삼각법(trigonometry)에서, 코탄젠트의 법칙(law of cotangents)은 삼각형의 세 변의 길이와 세 각도의 절반의 코탄젠트 사이의 관계입니다.
그의 항등식이 사인의 법칙(law of sines)으로 표현되는 세 개의 양이 삼각형의 둘레-원(circumscribed circle)의 지름 (또는 그 법칙이 어떻게 표현되는지에 따라, 그것의 역수)과 같기 때문에, 마찬가지로 코탄젠트의 법칙은 삼각형(triangle)의 내접-원(inscribed circle)의 반지름 (내-반지름(inradius))을 그의 변과 각도에 관련시킵니다.
Statement
삼각형에 대해 보통 표기법을 사용하여 (오른쪽 꼭대기의 그림 참조), 여기서 a, b, c는 세 변의 길이, A, B, C는 세 각각 변의 반대쪽 꼭짓점, α, β, γ는 그들 꼭짓점에서의 대응하는 각도, s는 반-둘레, 즉, \(s=\tfrac{a+b+c}{2}\)이고, r은 내접-원의 반지름이며, 코탄젠트(cotangent)의 법칙은 다음임을 말합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\cot\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{s-a} = \frac{\cot\left(\tfrac{\beta}{2}\right)}{s-b} = \frac{\cot\left(\tfrac{\gamma}{2}\right)}{s-c} = \frac{1}{r}\,\)
및 나아가서 내-반지름은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\,.\)
Proof
위쪽 그림에서, 삼각형의 변을 가진 원의 접하는 점은 둘레를 3 쌍에서 6 선분으로 나눕니다. 각 쌍에서 선분은 같은 길이의 것입니다. 예를 들어, 꼭짓점 A에 인접한 2 선분은 같습니다. 만약 우리가 각 쌍으로부터 하나의 선분을 선택하면, 그 합은 반-둘레 s가 됩니다. 이것의 예제는 그림에서 색상으로 표시된 선분입니다. 빨간색 직선을 만드는 두 선분은 a에 더해지므로, 파란색 선분은 길이 s − a여야 합니다. 분명히, 아래의 그림에서 보이는 것처럼, 다른 다섯 선분은 길이 s − a, s − b, 또는 s − c를 역시 가져야 합니다.
코탄젠트 함수의 정의를 사용하여, 그림의 검사에 의해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) =\frac{s-a}{r}\,\)
및 비슷하게 다른 두 각도에 대해, 첫 번째 역설을 입증합니다.
두 번째 것에 대해–내-반지름 공식–우리는 일반적인 덧셈 공식(general addition formula)으로 시작합니다:
\(\quad\displaystyle \cot (u+v+w) = \frac{\cot u +\cot v +\cot w - \cot u \cot v \cot w }{1-\cot u \cot v - \cot v \cot w -\cot w \cot u}.\)
\(\cot(\tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2}+\tfrac{\gamma}{2})=\cos\tfrac{\pi}{2}=0\)에 적용하면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) \cot \left(\frac{\gamma}{2}\right) = \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot \left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot \left(\frac{\gamma}{2}\right). \)
(이것은 역시 트리플 코탄젠트 항등식(triple cotangent identity)입니다)
첫 번째 부분에서 얻어진 값을 빼면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac {(s-a)}r \frac {(s-b)}r \frac {(s-c)}r = \frac {s-a}r + \frac {s-b}r +\frac {s-c}r =\frac{3s-2s}r=\frac{s}r.\)
\(\frac{r^3}{s}\)을 곱하면 \(r^2\)의 값을 제공하며, 두 번째 역설을 입증합니다.
Some proofs using the law of cotangents
여러 다른 결과는 코탄젠트의 법칙으로부터 유도될 수 있습니다.
- 헤론의 공식(Heron's formula). 삼각형 ABC의 넓이는 여섯 더 작은 삼각형으로, 역시 3 쌍으로 나누어지며, 각 쌍의 삼각형은 같은 넓이를 가집니다. 예를 들어, 꼭짓점 A 근처에 있는 두 삼각형은 너비 s − a 및 높이 r의 직각 삼각형이며, 각각은 넓이 \(\tfrac12 r(s-a)\를 가집니다. 따라서, 그들 두 삼각형 함께는 r(s − a)의 넓이를 가지고, 전체 삼각형의 넓이 S는 따라서
- \(
\begin{align}
S &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) = r\bigl(3s - (a+b+c)\bigr) = r(3s - 2s) = rs \\[8pt]
\end{align}
\) - 이것은 요구되었던 다음 결과를 제공합니다:
- \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\).
- \(
- 몰바이데의 첫 번째 공식(Mollweide's first formula). 덧셈 공식과 코탄젠트의 법칙으로부터, 우리는 다음을 가집니다:
- \(\frac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) } = \frac {\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) -\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }{\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }= \frac {a-b}{2s-a-b}.\)
- 이것은 요구되었던 다음 결과를 제공합니다:
- \(\dfrac {a-b}{c}=\dfrac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right)}{\cos \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }\).
- 몰바이데의 두 번째 공식(Mollweide's second formula). 덧셈 공식과 코탄젠트의 법칙으로부터, 우리는 다음을 가집니다:
- \(
\begin{align}
& \frac {\cos\left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right) }{\cos\left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {\cot\left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \cot\left( \tfrac{\beta}{2} \right) +1}{\cot\left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) -1} \\[6pt]
= {} & \frac {\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +2\cot \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }{\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}.
\end{align}
\) - 여기서, 추가적인 단계는, 합/곱 공식에 따라, 곱을 합으로 변환하는 것이 요구됩니다.
- 이것은 요구되었던 다음 결과를 제공합니다:
- \(\dfrac {b+a}{c} = \dfrac{\cos \left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }\).
- \(
- 탄젠트의 법칙(law of tangents)은 이것으로부터 역시 유도될 수 있습니다 (Silvester 2001, p. 99).
See also
References
- The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
- Silvester, John R. (2001). Geometry: Ancient and Modern. Oxford University Press. p. 313. ISBN 9780198508250. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)