삼각법(trigonometry)에서, 사인의 법칙(law of sines), 사인 법칙(sine law), 사인 공식(sine formula) 또는 사인 규칙(sine rule)은 삼각형(triangle) (임의의 모양)의 변의 길이와 그것의 각도의 사인(sine)을 관련시키는 방정식(equation)입니다. 그 법칙에 따라,
\(\quad\displaystyle \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \,=\, 2R, \)
여기서 a, b, 및 c는 삼각형의 변의 길이이고, A, B, 및 C는 반대편 각도고 (오른쪽 그림을 참조하십시오), 반면에 R는 삼각형의 둘레-원(circumcircle)의 반지름(radius)입니다. 그 방정식의 마지막 부분은 사용되지 않을 때, 그 법칙은 때때로 역수(reciprocals)를 사용하여 말합니다;
\(\quad\displaystyle \frac{\sin A}{a} \,=\, \frac{\sin B}{b} \,=\, \frac{\sin C}{c}. \)
사인의 법칙은 두 각도와 한 면이 알려져 있을 때 삼각형의 남아있는 변을 계산하기 위해서 사용될 수 있습니다—삼각분할(triangulation)이라고 알려진 기법입니다. 그것은 역시 두 변과 비-둘러싸인 각도의 하나가 알려져 있을 때 사용될 수 있습니다. 일부 그러한 경우에서, 삼각형은 이 데이터에 의해 고유하게 결정되지 않고 (모호한 경우라고 불림), 기법은 둘러싸인 각도에 대해 두 가능한 값을 제공합니다.
사인의 법칙은 부등변 삼각형(scalene triangle)의 길이와 각도를 찾기 위해 공통적으로 적용되는 두 삼각 방정식 중 하나이며, 다른 하나는 코사인의 법칙(law of cosines)입니다.
사인의 법칙은 상수 곡률을 갖는 표면 위에 더 높은 차원으로 일반화될 수 있습니다.
Proof
임의의 삼각형의 넓이 T는 밑면 곱하기 높이의 절반으로 쓰일 수 있습니다. 삼각형의 한 변을 밑변으로 선택하면, 해당 기준에 관한 삼각형의 높이는 또 다른 변의 길이 곱하기 선택된 변과 밑변 사이의 각도의 사인으로 계산됩니다. 따라서, 밑면의 선택에 따라 삼각형의 넓이는 다음 중 임의의 것으로 쓰일 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle T = \frac{1}{2}b(c \sin A) = \frac{1}{2}c(a \sin B) = \frac{1}{2}a(b \sin C)\,.\)
이것들에 \(\tfrac{2}{abc}\)를 곱하면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{2T}{abc} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,.\)
The ambiguous case of triangle solution
사인의 법칙을 삼각형의 변을 구하기 위해 사용할 때, 모호한 경우가 두 갈라진 삼각형이 제공된 데이터로부터 구성될 수 있을 때 발생합니다 (즉, 삼각형에 대한 두 다른 가능한 해가 있습니다). 아래에 표시된 경우에서, 그들은 삼각형 ABC 및 AB′C′입니다.
일반적인 삼각형이 주어지면, 다음 조건은 모호한 것이 되는 경우에 대해 충족되어야 합니다:
- 삼각형에 대한 알려진 유일한 정보는 각도 A 및 변 a와 c입니다.
- 각도 A는 예각(acute)입니다 (즉, A < 90°).
- 변 a가 변 c보다 더 짧습니다 (즉, a < c).
- 변 a는 각도 B로부터 고도 h보다 더 길며, 여기서 h = c sin A입니다 (즉, a > h).
만약 모든 위의 조건이 참이면, 각도 C와 C′의 각각은 유효한 삼각형을 제공하며, 다음의 둘 다가 참임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle C' = \arcsin\frac{c \sin A}{a} \text{ or } C = \pi - \arcsin\frac{c \sin A}{a}.\)
그것으로부터 우리는 만약 요구된다면 해당하는 B와 b 또는 B′와 b′가 구해질 수 있으며, 여기서 b는 각도 A와 C에 의해 경계지고 b′는 A와 C′에 의해 경계집니다.
추가적인 정보없이 어떤 삼각형이 요청되었는지 결정하는 것은 불가능합니다.
Examples
다음은 사인의 법칙을 사용하여 문제를 해결하는 방법에 대한 예제입니다.
Example 1
주어진 것: 변 a = 20, 변 c = 24, 및 각도 C = 40°. 각도 A가 요구됩니다.
