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(번역) Incircle and excircles

by 다움위키 2024. 2. 21.
Original article: w:Incircle and excircles

 

기하학(geometry)에서, 삼각형(triangle)의 내-원(incircle) 또는 내접된 원(inscribed circle)은 삼각형에 포함된 가장 큰 원(circle)입니다; 그것은 세 변에 닿습니다 (그것에 접(tangent)합니다). 원의 중심은 삼각형의 내-중심(incenter)이라고 불리는 삼각형 중심(triangle center)입니다.

삼각형의 외-원(excircle) 또는 외접된 원(escribed circle)은 삼각형의 밖에 놓이며, 그것의 변 중 하나에 접하고 다른 두 연장선(extensions of the other two)에 접하는 원입니다. 모든 각 삼각형은 세 구별되는 외-원을 가지며, 삼각형의 변의 하나에 각각 접합니다.

내-중심(incenter)이라고 불리는 내-원의 중심은 세 내부(internal) 각도 이등분선(angle bisector)의 교차로 찾아질 수 있습니다. 외-원의 중심은 (예를 들어 꼭짓점 \(A\)에서) 한 각도의 내부 이등분선과 다른 두 각도의 외부(external) 이등분선의 교차입니다. 이 외-원의 중심은 꼭짓점 \(A\)와 관련된 외-중심(excenter), 또는 \(A\)의 외-중심이라고 불립니다. 각도의 내부 이등분선은 그것의 외부 이등분선에 수직이기 때문에, 세 외-원 중심과 함께 내-원의 중심은 직교-중심 시스템(orthocentric system)을 형성합니다.

모든 정규 다각형(regular polygon)은 모든 변에 접하는 내-중심을 가지지만, 모든 다각형이 그런 것은 아닙니다; 그렇게 되는 그들은 접하는 다각형(tangential polygon)입니다. 역시 원의 접선(Tangent lines to circles)을 참조하십시오.

Incircle and incenter

\(\triangle ABC \)가 반지름 \(r\)과 중심 \(I\)를 갖는 내-원을 가짐을 가정합니다. 
\(a\)를 \(BC\)의 길이, \(b\)를 \(AC\)의 길이, 및 \(c\)를  \(AB\)의 길이로 놓습니다.
역시 \(T_A\), \(T_B\), 및 \(T_C\)를 내-원이 \(BC\), \(AC\), 및 \(AB\)에 접촉하는 접촉점으로 놓습니다.

Incenter

내-중심은 \(\angle ABC, \angle BCA\) 및 \(\angle BAC\)의 내부 각도 이등분선(angle bisectors)이 만나는 점입니다.

꼭짓점 \(A\)에서 내-중심 \(I\)까지의 거리는 다음입니다:

\(
    d(A, I) 
  = c \frac{\sin\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}
  = b \frac{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{B}{2}\right)}.
\)

Trilinear coordinates

삼각형 안의 한 점에 대해 삼-선형 좌표(trilinear coordinates)는 삼각형 변에 대한 모든 거리의 비율입니다. 내-중심이 삼각형의 모든 변으로부터 같은 거리이기 때문에, 내-중심에 대해 삼-선형 좌표는 다음입니다:

\(\quad \ 1 : 1 : 1.\)

Barycentric coordinates

삼각형 안의 한 점에 대해 질량-중심 좌표(barycentric coordinates)는 그 점이 삼각형 꼭짓점 위치의 가중된 평균을 만족하는 무게를 제공합니다. 내-중심에 대해 질량-중심 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad \ a : b : c\)

여기서 \(a\), \(b\), 및 \(c\)는 삼각형의 변의 길이, 또는 동등하게 (사인의 법칙(law of sines)을 사용하여) 다음입니다:

\(\quad \sin(A):\sin(B):\sin(C)\)

여기서 \(A\), \(B\), 및 \(C\)는 세 꼭짓점에서 각도입니다.

