수학(mathematics)에서, 함수(function) \(y = f(x)\)의 역(inverse)은, 어떤 방식에서, \(f\)의 효과를 "취소(undo)"하는 함수입니다 (공식적이고 자세한 정의에 대해 역함수(inverse function)를 참조하십시오). \(f\)의 역은 \(f^{-1}\)로 표시되며, 여기서 \(f^{-1}(y) = x\!\)인 것과 \(f(x) = y\!\)인 것은 필요충분 조건입니다.
그들이 존재한다고 가정했을 때, 두 도함수는, 라이프니츠 표기법(Leibniz notation)이 제안하는 것처럼, 역수(reciprocal)입니다; 즉:
\(\quad\displaystyle \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1. \)
이 관계는 x에 관해 방정식 \(f^{-1}(y)=x\!\)를 미분하고 체인 규칙(chain rule)을 적용함으로써 얻어지며, 다음임을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx} \)
이때, x에 관한 x의 도함수는 1로 여깁니다.
x에 대한 y의 의존성, 및 미분화가 일어나는 그 점을 명시적으로 쓰면, 역의 도함수에 대한 공식은 다음이 됩니다 (라그랑주의 표기법에서):
\(\quad\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)}\).
이 공식은 \(f\)가 \(f^{-1}(a)\)(\(\in I\!\))에서 미분-가능이고 \(f'(f^{-1}(a)) \ne 0 \!\)와 함께, \(f\)가 연속이고 구간 I 위에 단사(injective)일 때마다 일반적으로 유지됩니다. 같은 공식은 다음 표현과 역시 동등합니다:
\(\quad\displaystyle \mathcal{D}\left[f^{-1}\right]=\frac{1}{(\mathcal{D} f)\circ \left(f^{-1}\right)},\)
여기서 \(\mathcal{D}\)는 (함수 공간 위에) 단항 도함수 연산자를 나타내고 \(\circ\)은 이진 합성 연산자를 나타냅니다.
기하학적으로, 함수와 역함수는 직선 \(y=x\!\)에서, 반사(reflection)가 되는 그래프를 가집니다. 이 반사 연산은 임의의 직선의 기울기(slope)를 그의 역수(reciprocal)로 바꿉니다.
\(f\)가 \(x\)의 이웃에서 역을 가지고 해당 점에서 그의 도함수가 비-영이라고 가정하면, 그의 역은 \(x\)에서 미분-가능을 보장-받고 위의 공식에 의해 제공된 도함수를 가집니다.
Examples
- (양의 x에 대해) \(\,y = x^2\)은 역 \(x = \sqrt{y}\)를 가집니다.
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2x} \)
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = 2x \cdot\frac{1}{2x} = 1. \)
\(x=0\)에서, 어쨌든, 문제가 있습니다: 제곱근 함수의 그래프는 수직적으로 되며, 제곱 함수에 대해 수평 접선에 해당합니다.
- (실수 x에 대해) \(y = e^x\)은 (양의 \(y\)에 대해) 역 \(x = \ln{y}\)를 가집니다.
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx} = e^x
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} \)
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = e^x \cdot \frac{1}{y} = \frac{e^x}{e^x} = 1 \)
Additional properties
- 이 관계를 적분하여 다음을 제공합니다:
- \({f^{-1}}(x)=\int\frac{1}{f'({f^{-1}}(x))}\,{dx} + C.\)
- 이것은 오직 적분이 존재할 때 유용합니다. 특히 우리는 적분화의 치역을 가로질러 비-영이 되는 \(f'(x)\)를 요구합니다.
- 그것은 연속(continuous) 도함수를 가지는 함수는 도함수가 비-영인 모든 각 점의 이웃(neighbourhood)에서 역을 가짐을 따릅니다. 이것은 만약 도함수가 연속이 아니면 참일 필요가 없습니다.
Higher derivatives
위에서 주어진 체인 규칙(chain rule)은 x에 관한 항등식 \(f^{-1}(f(x))=x\!\)를 미분함으로써 얻어집니다. 우리는 고차 도함수에 대해 같은 과정을 계속할 수 있습니다. x와 관한 항등식을 두 번 미분함으로써, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d}{dx} \left(\frac{dx}{dy}\right)\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0, \)
이것은 체인 규칙에 의해 다음으로 추가적으로 더 단순화됩니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0.\)
앞에서 얻은 항등식을 사용하여, 첫 번째 도함수를 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3. \)
비슷하게 삼차 도함수에 대해:
\(\quad\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 -
3 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\)
또는 이차 도함수에 대해 공식을 사용하여,
\(\quad\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 +
3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5\)
이들 공식은 파 디 브루노의 공식(Faà di Bruno's formula)에 의해 일반화됩니다.
이들 공식은 라그랑주의 표기법을 사용하여 역시 쓰일 수 있습니다. 만약 f 및 g가 역이면, 다음입니다:
\(\quad\displaystyle g''(x) = \frac{-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^3}\)
Example
- \(\,y = e^x\)는 역 \(\,x = \ln y\)를 가집니다. 역 함수의 이차 도함수에 대해 공식을 사용하여,
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} = e^x = y
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = y^3;\)
그래서
\(\quad\displaystyle
\frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,y^3 + y = 0
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{1}{y^2}
\),
이것은 직접 계산과 일치합니다.
See also
- Calculus
- Inverse functions
- Chain rule
- Inverse function theorem
- Implicit function theorem
- Integration of inverse functions
References
- "Derivative of Inverse Functions (a.k.a, How to Create Your Own Table of Derivatives)". Math Vault. 2016-02-28. Retrieved 2019-07-26.
- "Derivatives of Inverse Functions". oregonstate.edu. Retrieved 2019-07-26.