(번역) List of logarithmic identities

Original article: wikipedia:List of logarithmic identities

 
수학에서, 많은 로그(logarithm) 항등식(identities)이 있습니다.

Trivial identities

${\displaystyle {\log }_b(1)=0}$  왜냐하면 ${\displaystyle b^0=1}$, b가 0과 같지 않은 것으로 주어지면

${\displaystyle {\log }_b(b)=1}$ 왜냐하면 ${\displaystyle b^1=b}$

Cancelling exponentials

같은 밑을 가진 로그와 지수는 서로 상쇄됩니다. 이것은 로그와 지수가 (마치 곱셈과 나눗셈 또는 덧셈과 뺄셈과 같이) 역 연산이기 때문에 참입니다.

${\displaystyle b^{{\log }_b(x)}=x\text{ because }{\text{antilog}}_b({\log }_b(x))=x}$

${\displaystyle {\log }_b(b^x)=x\text{ because }{\log }_b({\text{antilog}}_b(x))=x}$

위의 두 가지 모두는 로그를 정의하는 다음 두 방정식에서 파생됩니다:

${\displaystyle b^c=x\text{, }{\log }_b(x)=c}$

왼쪽 방정식에서 c를 대체하면 $b^{{\log }_b(x)}=x$를 제공하고, 오른쪽에서 x를 대체하면 ${\log }_b(b^c)=c$를 제공합니다. 마지막으로, c를 x로 바꿉니다.

Using simpler operations

로그는 계산을 더 쉽게 만들기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 두 수자는 로그 테이블을 사용하고 단지 더함으로써 곱해질 수 있습니다. 아래의 처음 세 연산은 ${\log }_b(x)=c$ 및 ${\log }_b(y)=d$가 되도록 $x=b^c$, 및/또는 $y=b^d$를 가정합니다. 유도는 역시 로그 정의 $x=b^{{\log }_b(x)}$ 및 $x={\log }_b(b^x)$를 사용합니다.
${\displaystyle {\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)}$ 왜냐하면 ${\displaystyle b^c\cdot b^d=b^{c+d}}$
${\displaystyle {\log }_b(\frac{x}{y})={\log }_b(x)-{\log }_b(y)}$ 왜냐하면 ${\displaystyle \frac{b^c}{b^d}=b^{c-d}}$
${\displaystyle {\log }_b(x^d)=d{\log }_b(x)}$ 왜냐하면 ${\displaystyle (b^c{)}^d=b^{cd}}$
${\displaystyle {\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\frac{{\log }_b(x)}{y}}$ 왜냐하면 ${\displaystyle \sqrt[y]{x}=x^{1/y}}$
${\displaystyle x^{{\log }_b(y)}=y^{{\log }_b(x)}}$ 왜냐하면 ${\displaystyle x^{{\log }_b(y)}=b^{{\log }_b(x){\log }_b(y)}=(b^{{\log }_b(y)}{)}^{{\log }_b(x)}=y^{{\log }_b(x)}}$

${\displaystyle c{\log }_b(x)+d{\log }_b(y)={\log }_b(x^c{y}^d)}$ 왜냐하면 ${\displaystyle {\log }_b(x^c{y}^d)={\log }_b(x^c)+{\log }_b(y^d)}$

여기서 ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle x}$, 및 ${\displaystyle y}$는 양의 실수이고 ${\displaystyle b\ne 1}$입니다. ${\displaystyle c}$와 ${\displaystyle d}$ 둘 다는 실수입니다.

