의 이웃이므로, 집합 ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$은 ${\displaystyle 0}$의 삭제된 이웃입니다. 주어진 점의 삭제된 이웃은 사실 그 점의 이웃이 아닙니다. 삭제된 이웃의 개념은 함수의 극한의 정의와 (다른 것 중에서) 극한점 정의에서 발생합니다.

See also

• Region (mathematics)

References

 

• Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Sterling K. Berberian. Springer. p. 6. ISBN 0-387-90972-9. According to this definition, an open neighborhood of x is nothing more than an open subset of E that contains x .
• Peters, Charles (2022). "Professor Charles Peters" (PDF). University of Houston Math. Retrieved 3 April 2022.
• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2694-8.