집합 이론(set theory)의 수학적 분야에서, 아이디얼(ideal)은 "작거나" "무시할 수 있는" 것으로 고려되는 부분적으로 순서화된(partially ordered) 집합(sets)의 모음입니다. 아이디얼의 원소의 모든 각 부분-집합(subset)은 역시 아이디얼 안에 있어야 하고 (이것은 아이디얼이 작음의 개념이라는 생각을 체계화합니다), 아이디얼의 임의의 두 원소의 합집합(union)도 역시 아이디얼 안에 있어야 합니다.
보다 공식적으로, 집합 \(X\)가 주어지면, \(X\) 위에 아이디얼 \(I\)는 다음을 만족하는 \(X\)의 거듭제곱-집합(powerset)의 비-빈(nonempty) 부분집합입니다:
- \(\varnothing \in I,\)
- 만약 \(A \in I\)이고 \(B \subseteq A\)이면, \(B \in I\)입니다. 그리고
- 만약 \(A, B \in I\)이면 \(A \cup B \in I\)입니다.
일부 저자는 \(X\) 자체가 \(I\)에 있지 않다는 네 번째 조건을 추가합니다; 이 여분의 속성을 갖는 아이디얼은 적절한 아이디얼(proper ideals)이라고 불립니다.
집합-이론적 의미에서 아이디얼은 정확하게 순서-이론적 의미에서 아이디얼이며, 여기서 관련 순서는 집합 포함입니다. 역시, 그것들은 놓여있는 집합의 거듭제곱-집합에 의해 형성된 부울 링(Boolean ring) 위에 정확하게 링-이론적 의미에서 아이디얼입니다. 아이디얼에 대한 이중 개념은 필터(filter)입니다.
Terminology
아이디얼 \(I\)의 원소는 만약 아이디얼 \(I\)가 문맥에서 이해되면 \(I\)-널(\(I\)-null) 또는 \(I\)-무시가능(\(I\)-negligible), 또는 간단히 널(null) 또는 무시-가능(negligible)이라고 말합니다. 만약 \(I\)가 \(X\) 위에 아이디얼이면, \(X\)의 부분-집합은 만약 그것이 \(I\)의 원소가 아니면 \(I\)-양수(\(I\)-positive, 또는 그냥 양수(positive))라고 말합니다. \(X\)의 모든 \(I\)-양수 부분-집합의 모음은 \(I^+\)로 표시됩니다.
만약 \(I\)가 \(X\) 위에 적절한 아이디얼이고 모든 각 \(A \subseteq X\)에 대해 \(A \in I\) 또는 \(X \setminus A \in I\)이면, \(I\)는 소수 아이디얼(prime ideal)입니다.
Examples of ideals
General examples
- 임의의 집합 \(X\)와 임의의 임의적으로 선택된 부분집합 \(B \subseteq X\)에 대해, \(B\)의 아이디얼은 \(X\) 위에 아이디얼을 형성합니다. 유한 \(X\)에 대해, 모든 아이디얼은 이 형식입니다.
- 임의의 집합 \(X\)의 유한 부분집합(finite subsets)은 \(X\) 위에 아이디얼을 형성합니다.
- 임의의 측정 공간(measure space)에 대해, 측정 영의 집합입니다.
- 임의의 측정 공간(measure space)에 대해, 유한 측정의 집합입니다. 이것은 유한 부분-집합 (셈 측정(counting measure)을 사용)과 아래의 작은 집합을 포함합니다.
Ideals on the natural numbers
- 자연수(natural numbers)의 모든 유한 집합의 아이디얼은 Fin으로 표시됩니다.
- 자연수 위에 합-가능 아이디얼(summable ideal)은, \(\mathcal{I}_{1/n}\)에 의해 표시되며, 합 \(\sum_{n\in A}\frac{1}{n+1}\)가 유한임을 만족하는 자연수의 모든 집합 \(A\)의 모음입니다. 작은 집합(small set)을 참조하십시오.
- 자연수 위에 점근적으로 영-밀도 집합의 아이디얼(ideal of asymptotically zero-density sets)은, \(\mathcal{Z}_0\)로 표시되며, \(A\)에 속하는 \(n\)보다 작은 자연수의 분수가 \(n\)이 무한대로 가는 경향일 때 영으로 가는 경향을 만족하는 자연수의 모든 집합 \(A\)의 모음입니다. (즉, \(A\)의 점근적 밀도(asymptotic density)는 영입니다.)
