수학(mathematics)의 한 가지, 필드 이론(field theory)에서, 한 필드(field)의 원소 α의 최소 다항식(minimal polynomial)은, 대략 말해서, α가 다항식의 근임을 만족하는 필드에서 계수를 가지는 가장 낮은 차수(degree)의 다항식(polynomial)입니다. 만약 α의 최소 다항식이 존재하면, 그것은 고유합니다. 다항식에서 최고-차수 항의 계수는 1이어야 하고, 남아있는 계수에 대해 유형은 정수(integer), 유리수(rational number), 실수(real number), 등이 될 수 있습니다.
보다 형식적으로, 최소 다항식은 필드 확장(field extension) E/F와 확장 필드 E/F의 원소에 상대적으로 정의됩니다. 원소의 최소 다항식은, 만약 그것이 존재하면, F[x]의 구성원, F에서 원소를 갖는 변수 x에서 다항식의 링(ring of polynomials)입니다. E의 원소 α가 주어지면, \(J_a\)를 f(α) = 0를 만족하는 F[x]에서 모든 다항식 f(x)의 집합으로 놓습니다. 원소 α는 \(J_a\)에서 각 다항식의 근 또는 영이라고 불립니다. 집합 \(J_a\)는 F[x]의 아이디얼(ideal)이기 때문에 그렇게 이름-지어졌습니다. 모든 계수가 0인 영 다항식은 모든 각 \(J_a\)에 있는데 왜냐하면 모든 α와 i에 대해 \(0a^i=0\)이기 때문입니다. 이것은 영 다항식을 α의 다른 값을 유형으로 분류하는 데 쓸모없게 하므로, 그것은 제외됩니다. 모든 \(J_a\)에서 임의의 비-영 다항식이 있으면, α는 F에 걸쳐 대수적 원소(algebraic element)라고 불리고, \(J_a\)에서 최소 차수의 일계수 다항식(monic polynomial)이 존재합니다. 이것은 E/F에 관한 α의 최소 다항식입니다. 그것은 F에 대해 고유하고 기약(irreducible)입니다. 만약 영 다항식이 \(J_a\)의 유일한 구성원이면, α는 F에 걸쳐 초월적 원소(transcendental element)라고 불리고 E/F에 관한 최소 다항식을 가지지 않습니다.
최소 다항식은 필드 확장을 구성하고 분석하는 데 유용합니다. α가 최소 다항식 a(x)를 갖는 대수적일 때, F와 α 둘 다를 포함하는 가장 작은 필드는 몫 링(quotient ring) F[x]/⟨a(x)⟩와 동형적(isomorphic)이며, 여기서 ⟨a(x)⟩는 a(x)에 의해 생성된 F[x]의 아이디얼입니다. 최소 다항식은 역시 켤레 원소(conjugate elements)를 정의하기 위해 사용됩니다.
Definition
E/F를 필드 확장(field extension), α를 E의 원소, 및 F[x]를 F에 걸쳐 x에서 다항식의 링이라고 놓습니다. 원소 α는 α가 F에 걸쳐 대수적일 때, 즉, F[x]에서 일부 비-영 다항식 f(x)에 대해 f(α) = 0일 때 최소 다항식을 가집니다. 그런-다음 α의 최소 다항식은 α를 하나의 근으로 가지는 F[x]에서 모든 다항식 중 가장 작은 차수의 일계수 다항식으로 정의됩니다.
Uniqueness
a(x)를 E/F에 관한 α의 최소 다항식이라고 놓습니다. a(x)의 고유성은 F[x]에서 x에 대해 α를 대체하는 E로의 링 동형(ring homomorphism) \(text{sub}_{\alpha}\), 즉, \(\text{sub}_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)를 고려함으로써 설정됩니다. \(\text{sub}_{\alpha}\)의 커널, \(\text{ker}(\text{sub}_{\alpha})\)은 α를 근으로 가지는 F[x]에서 모든 다항식의 집합입니다. 즉, 위로부터 \(\text{ker}(\text{sub}_{\alpha})=J_a\)입니다. \(text{sub}_{\alpha}\)가 링 동형이기 때문에, \(\text{sub}_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)는 F[x]의 아이디얼입니다. F[x]는 F가 필드일 때마다 주요 링(principal ring)이기 때문에, \(\text{sub}_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)를 생성하는 \(\text{sub}_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)에서 적어도 하나의 다항식이 있습니다. 그러한 다항식은 \(\text{sub}_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)에서 모든 비-영 다항식 중에서 최소 차수를 가질 것이고, a(x)는 이들 중 유일한 일계수 다항식으로 취합니다.