Cartesian coordinates

내-중심의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)는 둘레에 관련된 삼각형의 변 길이를 가중으로 사용하여 (즉, 합해서 단위가 되는 정규화된, 위에서 주어진 질량-중심 좌표를 사용하여) 세 꼭짓점의 좌표의 가중된 평균입니다. 가중은 양수이므로 내-중심은 위에 언급된 것처럼 삼각형 내부에 놓입니다. 만약 세 꼭짓점이  \((x_a,y_a)\), \((x_b,y_b)\), 및 \((x_c,y_c)\)에 위치되고, 이들 꼭짓점의 반대쪽 변은 해당하는 길이 \(a\), \(b\), 및 \(c\)를 가지면, 내-중심은 다음에 있습니다:

\(\quad\displaystyle 
    \left(\frac{a x_a + b x_b + c x_c}{a + b + c}, \frac{a y_a + b y_b + c y_c}{a + b + c}\right)
  = \frac{a\left(x_a, y_a\right) + b\left(x_b, y_b\right) + c\left(x_c, y_c\right)}{a + b + c}.
\)

Radius

길이 \(a\), \(b\), \(c\)의 변을 갖는 삼각형에서 내-중심의 내-반지름 \(r\)은 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle r = \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s},\) where \(s = (a + b + c)/2. \)

헤론의 공식(Heron's formula)을 참조하십시오.

Distances to the vertices

\(\triangle ABC \)의 내-중심을 \(I \)로 나타내면, 삼각형 변의 길이와 결합된 내-중심에서 꼭짓점까지 거리는 다음 방정식을 따릅니다:

\(\quad\displaystyle \frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC \cdot CA} = 1.\)

추가적으로,

\(\quad\displaystyle IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2,\)

여기서 \(R \)과 \(r \)은 각각 삼각형의 둘레-반지름(circumradius)과 내-반지름(inradius)입니다.

Other properties

삼각형 중심의 모음은 삼-선형 좌표의 좌표-별 곱셈 아래에서 그룹(group)의 구조를 제공할 수 있습니다; 이 그룹에서, 내-중심은 항등 원소(identity element)를 형성합니다.

Incircle and its radius properties

Distances between vertex and nearest touchpoints

꼭짓점으로부터 두 가장-가까운 접촉점까지의 거리는 같습니다; 예를 들어:

\(\quad\displaystyle d\left(A, T_B\right) = d\left(A, T_C\right) = \frac{1}{2}(b + c - a).\)

Other properties

내-중심의 접하는 점은 변을 \(x\)와 \(y \), \(y \)와 \(z \), 및 \(z\)와 \(x\)로 나눈다고 가정합니다. 그런-다음 내-중심은 다음 반지름을 가집니다:

\(\quad\displaystyle r = \sqrt{\frac{xyz}{x + y + z}}\)

그리고 삼각형의 넓이는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \Delta = \sqrt{xyz(x + y + z)}.\)

만약 길이 \(a\), \(b\), 및 \(c\)의 변으로부터 고도가 \(h_a\), \(h_b\), 및 \(h_c\)이면, 내-반지름 \(r\)은 이들 고도(altitudes)의 조화 평균(harmonic mean)의 삼분의 일입니다. 즉,

\(\quad\displaystyle  r = \frac{1}{\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}.\)

변 \(a\), \(b\), 및 \(c\)를 갖는 삼각형의 내-원 반지름 \(r \)과 둘레-원(circumcircle) 반지름 \(R \)의 곱은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle rR = \frac{abc}{2(a + b + c)}.\)

변, 내-원 반지름, 및 둘레-원 반지름 사이의 일부 관계는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}
     ab + bc + ca &=  s^2 +  (4R + r)r, \\
  a^2 + b^2 + c^2 &= 2s^2 - 2(4R + r)r.
\end{align}\)

삼각형의 넓이와 그것의 둘레를 절반으로 나누는 삼각형을 통과하는 임의의 직선은 삼각형의 내-중심 (내-원의 중심)을 통과합니다. 임의의 주어진 삼각형에 대해 이들의 하나, 둘, 또는 셋이 있습니다.

\(\triangle ABC \)의 내-원의 중심을 \(I \)로 나타내면, 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle \frac{IA \cdot IA}{CA \cdot AB} + \frac{IB \cdot IB}{AB \cdot BC} + \frac{IC \cdot IC}{BC\cdot CA} = 1\)

및

\(\quad\displaystyle IA \cdot IB \cdot IC = 4Rr^2.\)

내-원 반지름은 고도의 합의 구분의 일보다 크지 않습니다.