Ideals on the real numbers
- 측정 아이디얼(measure ideal)은 \(A\)의 르베그 측정(Lebesgue measure)이 영임을 만족하는 실수의 모든 집합 \(A\)의 모음입니다.
- 마른 아이디얼(meager ideal)은 실수의 모든 마른 집합(meager sets)의 모음입니다.
Ideals on other sets
- * 만약 \(\lambda\)가 셀-수-없는 공끝도(cofinality)의 순서 숫자(ordinal number)이면, \(\lambda\) 위에 비-정류 아이디얼(nonstationary ideal)은 정류 집합(stationary sets)이 아닌 \(\lambda\)의 모든 부분집합의 모음입니다. 이 아이디얼은 W. Hugh Woodin에 의해 널리 연구되어 왔습니다.
Operations on ideals
놓여있는 집합 \(X\)와 \(Y\) 위에 각각 아이디얼 \(I\)와 \(J\)가 주어지면, 다음과 같이 데카르트 곱(Cartesian product) \(X \times Y\) 위에 곱 \(I \times J\)를 형성합니다: 임의의 부분집합 \(A \subseteq X \times Y\)에 대해,
\(\quad A \in I \times J \quad \text{ if and only if } \quad \{ x \in X \; : \; \{y : \langle x, y \rangle \in A\} \not\in J \} \in I\)
즉, 집합은 만약 오직 \(x\)-좌표의 무시-가능 모음이 \(y\)-방향에서 \(A\)의 비-무시가능 슬라이스에 해당하면 곱 아이디얼에서 무시-가능입니다. (아마도 더 명확하게: 집합은 만약 양수적으로 많은 \(x\)-좌표가 양수 슬라이스에 해당하면 곱 아이디얼에서 양수입니다.)
집합 \(X\) 위에 아이디얼 \(I\)는 \(\wp(X),\) \(X\)의 거듭제곱-집합 위에, \(A\)와 \(B\)를 (\(X\)의 부분집합 \(A, B\)에 대해) 동등한 것으로 고려하는, 동치 관계(equivalence relation)를 유도하는 것은 \(A\)와 \(B\)의 대칭 차이(symmetric difference)가 \(I\)의 원소인 것과 필요충분 조건입니다. 이 동치 관계에 의해 \(\wp(X)\)의 몫(quotient)은 부울 대수(Boolean algebra)이며, \(\wp(X) / I\)로 표시됩니다 ("P of \(X\) mod \(I\)"로 읽습니다).
모든 각 아이디얼에 대응하는 필터(filter)가 있으며, 이중 필터(dual filter)라고 불립니다. 만약 \(I\)가 \(X\) 위에 아이디얼이면, \(I\)의 이중 필터는 모든 집합 \(X \setminus A\)의 모음이며, 여기서 \(A\)는 \(I\)의 원소입니다. (여기서 \(X \setminus A\)는 \(X\)에서 \(A\)의 상대적 여집합(relative complement)을 나타냅니다; 즉, \(A\)에 있지 않은 \(X\)의 모든 원소의 모음입니다).
Relationships among ideals
만약 \(I\)와 \(J\)가 각각 \(X\)와 \(Y\) 위에 아이디얼이면, \(I\)와 \(J\)는 만약 그것들이 (무시-가능 집합을 무시하여) 놓여 있는 집합의 원소의 이름 바꾸는 것을 제외하고 같은 아이디얼이면 루딘-키슬러 동형(Rudin–Keisler isomorphic)입니다. 보다 공식적으로, 요구 사항은 임의의 부분집합 \(C \setminus X\)에 대해, \(C \in I\)인 것과 \(\varphi \in J\) 아래에서 \(C\)의 이미지(image)인 것이 필요충분 조건임을 만족하는 각각 \(I\)와 \(J\)의 원소, 집합 \(A\)와 \(B\)와 전단사(bijection) \(\varphi : X \setminus A \to Y \setminus B\)가 있다는 것입니다.
만약 \(I\)와 \(J\)가 루딘-키슬러 동형이면, \(\wp(X) / I\)와 \(\wp(Y) / J\)는 부울 대수로 동형입니다. 아이디얼의 루딘-키슬러 동형에 의해 유도된 몫 부울 대수의 동형은 자명한 동형(trivial isomorphisms)이라고 불립니다.
References
- Farah, Ilijas (November 2000). Analytic quotients: Theory of liftings for quotients over analytic ideals on the integers. Memoirs of the AMS. American Mathematical Society. ISBN 9780821821176.