사인의 법칙을 사용하면, 우리는 다음임을 결론짓습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.\)
\(\quad\displaystyle A = \arcsin\left( \frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \approx 32.39^\circ. \)
잠재적 해 A = 147.61°는 제외되는데 왜냐하면 그것은 필연적으로 A + B + C > 180°을 제공하기 때문임에 주목하십시오.
Example 2
만약 삼각형의 두 변 a와 b의 길이가 x와 같고, 세 번째 변은 길이 c를 가지고, 길이 a, b, 및 c의 변의 반대편의 각도는 각각, A, B, 및 C이면
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& A = B = \frac{180^\circ-C}{2}= 90^\circ-\frac{C}{2} \\[6pt]
& \sin A = \sin B = \sin \left(90^\circ-\frac{C}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right) \\[6pt]
& \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{x}{\cos \left(\frac{C}{2}\right)} \\[6pt]
& \frac{c \cos \left(\frac{C}{2}\right)}{\sin C} = x
\end{align}
\)
Relation to the circumcircle
항등식에서,
\(\quad\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\)
세 분수의 공통 값은 사실은 프톨레마이오스(Ptolemy)로 거슬러 올라가는 삼각형의 둘레-원(circumcircle)의 지름(diameter)입니다.
Proof
그림에서 보인 것처럼, 내접된 \(\displaystyle \bigtriangleup ABC\)을 갖는 원이 있고 원의 중심 O를 통과하는 또 다른 내접된 \(\displaystyle \bigtriangleup ADB\)이 있다고 놓습니다. \(\displaystyle \angle AOD\)은 \(\displaystyle 180^\circ\)의 [[central angle|중심 각도(central angle)]]를 가지고 따라서 \(\displaystyle \angle ABD = 90^\circ\)입니다. \(\displaystyle \bigtriangleup ABD\)가 직각 삼각형이므로,
\(\quad\displaystyle \sin D= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R},\)
여기서 \(\displaystyle R\)은 삼각형의 둘레-원의 반지름입니다.
각도 \(\displaystyle \angle C\)와 \(\displaystyle \angle D\)는 같은 중심 각도(central angle)를 가지고 따라서 그들은 같은 것입니다: \(\displaystyle \angle C=\angle D\). 그러므로,
\(\quad\displaystyle \sin D= \sin C=\frac{c}{2R}.\)
다시-정렬하면 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle 2R=\frac{c}{\sin C}.\)
그 과정을 다음 점을 갖는 \(\displaystyle \bigtriangleup ADB\)을 생성하는 것에 반복하면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R.\)
Relationship to the area of the triangle
삼각형의 넓이는 \(\displaystyle T=\frac{1}{2}ab \sin \theta\)에 의해 제공되며, 여기서 \(\displaystyle \theta\)는 길이 a와 b의 변에 의해 둘러싸인 각도입니다. 사인의 법칙을 이 방정식으로 대체하면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.\)
\(\displaystyle R\)을 둘레-원 반지름으로 취하면,
\(\quad \displaystyle T=\frac{abc}{4R}.\)
역시 이 방정식이 다음임을 보일 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\frac{abc} {2T} & = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}\)
여기서 T는 삼각형의 넓이이고 s는 반-둘레(semiperimeter) \(\displaystyle s = \frac{a+b+c}{2}\)입니다.
위의 두 번째 상등은 넓이에 대해 헤론의 공식(Heron's formula)으로 쉽게 단순화됩니다.
사인 규칙은 삼각형의 넓이에 대해 다음 공식을 유도하는 것에 역시 사용될 수 있습니다: 삼각형의 사인의 반-합을 \(\displaystyle S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}\)으로 나타내면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad \displaystyle T = D^{2} \sqrt{S(S-\sin A)(S-\sin B)(S-\sin C)}\)
여기서 \(\displaystyle D\)는 둘레-원의 지름입니다: \(\displaystyle D=2R=\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\).
Curvature
사인의 법칙은 곡률의 존재에서 비슷한 형식을 취합니다.
Spherical case
구형 경우에서, 그 공식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sin A}{\sin \alpha} = \frac{\sin B}{\sin \beta} = \frac{\sin C}{\sin \gamma}.\)
여기서, α, β, 및 γ는, 각각, 구형 표면 삼각형 a, b, 및 c의 세 호에 의해 끼워진 구의 중심에서의 각도입니다. A, B, 및 C는 각각의 호와 반대편 표면 각도입니다.
