수학(mathematics)에서, 용어 모듈로(modulo) ( "의 모듈러스에 관한", 그 자체로 "작은 측정"을 의미하는 모듈러스(modulus)의 라틴어(Latin) 탈격(ablative))는 종종 둘의 구별되는 수학적 대상은 만약 그것들의 차이가 추가적인 인자에 의해 설명되면 동등한 것으로 여겨질 수 있음을 주장하기 위해 사용될 수 있습니다. 그것은 1801년에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의해 모듈러 산술(modular arithmeti)의 문맥에서 수학(mathematics)에 처음으로 도입되었습니다. 그 이후로, 이 용어는 일부는 정확하고 일부는 부정확한 ("모듈로"를 "을 제외하고"와 동일시하는 것에서 처럼) 많은 의미를 얻어 왔습니다. 대부분의 경우에 대해, 그 용어는 종종 다음 형식의 문장으로 나타납니다:
\(\quad\)A는 B 모듈로 C와 같습니다.
이것은 다음을 의미합니다:
\(\quad\)A와 B는 C에 의해 설명되는 또는 표현되는 차이를 제외하고 같습니다.
History
모듈로(Modulo)는 1801년에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의한 그의 책 Disquisitiones Arithmeticae에서 수학(mathematics)에 도입된 수학적 전문 용어(mathematical jargon)입니다. 정수(integer) a, b, 및 n이 주어지면, 표현 "a ≡ b (모드 n)"은, "a는 b 모듈로 n과 일치합니다"라고 말하며, a − b가 n의 정수 배수, 또는 동등하게, a와 b 둘 다는 n으로 나뉠 때 같은 나머지를 공유한다는 것을 의미합니다. 그것은, 자체로 "작은 측정"을 의미하는, 모듈러스(modulus)의 라틴어(Latin) 탈격(ablative)입니다.
그 용어는 몇 년에 걸쳐 일부는 정확하고 일부는 부정확한 많은 의미를 얻어 왔습니다. 가장 일반적인 정확한 정의는 동치 관계(equivalence relation) R의 관점에서 단순한 것이며, 여기서 a는 만약 aRb이면 b 모듈로 R과 동등 (또는 일치)합니다. 보다 비공식적으로, 그 용어는 다음 형식의 명제에서 찾아집니다:
\(\quad\)A는 B 모듈로 C와 같습니다.
이것은 다음을 의미합니다:
\(\quad\)A와 B는 C에 의해 설명되는 또는 표현되는 차이를 제외하고 같습니다.
Usage
Original use
가우스는 원래 다음과 같이 "모듈로"를 사용하려고 의도했습니다: 정수(integer) a, b, 및 n이 주어지면, 표현 a ≡ b (모드 n)은, "a는 b 모듈로 n과 일치합니다"로 말하며, a − b가 n의 정수 배수, 또는 동등하게, a와 b 둘 다는 n으로 나뉠 때 같은 나머지를 남깁니다를 의미합니다. 예를 들어:
\(\quad\)13은 63 모듈로 10과 일치합니다.
이것은 다음을 의미합니다:
\(\quad\)13 - 63은 10의 배수입니다 (동등하게, 13과 63은 10의 배수만큼 다릅니다).
Computing
컴퓨팅(computing)과 컴퓨터 과학(computer science)에서, 그 용어는 여러 가지 방법으로 사용될 수 있습니다:
- 컴퓨팅(computing)에서, 그것은 전형적으로 모듈로 연산(modulo operation)입니다: 두 숫자 (정수 또는 실수), a와 n이 주어지면, a 모듈로 n은 특정 제약 아래에서 n에 의한 a의 수치적 나눗셈(division)의 나머지(remainder)입니다.
- 함수형 프로그래밍에 적용될 때 카테고리 이론(category theory)에서, "모듈로를 연산하는 것"은 나머지를 강조 표시하거나 정의함으로써 함수자를 카테고리에 매핑하는 것을 참조하는 특수 전문 용어입니다.
Structures
용어 "모듈로"는 다른 수학적 구조를 참조할 때 다르게 사용될 수 있습니다. 예를 들어:
- 그룹(group)의 두 숫자 a와 b가 모듈로 정규 부분그룹(normal subgroup)과 일치하는 것은 \(ab^{-1}\)가 정규 부분그룹의 구성원인 것은 필요충분(iff) 조건입니다 (자세한 것에 대해 몫 그룹(quotient group) 및 동형 정리(isomorphism theorem)를 참조하십시오).
- 링(ring) 또는 대수의 두 숫자가 만약 그들 사이의 차이가 아이디얼에 있으면 모듈로 아이디얼(ideal)과 일치합니다.
- 동사로 사용되는 그룹 (또는 링)에서 정규 부분그룹 (또는 아이디얼)을 인수화(factoring)하는 동작은 종종 "modding out the..." 또는 "we now mod out the..."이라고 합니다.
- 무한 집합의 두 부분집합은 그들의 대칭 차이(symmetric difference)가 유한이면, 즉, 첫 번째 부분집합에서 유한 조각을 제거할 수 있으면, 그것에 유한 조각을 추가하고, 결과로 두 번째 부분집합을 얻는 정확하게 같은 모듈로 유한 집합입니다.
- 맵의 짧은 정확한 수열(short exact sequence)은 몫 공간(quotient space)을 하나의 공간 모듈로 또 다른 공간임의 정의로 이어집니다; 따라서, 예를 들어, 코호몰로지(cohomology)는 닫힌 형식(closed forms) 모듈로 정확한 형식의 공간입니다.
Modding out
일반적으로, modding out은 그렇지 않으면 구별되는 것으로 여겨지는 동등한 것을 선언하는 것을 의미하는 다소 비공식적인 용어입니다. 예를 들어, 수열 1 4 2 8 5 7은 수열 7 1 4 2 8 5와 같은 것으로 고려된다고 가정하는데, 왜냐하면 각각이 다른 것의 순환적으로-이동된 버전이기 때문입니다.
\(\quad
\begin{array}{ccccccccccccc}
& 1 & & 4 & & 2 & & 8 & & 5 & & 7 \\
\searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow \\
& 7 & & 1 & & 4 & & 2 & & 8 & & 5
\end{array}
\)
해당 경우에서, 문구 "순환 이동에 의한 모딩 아웃"은 역시 사용될 수 있습니다.
References
- "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Modulo". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-21.
- "Modular arithmetic". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-11-21.
- "modulo". catb.org. Retrieved 2019-11-21.
- Bullynck, Maarten (2009-02-01). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany". Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. ISSN 0315-0860.
- "modulo", The Free Dictionary, retrieved 2019-11-21
- Barr; Wells (1996). Category Theory for Computing Science. London: Prentice Hall. p. 22. ISBN 0-13-323809-1.
External links
- Modulo in the Jargon File
