수학적 아름다움(Mathematical beauty:수학적 미)은 일부 수학자가 그들의 업적, 그리고 일반적으로 수학으로부터 미학적(aesthetic) 즐거움을 이끌어낼 수 있다는 개념을 묘사합니다. 그들은 수학 (또는, 적어도, 수학의 일부 관점)을 아름다움으로 묘사함으로써 이 즐거움을 표현합니다. 수학자는 수학을 예술(art) 형식 또는, 적어도, 창의적 활동(creative activity)으로 묘사합니다. 비교는 음악(music)과 시(poetry)와 함께 종종 만들어집니다.
버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 이들 단어에서 수학적 아름다움의 그의 의견을 표현했습니다:
수학은, 올바르게 보였을 때, 진리뿐만 아니라 최고의 아름다움–조각품의 그것처럼 차갑고 고요한 아름다움, 우리의 더 약한 본성의 어떤 부분에 호소없이, 그림 또는 음악의 화려한 장식없이, 여전히 아낌없이 순수하고, 오직 위대한 예술이 보여주는 것처럼 엄격한 완성이 가능한 것을 지니고 있습니다. 기쁨, 승영, 최고의 우수성의 시금석인, 인간 이상이라는 감각의 참 정신은 시에서 만큼 확실히 수학에서 발견되어야 합니다.
폴 에르되시(Paul Erdős)는 수학의 무능함(ineffability)에 대한 그의 견해를 표현했었습니다. 그는 말했습니다: "왜 숫자가 아름답습니까? 그것은 왜 베토벤의 9번 교향곡이 아름답냐고 묻는 것과 같습니다. 만약 여러분이 이유를 알지 못하면, 어떤 사람도 여러분에게 말할 수 없습니다. 나는 숫자가 아름답다는 것을 압니다. 만약 그것이 아름답지 않다면, 아무것도 아닙니다."
Beauty in method
수학자들은 특히 증명(proof)의 만족하는 방법을 우아한(elegant)으로 묘사합니다. 문맥에 따라, 이것은 다음의 의미일 수 있습니다:
- 최소한의 추가 가정 또는 이전 결과를 사용하는 증명.
- 비정상적으로 간결한 증명.
- 놀라운 방법 (예를 들어, 명백하게 관련이 없는 정리 또는 정리의 집합으로부터)의 결과를 끌어내는 증명.
- 새롭고 독창적인 통찰력을 바탕으로 한 증명.
- 비슷한 문제의 가족을 풀기 위한 쉽게 일반화될 수 있는 증명의 방법.
우아한 증명에 대해 탐색에서, 수학자는 종종 결과를 증명할 수 있는 여러 가지 독립적인 방법을 찾습니다–발견된 첫 번째 증명이 가장 좋은 것이 아닐 수 있습니다. 가장 큰 숫자의 다른 증명이 발견되어 온 정리는 아마도 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)이며, 수백 개의 증명과 함께 출판되어 왔습니다. 많은 다른 방법에서 입증되어 온 또 다른 정리는 이차 상호관계(quadratic reciprocity)의 정리입니다–카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 홀로 이 정리의 여덟 가지 다른 증명을 발표했습니다.
반대로, 논리적으로는 정확하지만 힘든 계산, 지나치게-정교한 방법, 매우 틀에 박힌 접근, 또는 특별히 강력한 공리(axiom) 또는 이전 결과의 많은 숫자에 의존하는 결과는 보통 우아하지 않은 것으로 여겨지고, 추한 것 또는 어색한 것으로 불릴 수 있습니다.
Beauty in results
일부 수학자는 첫 눈에는 관련성이 없는 것으로 보이는 수학의 두 영역 사이의 연결을 수립하는 수학적 결과에서 아름다움을 봅니다. 이러한 결과는 종종 깊은(deep)으로 묘사됩니다.
결과가 깊은지 여부에 대한 보편적인 합의를 찾기는 어렵지만, 몇 가지 예제가 종종 인용됩니다. 하나는 오일러의 항등식(Euler's identity)입니다:
\(\quad\displaystyle e^{i \pi}+1 =0\).
