(번역) Identity theorem

Original article: w:Identity theorem

 

수학(mathematics)의 가지, 실수 해석학(real analysis)과 복소 해석학(complex analysis)에서, 해석적 함수(analytic functions)에 대해 항등 정리(identity theorem)는 다음을 말합니다: 도메인 D ($\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$의 열린 것이고 연결된 부분집합) 위에 해석적인 함수 f와 g가 주어졌을 때, 일부 $S\subseteq D$ 위에 f = g이면, 여기서 $S$는 누적 점(accumulation point)을 가지며, D 위에 f = g입니다.

따라서 해석적 함수는 D에서 단일 열린 이웃 또는 심지어 D의 셀-수-있는 부분집합 (이것은 수렴하는 수열을 포함한다는 조건에서) 위에 값에 의해 완전하게 결정됩니다. 이것은 일반적으로 실수-미분가능 함수, 심지어 무한하게 실수-미분가능 함수(infinitely real-differentiable functions)에 대해서도 참이 아닙니다. 이에 비해, 해석적 함수는 훨씬 더 엄격한 개념입니다. 비공식적으로, 우리는 때때로 해석적 함수가 "딱딱한" (말하자면, "부드러운" 연속 함수와 반대로) 것이라고 말함으로써 정리를 요약합니다.

그 정리가 확립되는 토대적인 사실은 정칙 함수를 그것의 테일러 급수로의 확장-가능성입니다.

도메인 D 위에 연결성 가정이 필요합니다. 예를 들어, D가 두 개의 서로소 열린 집합으로 구성되면, $f$는 하나의 열린 집합 위에 $0$이고 또 다른 것 위에 $1$일 수 있지만, $g$는 하나 위에 $0$이고 또 다른 것 위에 $2$입니다.

Lemma

만약 도메인 $D$ 위에 두 개의 정칙 함수 $f$와 $g$가 $D$에서 누적 점 $c$를 가지는 집합 $S$ 위에 일치하면, $c$를 중심으로 하는 $D$에서 디스크 위에 $f=g$입니다.

이를 입증하기 위해, 모든 $n\ge 0$에 대해 $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$임을 보여주는 것으로 충분합니다.

만약 이것이 그 경우가 아니면, $m$을 $f^{(m)}(c)\ne g^{(m)}(c)$를 갖는 가장 작은 비-음의 정수라고 놓습니다. 정칙성에 의해, 우리는 $c$의 일부 열린 이웃 $U$에서 다음과 같은 테일러 급수 표현을 가집니다:

${\displaystyle \begin{array}{rl}(f-g)(z)& =(z-c{)}^m\cdot [\frac{(f-g{)}^{(m)}(c)}{m!}+\frac{(z-c)\cdot (f-g{)}^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}+\cdots ]\\ & =(z-c{)}^m\cdot h(z).\end{array}}$

연속성에 의해, $h$는 $c$ 주변의 일부 작은 열린 디스크 $B$에서 비-영입니다. 그러나 그때에 구멍난 집합 $B-\{c\}$ 위에 $f-g\ne 0$입니다. 이것은 $c$가 $\{f=g\}$의 누적 점이라는 가정과 모순됩니다.

이 보조정리는 복소수 $a\in \mathbb{C}$에 대해, 올(fiber) $f^{-1}(a)$가 $f\equiv a$가 아닌 한 이산 (및 따라서 셀-수-있는) 집합임을 보여줍니다.

Proof

$f$와 $g$가 같은 테일러 전개를 가지는 집합을 정의합니다:
${\displaystyle S=\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z)\text{ for all }k\ge 0\}=\bigcap _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}.}$

우리는 $S$가 비-빈, 열린, 및 닫힌 것임을 보여야 합니다. 그런-다음 $D$의 연결성(connectedness)에 의해, $S$는 $D$의 전부여야 하며, 이는 $S=D$ 위에 $f=g$를 의미합니다.

보조정리, $D$에서 $c$에 중심을 둔 디스크에서 $f=g$에 의해, 그것들은 $c$에서 같은 테일러 급수를 가지므로, $c\in S$, $S$는 비-빈입니다.

$f$와 $g$는 $D$ 위에 정칙이므로, $\mathrm{\forall }w\in S$, $w$에서 $f$와 $g$의 테일러 급수는 비-영 수렴의 반지름(radius of convergence)을 가집니다. 그러므로, 열린 디스크 $B_r(w)$도 일부 $r$에 대해 $S$에 놓입니다. 따라서 $S$는 열린 것입니다.

$f$와 $g$의 정칙성에 의해, 그것들은 정칙 도함수를 가지므로, 모든l $f^{(n)},g^{(n)}$는 연속입니다. 이것은 $\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}$가 모든 $k$에 대해 닫힌 것임을 의미합니다. $S$는 닫힌 집합의 교집합이므로, 그것은 닫힌 것입니다.

Full characterisation

항등 정리는 두 개의 정칙 함수의 상등에 관한 것이므로, 우리는 단순히 차이 (이는 정형으로 남아 있음)을 고려할 수 있고, 정칙 함수가 동일하게 $0$일 때 간단히 특성화할 수 있습니다. 다음 결과는 발견될 수 있습니다.