\(\quad\displaystyle OI^2 = R(R - 2r)\),

그리고 내-중심에서 아홉-점 원(nine point circle)의 중심 \(N \)까지 거리는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle IN = \frac{1}{2}(R - 2r) < \frac{1}{2}R.\)

내-중심은 중간점 삼각형(medial triangle) 안에 놓입니다 (그의 꼭짓점이 변의 중간-점입니다).

Relation to area of the triangle

내-원의 반지름은 삼각형의 넓이(area)와 관련됩니다. 삼각형의 넓이에 대한 내-원의 넓이의 비율은 \(\tfrac{\pi}{3\sqrt{3}}\)보다 작거나 같으며, 등변 삼각형(equilateral triangle)에 대해 오직 상등을 유지시킵니다.

\(\triangle ABC\)가 반지름 \(r \)과 중심 \(I \)를 갖는 내-원을 가짐을 가정합니다. \(a\)를 \(BC\)의 길이, \(b\)를 \(AC\)의 길이, 및  \(c\)를 \(AB\)의 길이로 놓습니다. 이제, 내-원은 어떤 점 \(C'\)에서 \(AB\)에 접하고, 따라서 \(\angle AT_CI\)은 직각입니다. 그러므로, 반지름 \(T_CI\)는 \(\triangle IAB\)의 고도(altitude)입니다. 따라서 \(\triangle IAB\)는 밑변 길이 \(c\)와 높이  \(r\)을 가지고, 따라서 넓이 \(\tfrac{1}{2}cr\)를 가집니다. 비슷하게, \(\triangle IAC\)는 넓이 \(\tfrac{1}{2}br\)을 가지고 \(\triangle IBC\)는 넓이 \(\tfrac{1}{2}ar\)을 가집니다. 이들 세 삼각형은 \(\triangle ABC\)을 분해하기 때문에, 우리는 넓이 \(\Delta \text{ of } \triangle ABC\)가 다음임을 알 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \Delta = \frac{1}{2} (a + b + c)r = sr,\quad \) and \(\quad r = \frac{\Delta}{s},\)

여기서 \(\Delta\)는 \(\triangle ABC\)의 넓이이고 \(s = \tfrac{1}{2}(a + b + c)\)는 반-둘레(semiperimeter)입니다.

대안적인 공식에 대해, \(\triangle IT_CA\)을 생각해 보십시오. 이것은 \(r\)과 같은 한 변과 \(r \cot\left(\frac{A}{2}\right)\)과 같은 다른 변을 갖는 직각 삼각형입니다. 같은 것은 \(\triangle IB'A \)에 대해 참입니다. 큰 삼각형은 여섯 그러한 삼각형으로 분해되고 전체 넓이는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \Delta = r^2 \left(\cot\left(\frac{A}{2}\right) + \cot\left(\frac{B}{2}\right) + \cot\left(\frac{C}{2}\right)\right).\)

Gergonne triangle and point

\(\triangle ABC\)의 제르곤 삼각형(Gergonne triangle)은 세 변 위에 내-원의 세 접촉-점에 의해 정의됩니다. 접촉-점 반대편 \(A\)는 \(T_A \), 등으로 표시됩니다.

이 제르곤 삼각형, \(\triangle T_AT_BT_C\)는 \(\triangle ABC\)의 접촉 삼각형(contact triangle) 또는 내-접촉 삼각형(intouch triangle)으로 알려져 있습니다. 그것의 넓이는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle K_T = K\frac{2r^2 s}{abc}\)

여기서 \(K\), \(r\), 및 \(s\)는 넓이, 내-원(incircle)의 반지름, 및 원래 삼각형의 반-둘레이고, \(a\), \(b\), 및 \(c\)는 원래 삼각형의 변 길이입니다. 이것은 외-접촉 삼각형(extouch triangle)의 넓이와 같은 넓이입니다.

단일 점에서 세 직선 \(AT_A \), \(BT_B \) 및 \(CT_C \)의 교차는 제르곤 점이라고 불리며, \(G_e \)로 표시됩니다 (또는 삼각형 중심(triangle center) \(X_7\)). 제르곤 점은 그 자체의 중심에서 구멍이 난 열린 직교-도형중심의 디스크(orthocentroidal disk)에 놓이고, 거기에 임의의 점이 될 수 있습니다.

삼각형의 제르곤 점은 여러 속성을 가지며, 그것이 제르곤 삼각형의 대칭-중앙 점(symmedian point)이라는 것을 포함합니다.