이것은 물리학자 리처드 파인만(Richard Feynman)이 "우리의 보석" 및 "수학에서 가장 주목할만한 공식"이라고 불렀던, 오일러의 공식(Euler's formula)의 특별한 경우입니다. 현대적 예제는 타원 곡선(elliptic curve)과 모듈러 형태(modular form) 사이의 중요한 연결을 수립하는 모듈러성 정리(modularity theorem) (앤드루 와일스(Andrew Wiles)와 로버트 랭글랜즈(Robert Langlands)에게 울프 프라이즈(Wolf Prize)의 수여를 이끌었던 작업), 그리고 몬스터 그룹(Monster group)을 끈 이론(string theory)을 통해 모듈러 함수(modular function)에 연결하는, 리차드 보처스(Richard Borcherds)가 필즈 메달(Fields Medal)을 수여했던, "가공할 헛소리(monstrous moonshine)"를 포함합니다.
깊은 결과의 다른 예제는 수학적 구조에 대한 예기치 못한 통찰력을 포함합니다. 예를 들어, 가우스의 테오레마 에그레기움(Theorema Egregium:놀랄만한 정리)은 지역 현상 (곡률)을 전역 현상 (넓이)과 놀라운 방식으로 관련시키는 깊은 정리입니다. 특히, 곡면에 위의 삼각형의 넓이는 삼각형의 과잉에 비례하고 비례성은 곡률입니다. 또 다른 예제는 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus) (그리고 그린의 정리(Green's theorem) 및 스토크스의 정리(Stokes' theorem)를 포함한 그것의 벡터 버전)입니다.
깊은(deep)의 반대는 자명한(trivial)입니다. 자명한 정리는 다른 알려진 결과로부터 분명하고 직설적인 방식으로 도출될 수 있거나, 빈 집합(empty set)과 같은 특정 대상의 특정 집합에 오직 적용되는 결과일 수 있습니다. 때때로, 어쨌든, 정리의 명제는, 심지어 그 증명이 매우 명백함에도 불구하고, 깊은 것으로 여겨질만큼 충분히 독창적일 수 있습니다.
그의 수학자의 변명(A Mathematician's Apology)에서, 하디(Hardy)는 아름다운 증명 또는 결과는 "필연성", "비-예측성", 그리고 "경제성"을 가지고 있다고 제안합니다.
로타(Rota)는, 어쨌든, 비-예측성에 대해 아름다움에 대해 충분한 조건으로 동의하지 않고 반례를 제안합니다:
수학의 위대한 많은 정리가, 처음 발표되었을 때, 놀라운 것으로 보입니다; 따라서 예를 들어 약 20년 전에 [1977년으로부터] 고차원의 구체 위에 비-등가의 미분-가능한 구조의 존재의 증명은 놀라운 것으로 생각되었지만, 그러한 사실을 아름답게 부르는 것은 누구에게도 일어나지 않았으며, 그런 다음 지금도 마찬가지입니다.
아마도 반어적으로, 마너스트로스키(Monastyrsky)는 다음과 같이 씁니다:
과거에서 7-차원 구체 위의 다른 미분-가능한 구조의 밀너(Milnor)의 아름다운 구성의 것은 유사한 발명을 발견하는 것은 매우 어렵습니다... 밀너의 원래 증명은 그다지 구성적이지 않았지만, 나중에 브리스콘(E. Briscorn)은 이들 미분-가능한 구조가 매우 명확하고 아름다운 형태로 설명될 수 있음을 보였습니다.
이 불일치는 수학적 아름다움의 주관적인 본성과 수학적 결과와의 연관성: 이 경우에서, 이국적 구체(이국적 초구)의 존재뿐만 아니라 그것의 특별한 구현을 모두 묘사합니다.