Vector proof
원점에서 삼각형의 꼭짓점까지 그려진 단위 벡터 OA, OB 및 OC를 갖는 단위 구를 생각해 보십시오. 따라서 각도 α, β, 및 γ는, 각각, 각도 a, b, 및 c입니다. 호 BC는 중심에서 크기 a의 각도에 끼워집니다. z-축을 따라 OA와 OA-축과 각도 c를 만드는 xz-평면에서 OB를 데카르트 기저로 도입하십시오. 벡터 OC는 xy-평면에 ON으로 투영되고 ON과 x-축 사이의 각도는 A입니다. 그러므로, 세 벡터는 다음 성분을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad \mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.\)
스칼라 트리플 곱(scalar triple product), OA · (OB × OC)는 구형 삼각형 OA, OB 및 OC의 꼭짓점의 위치 벡터에 의해 형성된 평행-육면체(parallelepiped)의 부피입니다. 이 부피는 OA, OB 및 OC를 나타내기 위해 사용된 특정 좌표 시스템에 불변입니다. 스칼라 트리플 곱(scalar triple product) OA · (OB × OC)의 값은 그것의 행으로 OA, OB 및 OC를 갖는 3 × 3 행렬식입니다. OA를 따라 z-축을 사용하면, 이 행렬식의 제곱은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2 & = \bigl(\det (\mathbf{OA}, \mathbf{OB}, \mathbf{OC})\bigr)^2 \\[4pt]
& = \left( \begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\sin c & 0 & \cos c \\
\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b
\end{vmatrix} \right)^2 = \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.
\end{align}\)
OB를 따라 z-축과 함께 이 계산을 반복하면 \((\sin c \sin a \sin B)^2\)를 제공하지만, OC를 따라 z-축과 함께 그것은 \((\sin a \sinb \sin C)^2\)입니다. 이들 표현을 같게-하고 (sin a sin b sin c)2로 나누면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle
\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}=\frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}=\frac{\sin^2 C}{\sin^2 c} = \frac{V^2}{\sin^2 a \sin^2 b \sin^2 c},
\)
여기서 V는 구형 삼각형의 꼭짓점의 위치 벡터에 의해 형성된 평행-육면체(parallelepiped)의 부피입니다. 따라서, 그 결과는 따릅니다.
작은 구형 삼각형에 대해, 구의 반지름이 삼각형의 변보다 훨씬 더 클 때, 이 공식이 극한에서 평면 공식이 되는 방법을 쉽게 알 수 있는데, 왜냐하면
\(\quad\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1\)
그리고 sin β 및 sin γ에 대해 같은 것입니다.
Geometric proof
다음을 갖는 단위 원을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle OA = OB = OC = 1\)
\(\displaystyle \angle ADO = \angle AEO = 90^\circ\)를 만족하는 점 \(\displaystyle D\)와 \(\displaystyle E\)를 구성하십시오.
\(\displaystyle \angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ\)를 만족하는 점 \(\displaystyle A'\)를 구성하십시오.
그러므로 \(\displaystyle \angle ADA' = B\) 및 \(\displaystyle \angle AEA' = C\)임을 알 수 있습니다.
\(\displaystyle A'\)가 평면 \(\displaystyle OBC\) 위에 \(\displaystyle A\)의 투영임을 주의하십시오. 그러므로 \(\displaystyle \angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ\)입니다.
기본 삼각법에 의해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle AD = \sin c \)
\(\quad\displaystyle AE = \sin b\)
그러나 \(\displaystyle AA' = AD \sin B = AE \sin C \)입니다.
그들을 결합하면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \sin c \sin B = \sin b \sin C\)
\(\quad\displaystyle \frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} \)
비슷한 추론을 적용함으로써, 우리는 구형 사인의 법칙을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} \)
Other proofs
순수하게 대수적 증명은 구형 코사인의 법칙(spherical law of cosines)으로부터 구성될 수 있습니다. 항등식 \(\displaystyle \sin^2 A=1-\cos^2 A\)과 구형 코사인의 법칙으로부터 \(\displaystyle \cos A\)에 대해 명시적 표현으로부터:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\sin^2\!A &=1-\left(\frac{\cos a - \cos b\, \cos c}{\sin b \,\sin c}\right)^2\\
&
=\frac{(1-\cos^2\!b)(1-\cos^2\!c)-(\cos a - \cos b\, \cos c)^2}
{\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\
\frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.
\end{align}\)
오른쪽 변은 \(\displaystyle a,\;b,\;c\)의 순환 순열 아래에서 불변이므로, 구형 사인 규칙은 즉시 따릅니다.
위의 기하학적 증명에서 사용된 그림은 기본 선형 대수와 투영 행렬을 사용하여 사인 법칙을 도출하기 위해 (이 기사에서 figure 3을 참조하십시오) 바네르지에 의해 사용되고 역시 바네르지에서 제공됩니다.