그 법칙은 지수와 적절한 인덱스의 법칙을 취소함으로써 발생합니다. 첫 번째 법칙으로 시작합니다:

${\displaystyle xy=b^{{\log }_b(x)}{b}^{{\log }_b(y)}=b^{{\log }_b(x)+{\log }_b(y)}\Rightarrow {\log }_b(xy)={\log }_b(b^{{\log }_b(x)+{\log }_b(y)})={\log }_b(x)+{\log }_b(y)}$

거듭-제곱에 대해 법칙은 인덱스의 또 다른 법칙을 이용합니다:

${\displaystyle x^y=(b^{{\log }_b(x)}{)}^y=b^{y{\log }_b(x)}\Rightarrow {\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)}$

몫에 관한 법칙은 그런-다음 다음입니다:

${\displaystyle {\log }_b(\frac{x}{y})={\log }_b(x{y}^{-1})={\log }_b(x)+{\log }_b(y^{-1})={\log }_b(x)-{\log }_b(y)}$

${\displaystyle {\log }_b(\frac{1}{y})={\log }_b(y^{-1})=-{\log }_b(y)}$

비슷하게, 제곱근 법칙은 역수 거듭제곱으로 근을 다시-씀으로써 유도됩니다:

${\displaystyle {\log }_b(\sqrt[y]{x})={\log }_b(x^{\frac{1}{y}})=\frac{1}{y}{\log }_b(x)}$

Changing the base

${\displaystyle {\log }_{b}a=\frac{{\log }_{10}(a)}{{\log }_{10}(b)}}$

이 항등식은 계산기에서 로그를 평가하는 것에 유용합니다. 예를 들어, 대부분의 계산기에는 ln 및 log10에 대한 버튼이 있지만, 모든 계산기가 임의의 밑의 로그에 대한 버튼가 있는 것은 아닙니다.
방정식 ${\displaystyle b^c=a}$을 생각해 보십시오

양쪽 변에 밑수 ${\displaystyle d}$를 취하십시오: ${\displaystyle {\log }_d{b}^c={\log }_{d}a}$

간단히하고 ${\displaystyle c}$에 대해 푸십시오: ${\displaystyle c{\log }_{d}b={\log }_{d}a}$

${\displaystyle c=\frac{\log a}{\log b}}$

${\displaystyle c={\log }_{b}a}$이므로, ${\displaystyle {\log }_{b}a=\frac{{\log }_{d}a}{{\log }_{d}b}}$

이 공식은 여러 결과를 가집니다:

${\displaystyle {\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}}$

${\displaystyle {\log }_{b^n}a=\frac{{\log }_{b}a}{n}}$

${\displaystyle b^{{\log }_{a}d}=d^{{\log }_{a}b}}$

${\displaystyle -{\log }_{b}a={\log }_b\left(\frac{1}{a}\right)={\log }_{\frac{1}{b}}a}$

${\displaystyle {\log }_{b_1}{a}_1\cdots {\log }_{b_n}{a}_n={\log }_{b_{\pi (1)}}{a}_1\cdots {\log }_{b_{\pi (n)}}{a}_n,}$

여기서 ${\displaystyle \pi }$는 아래첨자 1, ..., n의 임의의 순열(permutation)입니다. 예를 들어

${\displaystyle {\log }_{b}w\cdot {\log }_{a}x\cdot {\log }_{d}c\cdot {\log }_{d}z={\log }_{d}w\cdot {\log }_{b}x\cdot {\log }_{a}c\cdot {\log }_{d}z.}$

Summation/subtraction

다음 합/차 규칙은 확률 이론(probability theory)에서 우리가 로그-확률의 합을 다룰 때 특히 유용합니다:

${\displaystyle {\log }_b(a+c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1+\frac{c}{a})}$

${\displaystyle {\log }_b(a-c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1-\frac{c}{a})}$

실제에서 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle c}$는 만약 ${\displaystyle c>a}$이면 방정식의 오른쪽 변에서 전환되어야 함에 주목하십시오. 역시 차이 항등식은 영의 로그가 정의되지 않기 때문에 만약 ${\displaystyle a=c}$이면 정의되지 않음에 주목하십시오. 많은 프로그래밍 언어는 ${\displaystyle x}$가 작을 때 언더플로우없이 ${\displaystyle {\log }_e(1+x)}$를 계산하는 특정 $\text{log1p}(x)$ 함수를 가집니다.

