다중-인덱스 표기법(Multi-index notation)은 정수 인덱스(index)의 개념을 순서화된 인덱스의 튜플(tuple)로 일반화함으로써 다변수 미적분학(multivariable calculus), 부분 미분 방정식(partial differential equation)과 분포(distribution)의 이론에 사용되는 공식을 단순화하는 수학적 표기법(mathematical notation)입니다.
Definition and basic properties
n-차원 다중-인덱스는 비-음의 정수(non-negative integers) (즉, \(\displaystyle \mathbb{N}^n_0\)로 표시된, 자연수(natural number)의 n-차원(dimension) 집합(set)의 원소)의 다음 n-튜플(tuple)입니다:
\(\quad\displaystyle \alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)\).
다중-인덱스 \(\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0\)와 \(\displaystyle x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n\)에 대해, 우리는 다음을 정의합니다:
성분별 합과 차이
\(\quad\displaystyle \alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)\)
\(\quad\displaystyle \alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\)
성분의 합 (절댓값)
\(\quad\displaystyle | \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n\)
\(\quad\displaystyle \alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!\)
\(\quad\displaystyle \binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}\)
\(\quad\displaystyle \binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!} \)
여기서 \(\displaystyle k:=|\alpha|\in\mathbb{N}_0\).
\(\quad\displaystyle x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}\).
고차 부분 도함수
\(\quad\displaystyle \partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}\)
여기서 \(\displaystyle \partial_i^{\alpha_i}:=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i}\) (역시 4-그래디언트를 참조하십시오). 때때로 표기법 \(\displaystyle D^{\alpha} = \partial^{\alpha}\)이 역시 사용됩니다.
Some applications
다중-인덱스 표기법은 기초 미적분에서 해당하는 다중-변수 경우로 많은 공식의 확장을 허용합니다. 아래는 일부 예제입니다. 모든 다음에서, \(\displaystyle x,y,h\in\mathbb{C}^n\) (or \(\displaystyle \mathbb{R}^n\)), \(\displaystyle \alpha,\nu\in\mathbb{N}_0^n\), 및 \(\displaystyle f,g,a_\alpha\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}\) (or \(\displaystyle \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)).
\(\quad\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k} \binom{k}{\alpha} \, x^\alpha\)
\(\quad\displaystyle (x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, x^\nu y^{\alpha - \nu}.\)
x + y가 벡터이고 α가 다중-인덱스이기 때문에, 왼쪽 변에서 표현은 \(x_1+y_1)^{\alpha_1} \cdots (x_n+y_n)^{\alpha_n}\)에 대해 짧은 것임을 주목하십시오.
\(\quad\)매끄러운 함수 f와 g에 대해
\(\qquad\displaystyle \partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.\)
\(\quad\)n 변수에서 해석적 함수(analytic function) f에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\qquad\displaystyle f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0} {\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.\)
\(\quad\) 사실, 충분한 매끄러운 함수에 대해, 우리는 유사한 테일러 전개를 가집니다:
\(\qquad\displaystyle f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_{n}(x,h),\)
\(\quad\)여기서 마지막 항 (나머지)은 테일러의 공식의 정확한 버전에 따라 다릅니다. 예를 들어, (정수 나머지를 갖는) 코시 공식에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\qquad\displaystyle R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !} \int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th) \, dt.\)
일반적인 선형 부분 미분 연산자
\(\quad\)n 변수에서 형식적 선형 N-번째 차수 부분 미분 연산자는 다음으로 쓰입니다:
\(\qquad\displaystyle P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N} {a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.\)
\(\quad\)경계진 도메인 \(\displaystyle \Omega \subset \mathbb{R}^n\)에서 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 매끄러운 함수에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\qquad\displaystyle \int_{\Omega} u(\partial^{\alpha}v) \, dx = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} {(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.\)
\(\quad\)이 공식은 분포(distribution)와 약한 도함수(weak derivative)의 정의에 사용됩니다.
An example theorem
만약 \(\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{N}^n_0\)가 다중-인덱스이고 \(\displaystyle x=(x_1,\ldots, x_n)\)이면, 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \partial^\alpha x^\beta = \begin{cases}
\frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \text{if}~ \alpha\le\beta,\\
0 & \text{otherwise.}
\end{cases}\)
Proof
증명은 [[differential calculus|보통의 도함수(ordinary derivative)]]에 대해 [[power rule|거듭제곱 규칙(power rule)]]에서 따릅니다: 만약 \(\displaystyle \alpha\)와 \(\displaystyle \beta\)가 {0, 1, 2, …} 안에 있으면, 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^\alpha}{dx^\alpha} x^\beta = \begin{cases}
\frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \hbox{if}\,\, \alpha\le\beta, \\
0 & \hbox{otherwise.}
\end{cases}\cdots\bf{(1)}\)
\(\displaystyle \alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)\), \(\displaystyle \beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)\), 및 \(\displaystyle x=(x_1,\ldots, x_n)\)를 가정합니다. 그런-다음 우리는 다음임을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}\partial^\alpha x^\beta&= \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\
&= \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots
\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}\)
{1, …, n}에서 각 i에 대해, 함수 \(\displaystyle x_i^{\beta_i}\)는 오직 \(\displaystyle x_i\)에 의존합니다. 위에서, 각 부분 미분화 \(\displaystyle \partial/\partial x_i\)가 따라서 대응하는 보통의 미분화 \(\displaystyle d/dx_i\)로 줄어듭니다. 따라서, 방정식 (1)에서, \(\displaystyle \partial^\alpha x^\beta\)가 {1, …, n}에서 적어도 하나의 i에 대해 \(\alpha_i > \beta_i\)이면 사라짐을 따릅니다. 만약 이것이 그 경우이면, 즉, 다중-인덱스로 α ≤ β이면, 각 \(\displaystyle i\)에 대해 다음이고 그 정리가 따릅니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i}\)
Q.E.D.
See also
References
- Reed, M.; Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I (Revised and enlarged ed.). San Diego: Academic Press. p. 319. ISBN 0-12-585050-6.
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
