수학(mathematics)에서, 콜모고르프의 노름가능성 기준은 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)에 대해 노름-가능(normable)이 되는 필요와 충분 조건을 제공하는 정리(theorem)입니다; 즉, 주어진 토폴로지(topology)를 생성하는 공간 위에 노름(norm)의 존재에 대한 조건입니다. 노름가능성 기준은 나가타–스미르노프 메트릭화 정리(Nagata–Smirnov metrization theorem) 및 빙 메트릭화 정리(Bing metrization theorem)와 같은 맥락에서 보일 수 있으며, 이것은 토폴로지적 공간(topological space)에 대해 메트릭-가능(metrizable)이 되는 필요와 충분 조건을 제공합니다. 그 결과는 1934년 러시아 수학자 안드레이 니콜라예비치 콜모고로프(Andrey Nikolayevich Kolmogorov)에 의해 입증되었습니다.
Statement of the theorem
Kolmogorov's normability criterion — 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)이 노름-가능인 것과 그것이 \(T_1\) 공간이고 원점의 경계진(bounded) 볼록(convex) 이웃(neighbourhood)을 수용합니다.
상수에 의한 평행이동 (즉, 벡터 덧셈)은 볼록성, 경계성, 및 집합의 열림성(openness of sets)을 보존하기 때문에, 단어 "원점의"는 "일부 점의" 또는 심지어 "모든 각 점의"로 대체될 수 있습니다.
Definitions
먼저 다음 용어를 기억하는 것이 도움이 될 수 있습니다:
- 토폴로지적 벡터 공간 (TVS)은 스칼라 곱셈과 벡터 덧셈의 벡터 공간 연산이 연속임을 만족하는 토폴로지 \(\tau\)를 구비한 벡터 공간 \(X\)입니다.
- 토폴로지적 벡터 공간 \((X, \tau)\)는 만약 노름 \(\|\cdot\|\)의 열린 공이 주어진 토폴로지 \(\tau\)를 생성함을 만족하는 \(X\)에서 노름(norm) \(\|\cdot\|: X \to \R\)이 있으면 노름-가능(normable)이라고 불립니다. (주어진 노름가능 토폴로지적 벡터 공간은 그러한 노름을 여러 개 허용할 수 있음을 충분히 주목하십시오.)
- 토폴로지적 공간 \(X\)는 만약 모든 각 둘로 구별되는 점 \(x, y \in X\)에 대해, \(y\)를 포함하지 않는 \(x\)의 열린 이웃(neighbourhood) \(U_x\)가 있으면 \(T_1\) 공간이라고 불립니다. 토폴로지적 벡터 공간에서, 이것은 모든 각 \(x \neq 0\)에 대해, \(x\)를 포함하지 않는 원점의 열린 이웃이 있음을 요구하는 것과 동등합니다. \(T_1\)인 것은 하우스도르프 공간(Hausdorff space)인 것보다 더 약한 것임을 주목하십시오. 하우스도르프 공간에서 모든 각 둘로 구별되는 점 \(x, y \in X\)는 \(U_x \cap U_y = \varnothing\)을 갖는 \(x\)와 \(y\)의 \(U_y\) 열린 이웃을 수용합니다; 노름과 노름-가능 공간은 항상 하우스도르프이기 때문에, 그 정리가 오직 \(T_1\)을 요구하는 것은 "놀라운" 것입니다.
- 벡터 공간 \(X\)의 부분집합 \(A\)는 만약 임의의 두 점 \(x, y \in A\)에 대해, 그것들을 연결하는 선분이 \(A\) 내에 전적으로 놓이면, 즉, 모든 \(0 \leq t \leq 1\)에 대해, \((1 - t) x + t y \in A\)이면, 볼록 집합입니다.
- 토폴로지적 벡터 공간 \((X, \tau)\)의 부분집합 \(A\)는 만약 원점의 모든 각 열린 이웃 \(U\)에 대해, \(A \subseteq \lambda U\)가 되도록 스칼라 \(\lambda\)가 존재하면 경계진 집합입니다. (우리는 \(U\)를 "작은" 것으로 및 \(\lambda\)를 \(A\)를 덮기 위해 \(U\)를 부풀게 하기에 "충분하게 큰" 것으로 생각할 수 있습니다.)
References
- Papageorgiou, Nikolaos S.; Winkert, Patrick (2018). Applied Nonlinear Functional Analysis: An Introduction. Walter de Gruyter. Theorem 3.1.41 (Kolmogorov's Normability Criterion). ISBN 9783110531831.
- Edwards, R. E. (2012). "Section 1.10.7: Kolmagorov's Normability Criterion". Functional Analysis: Theory and Applications. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. pp. 85–86. ISBN 9780486145105.
- Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics, No. 15. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387900802.
- Kolmogorov, A. N. (1934). "Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes". Studia Math. 5.
- Tikhomirov, Vladimir M. (2007). "Geometry and approximation theory in A. N. Kolmogorov's works". In Charpentier, Éric; Lesne, Annick; Nikolski, Nikolaï K. (eds.). Kolmogorov's Heritage in Mathematics. Berlin: Springer. pp. 151–176. doi:10.1007/978-3-540-36351-4_8. (See Section 8.1.3)