보다 일반적으로:

${\displaystyle {\log }_b\sum _{i=0}^N{a}_i={\log }_b{a}_0+{\log }_b(1+\sum _{i=1}^N\frac{a_i}{a_0})={\log }_b{a}_0+{\log }_b(1+\sum _{i=1}^N{b}^{({\log }_b{a}_i-{\log }_b{a}_0)})}$

여기서 ${\displaystyle a_0>a_1>\dots >a_N}$는 내림 차순에서 정렬됩니다.

Exponents

지수를 포함하는 유용한 항등식:

${\displaystyle x^{\frac{\log (\log (x))}{\log (x)}}=\log (x)}$

또는 보다 보편적으로:

${\displaystyle x^{\frac{\log (a)}{\log (x)}}=a}$

Other/Resulting Identities

${\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{{\log }_x(a)}+\frac{1}{{\log }_y(a)}}={\log }_{xy}(a)}$

${\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{{\log }_x(a)}-\frac{1}{{\log }_y(a)}}={\log }_{\frac{x}{y}}(a)}$

Inequalities

[1] , [2] 및 [3]에 기초함:
${\displaystyle \frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le \frac{x(6+x)}{6+4x}\le x\text{ for all }-1<x}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\frac{2x}{2+x}& \le 3-\sqrt{\frac{27}{3+2x}}\le \frac{x}{\sqrt{1+x+x^2/12}}\\ & \le \ln (1+x)\le \frac{x}{\sqrt{1+x}}\le \frac{x}{2}\frac{2+x}{1+x}\\ & \text{ for }0\le x\text{, reverse for }-1<x\le 0\end{array}}$

모두는 ${\displaystyle x=0}$ 주면에서 정확하지만, 큰 숫자에 대해 그렇지 않습니다.

Calculus identities

Limits

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_a(x)=-\mathrm{\infty }\text{if }a>1}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\log }_a(x)=\mathrm{\infty }\text{if }0<a<1}$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_a(x)=\mathrm{\infty }\text{if }a>1}$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_a(x)=-\mathrm{\infty }\text{if }0<a<1}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^b{\log }_a(x)=0\text{if }b>0}$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\log }_a(x)}{x^b}=0\text{if }b>0}$

마지막 극한은 종종 "로그가 x의 임의의 거듭제곱 또는 제곱근보다 느리게 커짐"으로 요약됩니다.

Derivatives of logarithmic functions

${\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b},}$

여기서 ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle b>0}$, 및 ${\displaystyle b\ne 1}$입니다.

Integral definition

${\displaystyle \ln x={\int }_1^x\frac{1}{t}dt}$

Integrals of logarithmic functions

${\displaystyle \int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C}$

고차 적분을 기억하기 위해, 다음을 정의하는 것이 편리합니다:

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^n(\log (x)-H_n)}$

여기서 ${\displaystyle H_n}$ n-번째 조화 숫자(harmonic number)입니다.

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log (x)-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^2\log (x)-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}{x}^2}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^3\log (x)-\begin{array}{c}\frac{11}{6}\end{array}{x}^3}$

그런-다음,

${\displaystyle \frac{d}{dx}{x}^{\left[n\right]}=n{x}^{[n-1]}}$

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}dx=\frac{x^{[n+1]}}{n+1}+C}$

Approximating large numbers

로그의 항등식은 큰 숫자를 근사화하기 위해 사용될 수 있습니다. ${\log }_b(a)+{\log }_b(c)={\log }_b(ac)$임을 주목하시며, 여기서 a, b, 및 c는 임의의 상수입니다. 우리가 44-번째 메르센 소수(Mersenne prime) $2^{32,582,657}-1$를 근사하고 싶다고 가정합니다. 밑수 10 로그를 얻기 위해, 우리는 32,582,657에 ${\log }_{10}(2)$를 곱하여 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543을 얻습니다. 우리는 그런-다음 ${10}^{9,808,357}\times {10}^{0.09543}\approx 1.25\times {10}^{9,808,357}$을 얻을 수 있습니다.
비슷하게, 팩토리얼은 항의 로그의 합으로써 근사화될 수 있습니다.