Beauty in experience
경험적(empirical) 연구로부터 분리된 순수 수학(pure mathematics)에서 관심은, "그것의 아름다움에 대해 수학을 했었던", 고대 그리스인(ancient Greeks)의 그것을 포함하는, 다양한 문명의 경험의 일부로 되어 왔습니다. 수학적 물리학자(mathematical physicist)는 아인슈타인의 일반 상대성(general relativity) 이론에서 경험하는 경향이 있는 미학적 즐거움은 (폴 디랙에 의해, 다른 사람들 사이에서) 그의 "위대한 수학적 아름다움"에 기인해 온 것입니다. 수학의 아름다움은 대상의 물리적 현실(physical reality)이 수학적 모델(mathematical models)에 의해 표현될 때 경험됩니다. 다항(polynomial) 방정식을 풀기 위한 단 하나의 목적에 대해 1800년대 초에 개발된, 그룹 이론(Group theory)은 기본 입자(elementary particle)–물질의 빌딩 블록을 분류하는 유익한 방법이 되었습니다. 비슷하게, 매듭(knots)의 연구는 끈 이론(string theory)과 루프 양자 중력(loop quantum gravity)에 대한 중요한 통찰력을 제공합니다.
어떤 이들은 수학을 이해하기 위해서, 수학을 수행하는 것에 참여해야 한다고 믿습니다. 운동감각의 방식으로 수학을 가르침으로써 학생 참여(student engagement)를 독려하는 일부 선생님이 있습니다 (운동감각의 학습(kinesthetic learning)을 참조하십시오). 예를 들어, 수학 서클(Math Circle)은 학생들이 게임과 활동을 통해 수학을 수행하는 방과후 학습 프로그램입니다; 일반적인 수학 서클 수업에서, 학생들은 그들 자신의 수학적 발견을 위해 패턴 찾기, 관측, 및 탐험을 사용합니다. 예를 들어, 수학적 아름다움은 초등학교 2학년 및 3학년에 대해 고안된 대칭(symmetry)에 대한 수학 서클 활동에서 발생합니다. 이 활동에서, 학생들은 정사각형 종이를 접고 접힌 종이의 가장자리를 따라 자신이 선택한 디자인을 잘라내서 그들 자신의 눈송이를 만듭니다. 종이가 펼쳐질 때, 대칭적 디자인이 스스로를 드러냅니다. 하루 하루 초등학교 수학 수업에서, 대칭은 그러한 예술적 방식으로 표현될 수 있는데 여기서 학생들은 수학에서 미학적으로 즐거운 결과를 봅니다.
일부 교사는 미학적으로 즐거운 방식으로 수학을 소개하기 위해 수학적 학습도구(mathematical manipulatives)를 사용하는 것을 선호합니다. 학습도구의 예제는 대수 타일(algebra tiles), 퀴즈네어 막대(cuisenaire rods), 및 패턴 블록(pattern blocks)을 포함합니다. 예를 들어, 대수 타일을 사용하여 완전제곱식을 완성(completing the square)하는 방법을 가르칠 수 있습니다. 퀴즈네어 막대는 분수를 가르치기 위해 사용될 수 있고, 패턴 블럭은 기하학을 가르치기 위해 사용될 수 있습니다. 수학적 학습도구를 사용하는 것은 학생들이 쓰는 수학 공식에서 즉시 볼 수 없는 개념적 이해를 얻도록 도와줍니다.
또 다른 예제는 오리가미(origami)를 포함합니다. 오리가미, 종이 접기의 예술은 미학적 특질과 많은 수학적 연결을 가집니다. 펼쳐진 오리가미 조각에서 접은 자국 패턴(crease pattern)을 관찰함으로써 종이 접기의 수학(mathematics of paper folding)을 공부할 수 있습니다.
조합론(Combinatorics) (세는 것의 연구)는 어떤 사람이 수학적으로 아름다움을 발견하는 예술적 표현을 가지고 있습니다. 조합의 개념을 묘사하는 많은 시각적 예가 있습니다. 다음은 시각적 표현을 갖는 조합론 과정에서 보이는 몇 가지 주제와 대상입니다:
Beauty and philosophy
일부 수학자는 수학을 하는 것이 발명보다 발견에 더 가깝다고 생각합니다. 예를 들어:
그는 그의 발견 또는 시 또는 그림을 이미 만들어진 것을 발견한 것 – 그것이 외부에서 그에게 왔고, 그는 내부에서 그것을 의식적으로 창조하지 않았다는 것을 말하지 않을, 과학적 발견자, 시인, 화가는 없을 것입니다.
