(번역) Medial axis

Original article: w:Medial axis

 

물체의 중앙 축(medial axis)은 물체의 경계 위에 하나보다 많은 가장 가까운 점을 가지는 모든 점의 집합입니다. 원래는 토폴로지적 뼈대(topological skeleton)라고 참조되었지만, 그것은 1967년 Harry Blum에 의해 생물학적 모양(shape) 인식을 위한 도구로 도입되었습니다. 수학에서, 중앙 축의 클로저(closure)는 절단 궤적(cut locus)으로 알려져 있습니다.

2D에서, 평면 곡선 C로 경계진 부분집합 S의 중앙 축은 두 개 이상의 점에서 곡선 C에 접하는 원의 중심의 궤적이며, 여기서 모든 그러한 원은 S에 포함됩니다. (따라서 중앙 축 자체는 S에 포함됩니다.) 단순 다각형(simple polygon)의 중앙 축은 잎이 다각형의 꼭짓점이고, 가장자리가 직선 선분이거나 포물선의 호인 트리입니다.

최대 내접된 디스크의 결합된 반지름 함수와 함께 중앙 축은 중앙 축 변환(medial axis transform, MAT)이라고 불립니다. 중앙 축 변환은 완전한 모양 설명자이며 (역시 모양 분석을 참조), 그것이 원래 도메인의 모양을 재구성하기 위해 사용될 수 있음을 의미합니다.

중앙 축은 S에 포함되지 않은 원도 포함한다는 점을 제외하고 유사하게 정의된 대칭 집합(symmetry set)의 부분집합입니다. (따라서 S의 대칭 집합은 점 집합의 보로노이 다이어그램(Voronoi diagram)과 유사하게 일반적으로 무한대로 확장됩니다. )

중앙 축은 2D 원을 k-차원 초구로 대체함으로써 k-차원 초표면으로 일반화됩니다. 2D 중앙 축은 캐릭터(character)와 물체 인식에 유용하고, 반면에 3D 중앙 축은 물리적 모델에 대해 표면 재구성(surface reconstruction), 및 복잡한 모델의 차원 축소에 대해 응용을 가집니다. 임의의 차원에서, 경계진 열린 집합(open set)의 중앙 축은 주어진 집합과 호모토피 동등(homotopy equivalent)합니다.

만약 S가 단위 속력 매개변수화 ${\displaystyle \gamma :\mathbf{R}\to {\mathbf{R}}^2}$에 의해 주어지고, ${\displaystyle \underset{―}{T}(t)=\frac{d\gamma }{dt}}$가 각 점에서 단위 접 벡터이면, 다음이면 중심 c와 반지름 r을 갖는 쌍접선 원이 될 것입니다:

• ${\displaystyle (c-\gamma (s))\cdot \underset{―}{T}(s)=(c-\gamma (t))\cdot \underset{―}{T}(t)=0,}$
• ${\displaystyle |c-\gamma (s)|=|c-\gamma (t)|=r.}$

대부분의 곡선에 대해, 대칭 집합은 일-차원 곡선을 형성할 것이고 뾰족점(cusps)을 포함할 수 있습니다. 대칭 집합은 S의 꼭짓점(vertices)에 해당하는 끝점을 가집니다.

References

 

• Blum, Harry (1967). "A transformation for extracting new descriptors of shape". In Wathen-Dunn, Weiant (ed.). Models for the Perception of Speech and Visual Form (PDF). Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. 362–380.
• Lieutier, André (September 2004). "Any open bounded subset of R n has the same homotopy type as its medial axis". Computer-Aided Design. 36 (11): 1029–1046. doi:10.1016/j.cad.2004.01.011.

 

 

Further reading

• Leymarie, Frederic F.; Kimia, Benjamin B. (2008). "From the Infinitely Large to the Infinitely Small". Computational Imaging and Vision. Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-1-4020-8658-8_11. ISBN 978-1-4020-8657-1. ISSN 1381-6446.
• Tagliasacchi, Andrea; Delame, Thomas; Spagnuolo, Michela; Amenta, Nina; Telea, Alexandru (2016). "3D Skeletons: A State-of-the-Art Report" (PDF). Computer Graphics Forum. Wiley. 35 (2): 573–597. doi:10.1111/cgf.12865. ISSN 0167-7055. S2CID 5740454.

External links

• The Scale Axis Transform – a generalization of the medial axis
• Straight Skeleton for polygon with holes – Straight Skeleton builder implemented in java.