Complex logarithm identities

복소 로그(complex logarithm)는 로그 함수의 복소수(complex number) 비슷한 것입니다. 복소 평면 위의 단일 값 함수는 로그에 대해 정규 규칙을 만족시킬 수 없습니다. 어쨌든 다중-값 함수(multivalued function)는 항등식의 대부분을 만족시키는 것으로 정의될 수 있습니다. 이것을 리만 곡면(Riemann surface)에 정의된 함수로 여기는 것이 보통입니다. 로그의 주요 값(principal value)으로 불리는 단일-값 버전은 음의 x 축에서 불연속적이고 단일 가지 자름(branch cut)의 다중-값 버전과 같은 것으로 정의될 수 있습니다.

Definitions

규칙은 대문자 첫 글자가 함수의 주요 값으로 사용되고 소문자 버전은 다중-값 함수를 참조하는 것으로 여기서 사용될 것입니다. 정의 및 항등식의 단일 값 버전은 항상 여러 값 버전에 대해 별도의 섹션 뒤에 먼저 제공됩니다.

• ln(r)은 실수 r의 표준 자연 로그입니다.
• Log(z)는 복소 로그 함수의 주요 값이고 범위 (-π, π]에서 허수 부분을 가집니다.
• Arg(z)는 편각(arg) 함수의 주요 값이며, 그것의 값은 (-π, π]으로 제한됩니다. Arg(x+iy)= atan2(y, x)을 사용하여 계산될 수 있습니다.
• ${\displaystyle \mathrm{Log}(z)=\ln (|z|)+i\mathrm{Arg}(z)}$
• ${\displaystyle e^{\mathrm{Log}(z)}=z}$

log(z)의 다중-값 버전은 집합이지만 괄호없이 쓰고 그것을 쓰는 것이 더 쉽고 공식에서 그것을 사용하는 것은 명확한 규칙을 따릅니다.

• log(z)는 $e^v=z$를 만족시키는 복소수 v의 집합이며,
• arg(z)는 z에 적용된 편각(arg) 함수의 가능한 값의 집합입니다.

k가 임의의 정수일 때:

• ${\displaystyle \log (z)=\ln (|z|)+i\arg (z)}$
• ${\displaystyle \log (z)=\mathrm{Log}(z)+2\pi ik}$
• ${\displaystyle e^{\log (z)}=z}$

Constants

주요 값은 다음을 형성합니다:

${\displaystyle \mathrm{Ln}(1)=0}$

${\displaystyle \mathrm{Ln}(e)=1}$

임의의 k 정수에 대해, 여러 값은 다음을 형성합니다:
${\displaystyle \log (1)=0+2\pi ik}$

${\displaystyle \log (e)=1+2\pi ik}$

Summation

주요 값은 다음을 형성합니다:

${\displaystyle \mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)=\mathrm{Log}(z_1{z}_2)(\mathrm{mod}2\pi i)}$

${\displaystyle \mathrm{Log}(z_1)-\mathrm{Log}(z_2)=\mathrm{Log}(z_1/z_2)(\mathrm{mod}2\pi i)}$

여러 값은 다음을 형성합니다:

${\displaystyle \log (z_1)+\log (z_2)=\log (z_1{z}_2)}$

${\displaystyle \log (z_1)-\log (z_2)=\log (z_1/z_2)}$

Powers

복소수의 복소 거듭제곱은 많은 가능한 값을 가질 수 있습니다.

주요 값은 다음을 형성합니다:

${\displaystyle {z_1}^{z_2}=e^{z_2\mathrm{Log}(z_1)}}$

${\displaystyle \mathrm{Log}\left({z_1}^{z_2}\right)=z_2\mathrm{Log}(z_1)(\mathrm{mod}2\pi i)}$

여러 값은 다음을 형성합니다:

${\displaystyle {z_1}^{z_2}=e^{z_2\log (z_1)}}$

여기서 $k_1,k_2$는 임의의 정수입니다:
${\displaystyle \log \left({z_1}^{z_2}\right)=z_2\log (z_1)+2\pi i{k}_2}$

${\displaystyle \log \left({z_1}^{z_2}\right)=z_2\mathrm{Log}(z_1)+z_{2}2\pi i{k}_1+2\pi i{k}_2}$