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(번역) Irreducible fraction

by 다움위키 2024. 2. 25.
Original article: w:Irreducible fraction

 

기약 분수(irreducible fraction 또는 가장 낮은 항에서 분수(fraction in lowest terms), 가장 단순한 형식(simplest form) 또는 축소된 분수(reduced fraction))는 분자(numerator)분모(denominator)가 1 (음수가 고려될 때, –1)이 아닌 다른 공통 약수(divisor)를 가지지 않는 정수(integer)분수(fraction)입니다. 다시 말해서, 분수 \(\tfrac{a}{b}\)가 기약인 것과 ab서로소(coprime), 즉, 만약 ab가 1의 최대 공통 약수(greatest common divisor)를 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 고급 수학(mathematics)에서, "기약 분수"는 분자와 분모가 서로소 다항식(polynomials)을 만족하는 유리 분수(rational fraction)를 역시 참조할 수 있습니다. 모든 각 양의 유리수(rational number)는 정확히 한 가지 방법에서 기약 분수로 나타낼 수 있습니다.

동등한 정의가 때때로 유용합니다: 만약 a, b가 정수이면, 분수 \(\tfrac{a}{b}\)가 기약인 것과 |c| < |a| or |d| < |b|를 만족하는 다른 같은 분수 \(\tfrac{c}{d}\)가 없는 것은 필요충분 조건이며, 여기서 |a|는 a절댓값(absolute value)을 의미합니다. (두 분수가 \(\tfrac{a}{b}\)와 \(\tfrac{c}{d}\)가 같은 것 또는 동등한 것ad = bc인 것은 필요충분 조건입니다.)

예를 들어, \(\tfrac14\), \(\tfrac56\), 및 \(-\tfrac{101}{100}\)은 모두 기약 분수입니다. 다른 한편으로, \(\tfrac24\)은 기약이 아닌데 왜냐하면 그것은 \(\tfrac12\)와 같고, \(\tfrac12\)의 분자가 \(\tfrac24\)의 분자보다 작기 때문입니다.

기약이 아닌 분수는 분자와 분모 둘 다를 공통 약수로 나눔으로써 줄어들 수 있습니다. 그것은 만약 분자와 분모 둘 다가 그들의 최대 공통 약수(greatest common divisor)로 나누어지면, 가장 낮은 항으로 완전히 줄어들 수 있습니다. 최대 공통 약수를 찾기 위해, 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm) 또는 소수 인수분해(prime factorization)가 사용될 수 있습니다. 유클리드 알고리듬은 공통적으로 선호되는데 왜냐하면 그것은 분자와 분모가 너무 커서 쉽게 인수화되지 않는 분수를 줄이는 것을 허용하기 때문입니다.

Examples

\(\quad\displaystyle  \frac{120}{90}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3} \,.\)

첫 번째 단계에서, 숫자 둘 다는 10에 의해 나누어지며, 이것은 120과 90 둘 다의 공통 인수입니다. 두 번째 단계에서, 그것들은 3에 의해 나누어집니다. 최종 결과, \(\tfrac43\)는 기약 분수인데 왜냐하면 4와 3은 1 이외의 공통 인수를 가지지 않기 때문입니다.

원래 분수는 90과 120의 최대 공통 약수인 30 (즉, gcd(90,120)=30)을 사용함으로써 단일 단계로 역시 줄어들 수 있습니다. 120 / 30 = 4, 및 90 / 30 = 3이기 때문에, 우리는 다음을 얻습니다:

\(\quad\displaystyle  \frac{120}{90}=\frac{4}{3} .\)

어떤 방법은 분수와 공통 인수가 발견되는 용이성에 따라 "손으로 하는 것"이 더 빠릅니다. 분모와 분자가 너무 커서 그것들이 검사에 의해 서로소임을 보증하기 어렵게 놓이는 경우에서, 최대 공통 약수 계산이 분수가 실제로 기약인지 확인하기 위해 어쨌든 요구됩니다.

Uniqueness

모든 각 유리수는 양의 분모를 갖는 기약 분수로 고유한 표현을 가집니다 (어쨌든 \(\tfrac{2}{3} = \tfrac{-2}{-3}\)이지만, 둘 다는 기약입니다). 고유성은 정수의 고유한 소수 인수분해(unique prime factorization)의 결과인데, 왜냐하면 \(\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}\)는 ad = bc를 의미하고 따라서 후자의 양쪽 변은 같은 소수 인수분해를 반드시 공유하지만, 여전히 \(a\)와 \(b\)는 소인 인수를 공유하지 않으므로 (중복도와 함께) \(a\)의 소수 인수의 집합은 \(c\)의 그것들의 부분집합이고 반대로 \(a=c\)와 \(b=d\)를 의미합니다.

Applications

임의의 유리수가 기약 분수로 고유한 표현을 갖는다는 사실은 다양한 2의 제곱근의 무리성의 증명과 다른 무리수의 것에서 증명에 활용됩니다. 예를 들어, 한 가지 증명은 만약 2의 제곱근이 정수의 비율로 표현될 수 있다면, 특히 완전히 축소된 표현 \(\tfrac{a}{b}\)이 있을 것임에 주목하며, 여기서 ab는 가능한 가장 작습니다; 그러나 \(\tfrac{a}{b}\)이 2의 제곱근임이 주어지면, \(\tfrac{2b-a}{a-b}\)도 마찬가지입니다 (왜냐하면 이것을 \(\tfrac{a}{b}\)과 교차-곱하는 것은 그것들이 같음을 보여줍니다). 후자는 더 작은 정수의 비율이기 때문에, 이것은 모순(contradiction)이므로, 이의 제곱근이 두 정수의 비율로 표현된다는 전제는 거짓입니다.

Generalization

기약 분수의 개념은 임의의 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain)분수의 필드(field of fractions)로 일반화됩니다: 그러한 필드의 임의의 원소는 분모와 분자가 그들의 최대 공통 약수에 의해 둘 다를 나눔으로써, 분모와 분자가 서로소인 분수로 쓰일 수 있습니다. 이것은 현저하게 필드에 걸쳐 유리 표현(rational expressions)에 적용됩니다. 주어진 원소에 대해 기약 분수는 분모와 분자를 같은 역-가능한 원소로 곱셈까지 고유합니다. 유리수의 경우에서, 이것은 임의의 숫자가 분자 둘 다의 부호의 변경과 관련된 두 기약 분수를 가지는 것을 의미합니다; 이 모호성은 분모를 양수로 요구함으로써 제거될 수 있습니다. 유리 함수의 경우에서, 분모는 유사하게 일계수 다항식(monic polynomial)이어야 합니다.

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