— 윌리엄 킹던 클리퍼드(William Kingdon Clifford), "정신 개발에 대한 조건의 일부"라는 제목의 왕립 연구소에서의 강의로부터
이들 수학자는 수학의 세밀하고 정확한 결과는 우리가 살고 있는 우주에 대한 임의의 의존성없이 진실된 것을 합리적으로 취할 수 있다고 믿습니다. 예를 들어, 그들은 자연수(natural numbers)의 이론이 임의의 특정한 문맥을 필요로 하지 않는 방식으로 근본적으로 유효하다고 주장할 것입니다. 일부 수학자는 수학적 아름다움이 진실이며 게다가, 일부 경우에서 신비주의(mysticism)가 된다는 관점을 외삽해 왔습니다.
플라톤(Plato)의 철학에서, 우리가 살고 있는 물리적 세계와 수학을 포함하여 변치 않는 진실을 담고 있는 또 다른 추상적인 세계, 두 세계가 있었습니다. 그는 물리적인 세계가 보다 완전한 추상적인 세계를 단지 반영한 것이라고 믿었습니다.
헝가리(Hungarian)의 수학자 팔 에르되시(Paul Erdős)는 상상의 책에 대해 말했는데, 이 책에서 신은 모든 가장 아름다운 수학적 증명을 적어 왔습니다. 에르되시가 증명에 대한 특별한 감사를 표현하고 싶을 때, 그는 "이것은 그 책에서 나온 것입니다!"라고 외칠 것입니다.
20세기 프랑스 철학자 알랭 바디우(Alain Badiou)는 존재론(ontology)이 수학이라고 주장합니다. Badiou는 또한 수학, 시와 철학 사이의 깊은 연관성을 믿습니다.
일부 경우에서, 자연 철학자와 수학의 광범위한 사용을 만들어 온 과학자가 아름다움과 물리적 진실 사이의 추론의 도약을 잘못된 것이라고 발혀진 방식에서 만들어 왔습니다. 예를 들어, 그의 생애의 한 단계에서, 요하네스 케플러(Johannes Kepler)는 태양 시스템(Solar System:태양계)에서 그 당시 알려진 행성의 궤도의 비율이 신(God)과 의해 다섯 개의 정다면체(Platonic solid)의 동심원 배열에 일치하도록 배열되어 있고, 각 궤도는 한 다면체(polyhedron)의 외접구(circumsphere)와 다른 것의 내접구(insphere)에 놓인다고 믿었습니다. 정확하게 다섯 개의 정다면체가 존재하기 때문에, 케플러의 가설은 오직 여섯 개의 행성 궤도를 수용할 수 있었고 이후의 천왕성(Uranus) 발견에 의해 반증되었습니다.
Beauty and mathematical information theory
1970년대에tj, 아브라함 몰리스(Abraham Moles)와 프리더 나아크(Frieder Nake)는 아름다움, 정보 처리(information processing), 및 정보 이론(information theory) 사이의 연결을 분석했습니다. 1990년대에서, 위르겐 슈미트후버(Jürgen Schmidhuber)는 알고리듬 정보 이론(algorithmic information theory)에 기초한 관찰자-의존 주관적인 아름다움의 수학적 이론을 공식화했습니다: 주관적으로 비교 가능한 대상 사이에 가장 아름다운 대상은 관찰자가 이미 알고 있는 것에 비해 짧은 알고리듬 설명 (즉, 콜모고로프 복잡성(Kolmogorov complexity))을 가집니다. 슈미트후버는 아름다움과 흥미로움을 명시적으로 구분합니다. 후자는 주관적으로 인지된 아름다움의 일차 도함수(first derivative)에 해당합니다: 관찰자는 반복, 대칭(symmetries), 및 프랙탈(fractal) 자기-닮음(self-similarity)과 같은 규칙성을 발견함으로써 관측의 예측성(predictability) 및 압축성(compressibility)을 지속적으로 개선하려고 시도합니다. (예측 인공 신경망(neural network)일 가능성이 있는) 관찰자의 학습 과정이 관찰 수열이 이전보다 더 적은 비트(bit)로 기술될 수 있는 향상된 데이터 압축을 유도할 때마다, 데이터의 일시적인 흥미도(관심도)는 압축 프로세스에 해당하고, 관찰자의 내부적 호기심 보상에 비례합니다.