내-접촉 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

  • \( \text{vertex}\, T_A = 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right)\)
  • \( \text{vertex}\, T_B = \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right)\)
  • \( \text{vertex}\, T_C = \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0.\)

제르곤 점에 대해 삼-선 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle \sec^2\left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right),\)

또는, 동등하게, 사인의 법칙(Law of Sines)에 의해,

\(\quad\displaystyle \frac{bc}{b + c - a} : \frac{ca}{c + a - b} : \frac{ab}{a + b - c}.\)

Excircles and excenters

삼각형의 외-원(excircle) 또는 외접된 원(escribed circle)은 삼각형 밖에 놓이는 원이며, 그것의 변의 하나에 접하고 다른 두 변의 연장선에 접합니다. 모든 각 삼각형은 세 구별되는 외-원을 가지며, 삼각형의 변 중 하나에 각각 접합니다.

외-원의 중심은 (예를 들어, 꼭짓점 \(A\)에서) 한 각도의 내부 이등분선과 다른 두 각도의 외부(external) 이등분선의 교차입니다. 이 외-원의 중심은 꼭짓점 \(A\)에 관련된 외-중심 또는 \(A\)의 외-중심으로 불립니다. 각도의 내부 이등분선은 그것의 외부 이등분선에 직교하기 때문에, 세 외-원 중심과 함께 내-원의 중심은 직교-중심 시스템(orthocentric system)을 형성합니다.

Trilinear coordinates of excenters

\(\triangle ABC\)의 내-중심(incenter)은 삼-선형 좌표(trilinear coordinates) \(1 : 1 : 1\)이지만, 외-중심은 삼-선형 \(-1 : 1 : 1\), \(1 : -1 : 1\), 및 \(1 : 1 : -1\)를 가집니다.

Exradii

외-원의 반지름은 외-반지름(exradii)이라고 불립니다.

\(A\) 반대편 외-원의 외-반지름은 (그래서 \(BC\)에 접촉하는, \(J_A\)에 중심을 둔) 다음입니다:

\(\quad\displaystyle r_a = \frac{rs}{s - a} = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}},\) where \(s = \tfrac{1}{2}(a + b + c).\)

헤론의 공식(Heron's formula)을 참조하십시오.

Derivation of exradii formula

변 \(AB\)에서 외-원이 \(G\)에서 연장된 변 \(AC\)에 접촉하는 것으로 놓고, 이 외-원의 반지름을 \(r_c\) 및 그것의 중심을 \(J_c\)로 놓습니다. 

그런-다음 \(J_c G \)는 \(\triangle ACJ_c\)의 고도이므로, \(\triangle ACJ_c\) 는 넓이 \(\tfrac{1}{2}br_c\)를 가집니다. 
같은 논증에 의해, \( \triangle BCJ_c \)는 넓이 \(\tfrac{1}{2}ar_c\)를 가지고 \(\triangle ABJ_c\)는 넓이 \(\tfrac{1}{2}cr_c\)를 가집니다.
따라서 삼각형 \(\triangle ABC\)의 넓이 \(\Delta\)는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \Delta = \frac{1}{2}(a + b - c)r_c = (s - c)r_c\).

따라서, 대칭에 의해, \(r\)을 내-원의 반지름으로 나타내면,

\(\quad\displaystyle \Delta = sr = (s - a)r_a = (s - b)r_b = (s - c)r_c\).

코사인의 법칙(Law of Cosines)에 의해, 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)

이것을 항등식 \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)에 결합하면, 우리는 다음을 얻습니다:

\(\quad\displaystyle \sin(A) = \frac{\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2}}{2bc}\)

그러나, \(\Delta = \tfrac{1}{2}bc \sin(A)\)이고, 따라서 

\(\quad\displaystyle \begin{align}
  \Delta &= \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2} \\
         &= \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\
         & = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)},
\end{align}\)

이것은 헤론의 공식(Heron's formula)입니다.