Uniqueness of monic polynomial
p와 q가 최소 차수 n > 0의 \(J_{\alpha}\)에서 일계수 다항식이라고 가정합니다. \(p-q \in J_{\alpha}\) 및 deg(p − q) < n이므로, p − q = 0, 즉 p = q가 따릅니다.
Properties
최소 다항식은 기약입니다. E/F를 위에서 처럼 F에 걸쳐 필드 확장, α ∈ E, 및 f ∈ F[x]를 α에 대해 최소 다항식이라고 놓습니다. f = gh를 가정하며, 여기서 g, h ∈ F[x]는 f보다 더 차수의 것입니다. 이제 f(α) = 0입니다. 필드는 역시 정수 도메인이므로, 우리는 g(α) = 0 또는 h(α) = 0를 가집니다. 이것은 f의 차수의 최소성과 모순됩니다. 따라서 최소 다항식은 기약입니다.
Examples
Minimal polynomial of a Galois field extension
갈루아 필드 확장 \(\displaystyle L/K\)가 주어지면, \(\displaystyle K\)에 있지 않는 임의의 \(\displaystyle \alpha \in L\)의 최소 다항식은 만약 \(\displaystyle \alpha\)가 갈루아 작용에서 안정기를 가지지 않으면 다음으로 계산될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle f(x) = \prod_{\sigma \in \text{Gal}(L/K)} (x - \sigma(\alpha))\)
그것이 기약이기 때문에, 이것은 \(\displaystyle f'\)의 근을 봄으로써 추론될 수 있으며, 그것은 최소 다항식입니다. 같은 종류의 공식은 \(\displaystyle G = \text{Gal}(L/K)\)를 \(\displaystyle G/N\)로 대체함으로써 찾아질 수 있음을 주목하며 여기서 \(\displaystyle N = \text{Stab}(\alpha)\)는 \(\displaystyle \alpha\)의 안정기 그룹입니다. 예를 들어, 만약 \(\displaystyle \alpha \in K\)이면 그것의 안정기는 \(\displaystyle G\)이고, 따라서 \(\displaystyle (x-\alpha)\)는 최소 다항식입니다.
Quadratic field extensions
\(\rm Q(\sqrt{2})\)
만약 \(F=\mathbf{Q}, E=\mathbf{R}, \alpha=\sqrt{2}\)이면, α에 대해 최소 다항식은 \(a(x)=x^2-2\)입니다. 기본 필드 F는 중요한데 왜냐하면 그것이 a(x)의 계수에 대해 가능성을 결정하기 때문입니다. 예를 들어, 만약 우리가 F = R를 취하면, \(\alpha=\sqrt{2}\)에 대해 최소 다항식은 \(a(x)=x-\sqrt{2}\)입니다.
\(\rm Q(\sqrt{d})\)
일반적으로, 제곱-없는 \(\displaystyle d\)에 의해 주어진 이차 확장에 대해, 원소 \(\displaystyle a + b\sqrt{d}\)의 최소 다항식을 계산하면 갈루아 이론을 사용하여 구해질 수 있습니다. 그런-다음
\(\quad\displaystyle \begin{align}
f(x) &= (x - (a+b\sqrt{d}))(x - (a - b\sqrt{d})) \\
&= x^2 - 2ax + (a^2 - b^2d)
\end{align}\)
특히, 이것은 \(\displaystyle 2a \in \mathbb{Z}\)와 \(\displaystyle a^2 - b^2d \in \mathbb{Z}\)를 의미합니다. 이것은 모듈러 산술을 사용하여 일련의 관계를 통해 \(\displaystyle \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}\)를 결정하기 위해 사용될 수 있습니다.
Biquadratic field extensions
만약 \(\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)이면, Q[x]에서 최소 다항식은 \(a(x)=x^4-10x^2+1 = (x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})\)입니다.
만약 \(\displaystyle \alpha = \sqrt{2}\)이면 \(\displaystyle \sqrt{3}\) 위에 갈루아 작용이 \(\displaystyle \alpha\)를 안정시킴을 주의하십시오. 따라서 최소 다항식은 몫 그룹 \(\displaystyle \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})/\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q})\)을 사용하여 구할 수 있습니다.
Roots of unity
단위원의 근(roots of unity)의 Q[x]에서 최소 다항식은 원분 다항식(cyclotomic polynomial)입니다.
Swinnerton-Dyer polynomials
처음 n 소수의 제곱근의 합의 Q[x]에서 최소 다항식은 유사하게 구성되고, Swinnerton-Dyer 다항식이라고 불립니다.
References
- Weisstein, Eric W. "Algebraic Number Minimal Polynomial". MathWorld.
- Minimal polynomial at PlanetMath.org.
- Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5