Claim

$G\subseteq \mathbb{C}$는 복소 평면의 비-빈, 연결된(connected) 열린 부분집합을 나타낸다고 놓습니다. $h:G\to \mathbb{C}$에 대해, 다음은 동등합니다:

1. $G$ 위에 $h\equiv 0$;
2. 집합 $G_0=\{z\in G\mid h(z)=0\}$은 [[Limit point of a set|누적 점(accumulation point)]], $z_0$을 포함합니다;
3. 집합 $G_{\ast }=\bigcap _{n\in {\mathbb{N}}_0}{G}_n$은 비-빈이며, 여기서 $G_n:=\{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}$.

Proof

방향 (1 $\Rightarrow$ 2) 및 (1 $\Rightarrow$ 3)은 자명하게 유지됩니다.

(3 $\Rightarrow$ 1)에 대해, $G$의 연결성에 의해, 그것은 비-빈 부분집합, $G_{\ast }\subseteq G$이 닫힌-열린 것임을 입증하는 것으로 충분합니다 (왜냐하면 토폴로지적 공간이 연결된 것과 그것이 적절한 닫힌-열린 부분집합을 가지지 않는 것은 필요충분 조건이기 때문입니다). 정칙 함수는 무한하게 미분-가능, 즉, $h\in C^{\mathrm{\infty }}(G)$이므로, $G_{\ast }$가 닫혀 있음이 분명합니다. 열림을 보여주기 위해, $u\in G_{\ast }$를 생각해 보십시오. $u$를 포함하는 열린 공 $U\subseteq G$를 생각해 보십시오. 이것에서 $h$는 $u$를 중심으로 하는 수렴 테일러-급수 전개를 가집니다. $u\in G_{\ast }$ 덕분에, 이 급의 모든 계수는 $0$이며, 여기서 $U$ 위에 $h\equiv 0$임이 따라옵니다. $h$의 모든 $n$-번째 도함수는 $U$ 위에서 0이며, 여기서 $U\subseteq G_{\ast }$입니다. 따라서 각 $u\in G_{\ast }$는 $G_{\ast }$의 내부에 놓입니다.

(2 $\Rightarrow$ 3)을 향해, 누적 점 $z_0\in G_0$를 고정합니다. 우리는 이제 각 $n\in {\mathbb{N}}_0$에 대해 $z_0\in G_n$임을 귀납법에 의해 직접적으로 입증합니다. 이를 위해, $r\in (0,\mathrm{\infty })$를 $\sum _{k\in {\mathbb{N}}_0}\frac{h^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0{)}^k$에 의해 주어지는 $z_0$ 주변의 $h$의 거듭제곱 급수 전개의 수렴 반지름보다 엄격하게 작다고 놓습니다. 이제 일부 $n\ge 0$을 수정하고 모든 $k<n$에 대해 $z_0\in G_k$라고 가정합니다. 그런-다음 $z\in {\overline{B}}_r(z_0)\setminus \{z_0\}$에 대해, 거듭제곱 급수 전개의 조작은 다음을 산출합니다:

${\displaystyle h^{(n)}(z_0)=n!\frac{h(z)}{(z-z_0{)}^n}-(z-z_0)\underset{=:R(z)}{\underbrace{n!\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{h^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0{)}^{k-(n+1)}}}.\cdots \mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{)}}$

$r$이 거듭제곱 급수의 반지름보다 작기 때문에, 거듭제곱 급수 $R(\cdot )$가 연속적이고 따라서 ${\overline{B}}_r(z_0)$에 경계져 있음을 쉽게 도출할 수 있음에 주목하십시오.

이제, $z_0$가 $G_0$에서 누적 점이기 때문에, $z_0$에 수렴하는 점 $(z^{(i)}{)}_i\subseteq G_0\cap B_r(z_0)\setminus \{z_0\}$의 수열이 있습니다. $G_0$ 위에 $h\equiv 0$이고 각 $z^{(i)}\in G_0\cap B_r(z_0)\setminus \{z_0\}$이기 때문에, (1)에서 표현은 다음을 산출합니다:

${\displaystyle h^{(n)}(z_0)=n!\frac{h(z^{(i)})}{(z^{(i)}-z_0{)}^n}-(z^{(i)}-z_0)R(z^{(i)})=0-\underset{{⟶}_{i}0}{\underbrace{(z^{(i)}-z_0)}}R(z^{(i)}).\cdots \mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{)}}$

$R(\cdot )$ on ${\overline{B}}_r(z_0)$ 위에 $R(\cdot )$의 경계성에 의해 , $h^{(n)}(z_0)=0$이며, 여기서 $z_0\in G_n$임이 따라옵니다. 귀납법을 통해, 주장이 유지됩니다. $◻$

References

• Guido Walz, ed. (2017). Lexikon der Mathematik (in German). Vol. 2. Mannheim: Springer Spektrum Verlag. p. 476. ISBN 978-3-662-53503-5.
• Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S. (1997). Complex variables: Introduction and applications. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 122. ISBN 0-521-48058-2.