이것을 \(sr = \Delta\)와 결합하면, 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}.\)

비슷하게, \((s - a)r_a = \Delta\)는 다음을 제공합니다:

\(\quad\displaystyle r_a^2 = \frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}\)

및

\(\quad\displaystyle r_a = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}.\)

Other properties

위의 공식으로부터 우리는 외-원이 항상 내-원보다 더 크고 가장-큰 외-원이 가장-긴 변에 접하는 것이고 가장 작은 외-원이 가장 짧은 변에 접함을 알 수 있습니다. 게다가, 이 공식들을 결합하면 다음을 산출합니다:

\(\quad \Delta = \sqrt{r r_a r_b r_c}.\)

Other excircle properties

외-원의 원형 껍질(hull)은 각 외-원에 내부적으로 접하고 따라서 아폴로니우스 원(Apollonius circle)입니다. 이 아폴로니우스 원의 반지름은 \(\tfrac{r^2 + s^2}{4r}\)이며 여기서 \(r\)은 내-원 반지름이고 \(s\)는 삼각형의 반-둘레입니다.

다음 관계는 내-반지름 \(r\), 둘레-반지름 \(R\), 반-둘레 \(s\), 및 외-원 반지름 \(r_a\), \(r_b\), \(r_c\) 사이에 유지됩니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}
              r_a + r_b + r_c &= 4R + r, \\
  r_a r_b + r_b r_c + r_c r_a &= s^2, \\
        r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 &= \left(4R + r\right)^2 - 2s^2.
\end{align}\)

세 외-원의 반지름을 통과하는 원은 반지름 \(2R\)을 가집니다.

만약 \(H\)가 \(\triangle ABC\)의 수직-중심(orthocenter)이면,

\(\quad\displaystyle \begin{align}
          r_a + r_b + r_c + r &= AH + BH + CH + 2R, \\
  r_a^2 + r_b^2 + r_c^2 + r^2 &= AH^2 + BH^2 + CH^2 + (2R)^2.
\end{align}\)

Nagel triangle and Nagel point

\(\triangle ABC\)의 나겔 삼각형(Nagel triangle) 또는 외-접촉 삼각형(extouch triangle)은 외-원이 참조 \(\triangle ABC\)에 접촉하고 \(T_A\)가 \(A\)의 반대편, 등인 세 점인 꼭짓점  \(T_A\), \(T_B\), 및 \(T_C\)에 의해 나타냅니다. 이 \(\triangle T_AT_BT_C\)는 \(\triangle ABC\)의 외-접촉 삼각형(extouch triangle)으로 역시 알려져 있습니다. 외-접촉 \(\triangle T_AT_BT_C\)의 둘레-원(circumcircle)은 맨다트 원(Mandart circle)이라고 불립니다.

세 직선 \(AT_A\), \(BT_B\) 및 \(CT_C\)는 삼각형의 (둘레-)나눔선(splitters)이라고 불립니다; 그것들은 삼각형의 둘레를 각각 이등분합니다,

\(\quad\displaystyle AB + BT_A = AC + CT_A = \frac{1}{2}\left( AB + BC + AC \right).\)

나눔선은 단일 점, 삼각형의 나겔 점(Nagel point) \(N_a\) (또는 삼각형 중심(triangle center) \(X_8\))에서 교차합니다.

외-접촉 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

  • \(\text{vertex} \, T_A = 0 : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)\)
  • \(\text{vertex} \, T_B = \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : 0 : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right)\)
  • \(\text{vertex} \, T_C = \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{B}{2}\right) : 0.\)

나겔 점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle \csc^2\left(\frac{A}{2}\right) : \csc^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \csc^2\left(\frac{C}{2}\right),\)

또는, 동등하게, 사인의 법칙(Law of Sines)에 의해,

\(\quad\displaystyle \frac{b + c - a}{a} : \frac{c + a - b}{b} : \frac{a + b - c}{c}.\)

나겔 점은 제르곤 점의 동위 켤레(isotomic conjugate)입니다.

Related constructions

Nine-point circle and Feuerbach point

기하학(geometry)에서, 아홉-점 원(nine-point circle)은 임의의 주어진 삼각형(triangle)에 대해 구성될 수 있는 원(circle)입니다. 그것은 삼각형으로 정의된 아홉 개의 중요한 일치-순환 점(concyclic points)을 통과하기 때문에 그렇게 이름-지어졌습니다. 이들 아홉 점(points)은 다음입니다:

1822년에 카를 포이어바는 임의의 삼각형의 아홉-점 원이 해당 삼각형의 세 외-원(excircle)에 외부적으로 접(tangent)하고 그것의 내-원(incircle)에 내부적으로 접함을 발견했습니다; 이 결과는 포이어바의 정리(Feuerbach's theorem)로 알려져 있습니다. 그는 다음임을 입증했습니다:

... 삼각형의 고도의 발을 통과하는 그 원은 삼각형의 모든 세 변에 차례로 접하는 모든 네 원에 접합니다 ... (Feuerbach 1822)

내-원과 아홉-점 원이 접촉하는 삼각형 중심(triangle center)은 포이어바 점(Feuerbach point)이라고 불립니다.