Mathematics and the arts
Music
음악에서 수학을 사용하는 예제는 이아니스 제나키스(Iannis Xenakis)의 확률론적 음악(stochastic music), 툴(Tool)의 래러랄러스(Lateralus)에서 피보나치(Fibonacci), 요한 제바스티안 바흐(Johann Sebastian Bach)의 대위법, (이고리 스트라빈스키(Igor Stravinsky)의 The Rite of Spring에서 처럼) 폴리리듬(polyrhythm) 구조, 엘리엇 카터(Elliott Carter)의 메트릭 변조(Metric modulation), 아르놀트 쇤베르크(Arnold Schoenberg)로 시작하는 연쇄성(serialism)에서 순열(permutation) 이론, 카를하인츠 슈토크하우젠(Karlheinz Stockhausen)의 Hymnen에서 셰퍼드 음의 응용을 포함합니다.
Visual arts
시각 예술에서 수학의 사용의 예제는 혼돈 이론(chaos theory)과 컴퓨터 생성 예술(computer-generated art)에 대한 프랙탈(fractal) 기하학(geometry), 레오나르도 다 빈치(Leonardo da Vinci)의 대칭(symmetry) 연구, 르네상스(Renaissance) 예술의 관점(perspective) 이론의 개발에서 투영 기하학(projective geometries), 광학 예술(Op art:옵 아트)에서 그리드(grids), 잠바티스타 델라 포르타(Giambattista della Porta)의 카메라 천체(camera obscura)에서 광학 기하학, 그리고 해석적 입체파(cubism)와 미래파(futurism)에서 여러 관점을 포함합니다.
네덜란드 그래픽 디자이너 마우리츠 코르넬리스 에셔(M. C. Escher)는 수학적으로 영감을 얻은 우드컷(woodcuts), 석판화(lithograph), 및 매조틴트(mezzotints)를 만들었습니다. 이들은 불가능한 구조, 무한(infinity)의 탐구, 건축(architecture), 시각 역설(paradox)과 테셀레이션(tessellation)의 특색을 이룹니다. 영국 구성파 화가 예술가 존 어니스트(John Ernest)는 그룹 이론에 영감을 받은 구조와 그림을 만들었습니다. 구성파 화가 및 시스템 학교의 다른 영국 예술가의 다수는, 앤서니 힐(Anthony Hill)과 피터 로우(Peter Lowe)를 포함하여, 영감의 원천으로 수학 모델과 구조를 역시 사용합니다. 컴퓨터-생성 예술은 수학적 알고리듬(algorithm)을 기반으로 합니다.
References
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Further reading
- Cellucci, Carlo (2015), "Mathematical beauty, understanding, and discovery", Foundations of Science, 20: 339–355, doi:10.1007/s10699-014-9378-7
- Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), "The experience of mathematical beauty and its neural correlates", Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068
External links
- Mathematics, Poetry and Beauty
- Is Mathematics Beautiful?
- Justin Mullins
- Edna St. Vincent Millay (poet): Euclid alone has looked on beauty bare
- Terence Tao, What is good mathematics?
- Mathbeauty Blog
- The Aesthetic Appeal collection at the Internet Archive
- A Mathematical Romance Jim Holt December 5, 2013 issue of The New York Review of Books review of Love and Math: The Heart of Hidden Reality by Edward Frenkel
