유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 이등변 사다리꼴(isosceles trapezoid, 영국식 영어로 isosceles trapezium)은 한 쌍의 반대편 변을 이등분하는 대칭(symmetry)의 직선을 갖는 볼록(convex) 사변형(quadrilateral)입니다. 그것은 사다리꼴(trapezoid)의 특수한 경우입니다. 대안적으로, 그것은 양쪽 다리와 양쪽 밑면 각도가 같은 측정의 것인 사다리꼴(trapezoid)로 정의될 수 있습니다. 비-직사각형 평행사변형(parallelogram)은 두 번째 조건 때문에, 또는 그것이 대칭의 직선을 가지기 않기 때문에 이등변 사다리꼴이 아님을 주목하십시오. 임의의 이등변 사다리꼴에서, 둘의 반대편 변 (밑변)은 평행(parallel)하고, 둘의 나머지 변 (다리)은 같은 길이의 것입니다 (평행사변형(parallelogram)과 공유된 속성입니다). 대각선은 역시 같은 길이의 것입니다. 이등변 사다리꼴의 밑변 각도는 측정에서 같습니다 (사실 같은 밑변 각도의 두 쌍이 있으며, 여기서 한 밑변 각도는 다른 밑변에서 밑변 각도의 보충 각도(supplementary angle)입니다).
Special cases
직사각형(rectangle)과 정사각형(square)은 보통 이등변 사다리꼴의 특수한 경우로 고려되지만 일부 출처는 그것들을 제외합니다.
또 다른 특별한 경우는 3-같은 변 사다리꼴로, 때때로 삼변형 사다리꼴(trilateral trapezoid) 또는 삼등변 사다리꼴(trisosceles trapezoid)로 알려져 있습니다. 그것들은 역시 4 연속적인 꼭짓점의 잘림으로 5 변 이상의 정규 다각형(regular polygon)에서 해부된 것으로 보일 수 있습니다.
Self-intersections
정확히 하나의 대칭의 축을 갖는 임의의 비-자체-교차하는 사변형(quadrilateral)은 이등변 사다리꼴 또는 연(kite)이어야 합니다. 어쨌든, 만약 교차가 허용되면, 대칭 사변형의 집합은 역시 교차된 이등변 사다리꼴, 교차된 변이 같은 길이의 것이고 다른 변이 평행인 교차된 사변형, 및 역평행사변형(antiparallelogram), 반대쪽 변이 같은 길이를 가지는 교차된 사변형을 포함합니다.
모든 각 역평행사변형(antiparallelogram)은 그것의 볼록 껍질(convex hull)로 이등변 사다리꼴을 가지고, 이등변 사다리꼴의 대각선과 비-평행 변 (또는 직사각형의 경우에서 반대쪽 변의 쌍)으로 형성될 수 있습니다.
Characterizations
만약 사변형이 사다리꼴(trapezoid)이라고 알려져 있으면, 그것이 이등변 사다리꼴임을 알기 위해 다리가 같은 길이를 가지는지 확인하는 것만으로는 충분하지 않은데, 왜냐하면 마름모(rhombus)는 같은 길이의 다리를 갖는 사다리꼴의 특수한 경우이지만, 반대쪽 변의 중간점을 통과하는 대칭의 직선이 없기 때문에 이등변 사다리꼴이 아니기 때문입니다.
다음 속성 중 임의의 하나는 이등변 사다리꼴을 다른 사다리꼴과 구별합니다:
- 대각선이 같은 길이를 가집니다.
- 밑변 각도가 같은 측정을 가집니다.
- 평행 변의 중간점을 연결하는 선분은 그것들에 수직입니다.
- 반대편 각도는 보충적이며, 차례롤 이등변 사다리꼴이 순환 사변형(cyclic quadrilateral)임을 의미합니다.
- 대각선은 쌍별로 같은 길이를 갖는 선분으로 서로를 나눕니다; 아래 그림의 관점에서, AE = DE, BE = CE (및 만약 우리가 직사각형을 제외하기를 원하면, AE ≠ CE).
Angles
이등변 사다리꼴에서, 밑변 각도는 쌍별로 같은 측정을 가집니다. 아래 그림에서, 각도 ∠ABC와 ∠DCB는 같은 측정의 둔각(obtuse angle)이고, 반면에 각도 ∠BAD와 ∠CDA는 역시 같은 측정의 예각(acute angle)입니다.
직선 AD와 BC가 평행하므로, 반대편 밑변에 인접한 각도는 보충적(supplementary)이며, 즉, 각도 ∠ABC + ∠BAD = 180°입니다.
Diagonals and height
이등변 사다리꼴의 대각선(diagonal)은 같은 길이를 가집니다; 즉, 모든 각 이등변 사다리꼴은 같은-대각선 사각형(equidiagonal quadrilateral)입니다. 게다가, 대각선은 같은 비율로 서로를 나눕니다. 그림과 같이, 대각선 AC와 BD는 같은 길이 (AC = BD)가지고 같은 길이의 선분 (AE = DE과 BE = CE)으로 나눕니다.
각 대각선이 나뉘는 비율(ratio)은 그것들이 교차하는 평행한 변의 길이의 비율과 같습니다. 즉,
각 대각선의 길이는, 프톨레마이오스의 정리(Ptolemy's theorem)에 따라, 다음에 의해 제공됩니다:
여기서 a와 b는 평행 변 AD와 BC의 길이이고, c는 각 다리 AB와 CD의 길이입니다.
높이는, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)에 따라, 다음에 의해 제공됩니다:
점 E에서 밑변 AD까지의 거리는 다음에 의해 제공됩니다:
여기서 a와 b는 평행 변 AD와 BC의 길이이고, h는 사다리꼴의 높이입니다.
Area
이등변 (또는 임의의) 사다리꼴의 넓이는 밑변과 윗변 (평행한 변)의 길이의 평균 곱하기 높이와 같습니다. 인접한 다이어그램에서, 만약 우리가 AD = a, 및 BC = b라고 쓰고, 높이 h가 AD와 BC에 수직인 그것들 사이의 선분의 길이이면, 넓이 K는 다음과 같이 주어집니다:
만약 사다리꼴의 높이 대신 다리의 공통 길이 AB =CD = c가 알려져 있으면, 넓이는 순환 사변형의 넓이에 대해 브라마굽타의 공식(Brahmagupta's formula)을 사용하여 계산될 수 있으며, 둘의 같은 변을 갖는 그것은 다음으로 단순화됩니다:
여기서
Circumradius
둘레접된 원에서 반지름은 다음에 의해 제공됩니다:
a = b인 직사각형(rectangle)에서, 이것은
References
- "Trapezoid - math word definition - Math Open Reference".
- Larson, Ron; Boswell, Laurie (2016). Big Ideas MATH, Geometry, Texas Edition. Big Ideas Learning, LLC (2016). p. 398. ISBN 978-1608408153.
- Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree
- isosceles trapezoid
- Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, pp. 49–53.
- Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli (1911), The Century Dictionary and Cyclopedia, The Century co., p. 1547.
- Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [1] Accessed 1 July 2014.
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