Incentral and excentral triangles

선분 \(BC\), \(CA\), 및 \(AB\)를 갖는 \(\triangle ABC\)의 내부 각도 이등분선의 교차의 점은 내-중심 삼각형(incentral triangle)의 꼭짓점입니다. 내-중심 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

  • \(\ \left( \text{vertex opposite} \, A\right) = 0 : 1 : 1\)
  • \(\ \left( \text{vertex opposite} \, B\right) = 1 : 0 : 1\)
  • \(\ \left( \text{vertex opposite} \, C\right) = 1 : 1 : 0.\)

참조 삼각형의 외-중심 삼각형(excentral triangle)은 참조 삼각형의 외-원의 중심에서 꼭짓점을 가집니다. 그것의 변은 참조 삼각형의 외부 각도 이등분선 위에 있습니다 (이 기사의 꼭대기에 그림을 참조하십시오). 외-중심 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다

  • \((\text{vertex opposite} \, A) = -1 :  1 :  1\)
  • \((\text{vertex opposite} \, B) =  1 : -1 :  1\)
  • \((\text{vertex opposite} \, C) =  1 :  1 : -1.\)

Equations for four circles

\(x:y:z\)를 삼-선형 좌표(trilinear coordinates)에서 변수 점으로 놓고, \(u=\cos^2\left ( A/2 \right )\), \(v=\cos^2\left ( B/2 \right )\), \(w=\cos^2\left ( C/2 \right )\)으로 놓습니다. 위에 묘사된 네 원은 두 주어진 방정식의 하나에 의해 동등하게 제공됩니다:

  • 내-원:
    • \(\begin{align}
        u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\
        \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
      \end{align}\)
  • \(A\)-외원:
    • \(\begin{align}
        u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 - 2vwyz + 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\
        \pm\sqrt{-x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
      \end{align}\)
  • \(B\)-외원:
    • \(\begin{align}
        u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz - 2wuzx + 2uvxy &= 0 \\
        \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{-y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
      \end{align}\)
  • \(C\)-외원:
    • \(\begin{align}
        u^2 x^2 + v^2 y^2 + w^2 z^2 + 2vwyz + 2wuzx - 2uvxy &= 0 \\
        \pm\sqrt{x}\cos\left(\frac{A}{2}\right) \pm \sqrt{y}\cos\left(\frac{B}{2}\right) \pm \sqrt{-z}\cos\left(\frac{C}{2}\right) &= 0
      \end{align}\)

Euler's theorem

오일러 정리(Euler's theorem)는 삼각형에서 다음임을 말합니다:

\(\quad (R - r)^2 = d^2 + r^2,\)

여기서 \(R\)와 \(r\)은 각각 둘레-반지름과 내-반지름이고, \(d\)는 둘레-중심(circumcenter)과 내-중심 사이의 거리입니다.

외-원에 대해, 그 방정식은 비슷합니다:

\(\quad \left(R + r_\text{ex}\right)^2 = d_\text{ex}^2 + r_\text{ex}^2,\)

여기서 \(r_\text{ex}\)는 외-원 중 하나의 반지름이고, \(d_\text{ex}\)는 둘레-중심과 해당 외-원의 중심 사이의 거리입니다.

Generalization to other polygons

일부 (그러나 전부는 아님) 사변형(quadrilateral)은 내-원을 가집니다. 이들은 접하는 사변형(tangential quadrilateral)이라고 불립니다. 그들의 많은 속성 중에서 아마도 가장 중요한 것은 그들의 반대편 변의 두 쌍이 같은 합을 가진다는 것입니다. 이것은 피토 정리(Pitot theorem)라고 불립니다.

보다 일반적으로, 내접된 원을 가지는 임의의 숫자의 변을 갖는 다각형은 접하는 다각형(tangential polygon)으로 불립니다.

See also

References

  • Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504
  • Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
  • Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv, 1–295.
  • Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177.

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