기약 분수(irreducible fraction 또는 가장 낮은 항에서 분수(fraction in lowest terms), 가장 단순한 형식(simplest form) 또는 축소된 분수(reduced fraction))는 분자(numerator)와 분모(denominator)가 1 (음수가 고려될 때, –1)이 아닌 다른 공통 약수(divisor)를 가지지 않는 정수(integer)인 분수(fraction)입니다. 다시 말해서, 분수 \(\tfrac{a}{b}\)가 기약인 것과 a와 b가 서로소(coprime), 즉, 만약 a와 b가 1의 최대 공통 약수(greatest common divisor)를 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 고급 수학(mathematics)에서, "기약 분수"는 분자와 분모가 서로소 다항식(polynomials)을 만족하는 유리 분수(rational fraction)를 역시 참조할 수 있습니다. 모든 각 양의 유리수(rational number)는 정확히 한 가지 방법에서 기약 분수로 나타낼 수 있습니다.
동등한 정의가 때때로 유용합니다: 만약 a, b가 정수이면, 분수 \(\tfrac{a}{b}\)가 기약인 것과 |c| < |a| or |d| < |b|를 만족하는 다른 같은 분수 \(\tfrac{c}{d}\)가 없는 것은 필요충분 조건이며, 여기서 |a|는 a의 절댓값(absolute value)을 의미합니다. (두 분수가 \(\tfrac{a}{b}\)와 \(\tfrac{c}{d}\)가 같은 것 또는 동등한 것과 ad = bc인 것은 필요충분 조건입니다.)
예를 들어, \(\tfrac14\), \(\tfrac56\), 및 \(-\tfrac{101}{100}\)은 모두 기약 분수입니다. 다른 한편으로, \(\tfrac24\)은 기약이 아닌데 왜냐하면 그것은 \(\tfrac12\)와 같고, \(\tfrac12\)의 분자가 \(\tfrac24\)의 분자보다 작기 때문입니다.
기약이 아닌 분수는 분자와 분모 둘 다를 공통 약수로 나눔으로써 줄어들 수 있습니다. 그것은 만약 분자와 분모 둘 다가 그들의 최대 공통 약수(greatest common divisor)로 나누어지면, 가장 낮은 항으로 완전히 줄어들 수 있습니다. 최대 공통 약수를 찾기 위해, 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm) 또는 소수 인수분해(prime factorization)가 사용될 수 있습니다. 유클리드 알고리듬은 공통적으로 선호되는데 왜냐하면 그것은 분자와 분모가 너무 커서 쉽게 인수화되지 않는 분수를 줄이는 것을 허용하기 때문입니다.
Examples
\(\quad\displaystyle \frac{120}{90}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3} \,.\)
첫 번째 단계에서, 숫자 둘 다는 10에 의해 나누어지며, 이것은 120과 90 둘 다의 공통 인수입니다. 두 번째 단계에서, 그것들은 3에 의해 나누어집니다. 최종 결과, \(\tfrac43\)는 기약 분수인데 왜냐하면 4와 3은 1 이외의 공통 인수를 가지지 않기 때문입니다.
원래 분수는 90과 120의 최대 공통 약수인 30 (즉, gcd(90,120)=30)을 사용함으로써 단일 단계로 역시 줄어들 수 있습니다. 120 / 30 = 4, 및 90 / 30 = 3이기 때문에, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{120}{90}=\frac{4}{3} .\)
어떤 방법은 분수와 공통 인수가 발견되는 용이성에 따라 "손으로 하는 것"이 더 빠릅니다. 분모와 분자가 너무 커서 그것들이 검사에 의해 서로소임을 보증하기 어렵게 놓이는 경우에서, 최대 공통 약수 계산이 분수가 실제로 기약인지 확인하기 위해 어쨌든 요구됩니다.
Uniqueness
모든 각 유리수는 양의 분모를 갖는 기약 분수로 고유한 표현을 가집니다 (어쨌든 \(\tfrac{2}{3} = \tfrac{-2}{-3}\)이지만, 둘 다는 기약입니다). 고유성은 정수의 고유한 소수 인수분해(unique prime factorization)의 결과인데, 왜냐하면 \(\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}\)는 ad = bc를 의미하고 따라서 후자의 양쪽 변은 같은 소수 인수분해를 반드시 공유하지만, 여전히 \(a\)와 \(b\)는 소인 인수를 공유하지 않으므로 (중복도와 함께) \(a\)의 소수 인수의 집합은 \(c\)의 그것들의 부분집합이고 반대로 \(a=c\)와 \(b=d\)를 의미합니다.
Applications
임의의 유리수가 기약 분수로 고유한 표현을 갖는다는 사실은 다양한 2의 제곱근의 무리성의 증명과 다른 무리수의 것에서 증명에 활용됩니다. 예를 들어, 한 가지 증명은 만약 2의 제곱근이 정수의 비율로 표현될 수 있다면, 특히 완전히 축소된 표현 \(\tfrac{a}{b}\)이 있을 것임에 주목하며, 여기서 a와 b는 가능한 가장 작습니다; 그러나 \(\tfrac{a}{b}\)이 2의 제곱근임이 주어지면, \(\tfrac{2b-a}{a-b}\)도 마찬가지입니다 (왜냐하면 이것을 \(\tfrac{a}{b}\)과 교차-곱하는 것은 그것들이 같음을 보여줍니다). 후자는 더 작은 정수의 비율이기 때문에, 이것은 모순(contradiction)이므로, 이의 제곱근이 두 정수의 비율로 표현된다는 전제는 거짓입니다.
Generalization
기약 분수의 개념은 임의의 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain)의 분수의 필드(field of fractions)로 일반화됩니다: 그러한 필드의 임의의 원소는 분모와 분자가 그들의 최대 공통 약수에 의해 둘 다를 나눔으로써, 분모와 분자가 서로소인 분수로 쓰일 수 있습니다. 이것은 현저하게 필드에 걸쳐 유리 표현(rational expressions)에 적용됩니다. 주어진 원소에 대해 기약 분수는 분모와 분자를 같은 역-가능한 원소로 곱셈까지 고유합니다. 유리수의 경우에서, 이것은 임의의 숫자가 분자 둘 다의 부호의 변경과 관련된 두 기약 분수를 가지는 것을 의미합니다; 이 모호성은 분모를 양수로 요구함으로써 제거될 수 있습니다. 유리 함수의 경우에서, 분모는 유사하게 일계수 다항식(monic polynomial)이어야 합니다.
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