수학(mathematics)에서, 극한 비교 테스트(limit comparison test 또는 줄여서 LCT)는 (관련된 직접 비교 테스트(direct comparison test)와 대조적으로) 무한 급수(infinite series)의 수렴에 대해 테스트하는 방법입니다.
Statement
우리는 모든 \( n\)에 대해 \( a_n\geq 0, b_n > 0 \)를 갖는 두 급수 \( \Sigma_n a_n \) 및 \(\Sigma_n b_n\)를 가짐을 가정합니다.
그런-다음 만약 \( 0 < c < \infty \)를 갖는 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c\)이면, 급수 둘 다가 수렴 또는 급수 둘 다가 발산합니다.
Proof
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c\)이기 때문에 우리는 모든 \( \varepsilon > 0 \)에 대해, 모든 \(n \geq n_0 \)에 대해 우리가 \(\displaystyle \left| \frac{a_n}{b_n} - c \right| < \varepsilon \), 또는 동등하게
\(\quad\displaystyle - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} - c < \varepsilon \)
\(\quad\displaystyle c - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < c + \varepsilon \)
\(\quad\displaystyle (c - \varepsilon)b_n < a_n < (c + \varepsilon)b_n \)
임을 가지는 것을 만족하는 양의 정수 \(n_0\)가 있음을 압니다.
\( c > 0 \)이므로, 우리는 \( \varepsilon \)를 \( c-\varepsilon \)가 양수임을 만족하는 충분하게 작은 것으로 선택할 수 있습니다. 그래서, \(\displaystyle b_n < \frac{1}{c-\varepsilon} a_n \) 및 직접 비교 테스트(direct comparison test)에 의해, 만약 \(\displaystyle \sum_n a_n\)가 수렴하면 \(\displaystyle \sum_n b_n \)도 마찬가지입니다.
비슷하게 \( a_n < (c + \varepsilon)b_n \)이므로, 만약 \( \sum_n a_n \)가 발산하면, 다시 직접 비교 테스트에 의해, \(\sum_n b_n \)도 마찬가지입니다.
즉, 급수 둘 다는 수렴 또는 급수 둘 다는 발산합니다.
Example
우리는 만약 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n} \)이면 수렴을 결정하기를 원합니다. 이것에 대해 우리는 수렴하는 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \)와 비교합니다.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 2n} \frac{n^2}{1} = 1 > 0 \)이므로 우리는 원래 급수가 역시 수렴함을 가집니다.
One-sided version
우리가 극한 상부(limit superior)를 사용함으로써 한-쪽 비교 테스트를 말할 수 있습니다. 모든 \( n\)에 대해 \( a_n, b_n \geq 0 \)으로 놓습니다. 그런-다음 만약 \( 0 \leq c < \infty \)와 함께 \(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c\) 및 \(\Sigma_n b_n\)가 수렴하면, 필연적으로 \( \Sigma_n a_n \)가 수렴합니다.
Example
모든 자연수 \( n \)에 대해 \(\displaystyle a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2} \) 및 \( b_n = \frac{1}{n^2} \)으로 놓습니다. 이제 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n) \)가 존재하지 않으므로 우리는 표준 비교 테스트를 적용할 수 없습니다. 어쨌든, \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n\to\infty}(1-(-1)^n) =2\in [0,\infty) \) 및 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)가 수렴하기 때문에, 한-쪽 비교 테스트는 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\)가 수렴함을 의미합니다.
Converse of the one-sided comparison test
모든 \( n\)에 대해 \( a_n, b_n \geq 0 \)으로 놓습니다. 만약 \(\Sigma_n a_n \)가 수렴하고 \(\Sigma_n b_n \)가 수렴하면, 필연적으로 \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty \)이며, 즉, \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}= 0 \)입니다. 여기서 본질적인 내용은 어떤 의미에서 숫자 \( a_n \)이 숫자 \( b_n \)보다 더 큰 것이라는 것입니다.
Example
\(\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n \)를 단위 디스크 \(D = \{ z\in\mathbb{C} : |z|<1\}\)에서 해석적이고 유한 넓이의 이미지를 가짐으로 놓습니다. 파서반의 공식(Parseval's formula)에 의해, \( f \)의 이미지의 넓이는 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n|a_n|^2\)입니다. 게다가, \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 1/n\)가 발산합니다. 그러므로, 비교 테스트의 역에 의해, 우리는 \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty} \frac{n|a_n|^2}{1/n}= \liminf_{n\to\infty} (n|a_n|)^2 = 0 \),즉, \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty} n|a_n| = 0 \)임을 가집니다.
See also
References
- Swokowski, Earl (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 516, ISBN 0-87150-341-7
Further reading
- Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50
- Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR)
- J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR)
External links