Hyperbolic case
쌍곡 기하학(hyperbolic geometry)에서, 곡률이 −1일 때, 사인의 법칙은 다음이 됩니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.\)
특별한 경우에서, B가 직각일 때, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} \)
이것은 유클리드 기하학에서 반대쪽 변을 빗변으로 나눈 각도의 사인을 표현하는 공식과 유사합니다.
Unified formulation
역시 실수 매개변수 K에 따라, 일반화된 사인 함수를 정의하십시오:
\(\quad\displaystyle \sin_K x = x - \frac{K x^3}{3!} + \frac{K^2 x^5}{5!} - \frac{K^3 x^7}{7!} + \cdots.\)
상수 곡률 K에서 사인의 법칙은 다음으로 읽습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sin A}{\sin_K a} = \frac{\sin B}{\sin_K b} = \frac{\sin C}{\sin_K c} \,.\)
K = 0, K = 1, 및 K = −1를 대체함으로써, 우리는 위에서 묘사된 사인의 법칙의 각각 유클리드, 구형, 및 쌍곡형 경우를 얻습니다.
\(p_K(r)\)가 상수 곡률 K의 공간에서 반지름 r의 원의 둘레를 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음 \(p_K(r)=2\pi \sin_K r\)입니다. 그러므로, 사인의 법칙은 다음으로 역시 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sin A}{p_K(a)} = \frac{\sin B}{p_K(b)} = \frac{\sin C}{p_K(c)} \,.\)
이 공식화는 보여이 야노시(János Bolyai)에 의해 발견되었습니다.
Higher dimensions
n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 n-차원 심플렉스(simplex) (즉, 삼각형(triangle) (n = 2), 사면체(tetrahedron) (n = 3), 펜타토프(pentatope) (n = 4), 등)에 대해, 꼭짓점(vertex)에서 만나는 패싯(facet)의 법선 벡터(normal vector)의 극 사인(polar sine)의 절댓값(absolute value)을 꼭짓점 반대편의 패싯의 초-넓이로 나눈 것은 꼭짓점의 선택에 독립입니다. n-차원 심플렉스의 초-부피에 대해 V를, 그것의 (n−1)-차원 패싯의 초-넓이의 곱에 대해 P를 쓰면, 공통 비율은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}.\)
예를 들어, 사면체는 네 삼각형 패싯을 가집니다. 꼭짓점을 공유하는 세 패싯에 대한 법선 벡터의 극 사인의 절댓값을 네 번째 패싯의 넓이로 나눈 것은 꼭짓점의 선택에 의존하지 않습니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& \frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_2}, \mathbf{n_3}, \mathbf{n_4})\bigr|}{\mathrm{Area}_1} =
\frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_1}, \mathbf{n_3}, \mathbf{n_4})\bigr|}{\mathrm{Area}_2} =
\frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}, \mathbf{n_4})\bigr|}{\mathrm{Area}_3} =
\frac{\bigl|\operatorname{psin}(\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}, \mathbf{n_3})\bigr|}{\mathrm{Area}_4} \\[4pt]
= {} & \frac{(3\operatorname{Volume}_\mathrm{tetrahedron})^2}{2!~\mathrm{Area}_1 \mathrm{Area}_2 \mathrm{Area}_3 \mathrm{Area}_4}\,.
\end{align}
\)
History
Ubiratàn D'Ambrosio와 힐라이너 셀린(Helaine Selin)에 따르면, 구형 사인의 법칙은 10 세기에 발견되었습니다. 그것은 아부-마흐무드 코잔디(Abu-Mahmud Khojandi), 아부 알-와파 브쨔아니(Abu al-Wafa 'Buzjani), 나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī) 및 아부 나스르 만수르(Abu Nasr Mansur)에 의해 다양하게 공헌되었습니다.
11세기에서 이븐 무하드 알-자야니(Ibn Muʿādh al-Jayyānī)의 The book of unknown arcs of a sphere는 일반적인 사인의 법칙을 포함합니다. 평면 사인의 법칙은 나중에 13세기에서 나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī)에 의해 언급되었습니다. 그의 그는 On the Sector Figure에서, 그는 평면과 구형 삼각형에 대해 사인의 법칙을 언급하고, 이 법칙에 대해 증명을 제시했습니다.
글렌 반 브루멜렌(Glen Van Brummelen)에 따르면, "사인의 법칙은 책 IV에서 직각 삼각형의 그의 해에 대해 레기오몬타누스(Regiomontanus)의 실제로 기초이고, 이들 해는 그의 일반적인 삼각형의 해에 대해 차례롤 기초가 되었습니다." 레기오몬타누스는 15세기 독일의 수학자였습니다.
See also
- Law of cosines
- Law of tangents
- Law of cotangents
- Mollweide's formula – for checking solutions of triangles
- Solution of triangles
