수학(mathematics)에서, 중심-닮음(homothety 또는 homothecy, 또는 균질 팽창(homogeneous dilation))은 중심이라고 불리는 점 S와 비율이라고 불리는 비-영 숫자 \(k\)에 의해 결정되는 아핀 공간(affine space)의 변환(transformation)이며, 이는 다음 규칙에 따라 점 \(X\)를 점 \(X'\)으로 보냅니다:
\(\quad \overrightarrow{SX'}=k\overrightarrow{SX}\) for a fixed number \(k\ne 0\).
위치 벡터를 사용하여:
\(\quad \mathbf x'=\mathbf s + k(\mathbf x -\mathbf s)\).
\(S=O\) (원점)의 경우에서:
\(\quad \mathbf x'=k\mathbf x\),
이는 균등 스케일링(uniform scaling)이고 \(k\)에 대한 특별한 선택의 의미를 보여줍니다:
\(\quad k=1\)에 대해 항등(identity) 매핑을 얻습니다,
\(\quad k=-1\)에 대해 중심에서 반사(reflection)를 얻습니다,
\(1/k\)에 대해 \(k\)에 의해 정의된 역(inverse) 매핑을 얻습니다.
유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 중심-닮음은 한 점을 고정하고 모든 벡터의 방향을 (\(k>0\)이면) 유지하거나 (\(k<0\)이면) 거꾸로 바꾸는 닮음(similarities)입니다. 평행이동(translations)과 함께, 아핀 (또는 유클리드) 공간의 모든 중심-닮음은 그룹, 팽창(dilations) 또는 중심닮음-평행이동(homothety-translations)의 그룹을 형성합니다. 이것들은 정확하게 모든 각 직선 g의 이미지가 g에 평행(parallel)한 직선이라는 속성을 갖는 아핀 변환(affine transformations)입니다.
투영 기하학(projective geometry)에서, 중심-닮음 변환은 무한대에서 직선을 점별 불변(invariant)으로 남겨두는 닮음 변환 (즉, 주어진 타원 귀납법을 고정함)입니다.
유클리드 기하학에서, 비율 \(k\)의 중심-닮음은 점 사이의 거리에 \(|k|\)를, 넓이에 \(k^2\)을, 및 부피에 \(|k|^3\)을 곱합니다. 여기서 \(k\)는 확대의 비율(ratio of magnification) 또는 팽창 인수(dilation factor) 또는 스케일 인수(scale factor) 또는 유사도 비율(similitude ratio)입니다. 그러한 변환은 스케일 인수가 1을 초과하면 확대(enlargement)라고 불릴 수 있습니다. 위에서-언급된 고정된 점 S는 중심-닮음 중심(homothetic center) 또는 닮음 중심(center of similarity) 또는 유사도 중심(center of similitude)이라고 불립니다.
프랑스 수학자 Michel Chasles에 의해 만들어진 그 용어는 "닮은"을 의미하는 접두사 homo- (όμο)와 "위치"를 의미하는 thesis (Θέσις)의 두 가지 그리스어 원소에서 파생됩니다. 그것은 같은 모양과 방향의 두 도형 사이의 관계를 설명합니다. 예를 들어, 같은 방향을 바라보는 두 개의 러시아 인형(Russian dolls)은 중심-동형적으로 고려될 수 있습니다.
중심-닮음은 컴퓨터 화면; 예를 들어, 스마트폰, 노트북, 랩탑의 내용을 스케일하기 위해 사용됩니다.
Properties
다음 속성은 임의의 차원에서 유지됩니다.
Mapping lines, line segments and angles
중심-닮음은 다음 속성을 가집니다:
- 직선(line)은 평행 직선 위로 매핑됩니다. 여기서: 각도(angles)는 변경되지 않고 남습니다.
- 두 선분의 비율(ratio)은 보존됩니다.
두 속성 모두 다음을 보입니다:
- 두 선분의 비율(ratio)은 보존됩니다.
속성의 유도: 계산을 쉽게 하기 위해, 중심 \(S\)가 원점에 있다고 가정합니다: \(\mathbf x \to k\mathbf x\). 매개변수 표현 \(\mathbf x=\mathbf p +t\mathbf v\)를 갖는 직선 \(g\)는 \(g\)와 평행한 직선인 방정식 \(\mathbf x=k(\mathbf p+t\mathbf v)= k\mathbf p+tk\mathbf v\)을 갖는 점 집합 \(g'\) 위로 매핑됩니다.
두 점 \(P:\mathbf p,\;Q:\mathbf q\)의 거리는 \(|\mathbf p -\mathbf q|\)이고 그들 이미지 사이의 거리는 \(|k\mathbf p -k\mathbf q|=|k||\mathbf p-\mathbf q|\)입니다. 따라서, 두 선분의 비율 (몫)은 그대로 유지됩니다.
\(S\ne O\)의 경우에서, 계산은 유사하지만 약간 광범위합니다.
결과: 삼각형이 닮은 삼각형에 매핑됩니다. 원의 중심-닮음 이미지는 원입니다. 타원의 이미지도 닮은 타원이며, 즉, 두 축의 비율은 변경되지 않습니다.
Graphical constructions
using the intercept theorem
만약 중심 \(S\)를 갖는 중심-닮음에 대해 점 \(P_1\)의 이미지 \(Q_1\)이 주어지면 (다이어그램 참조), 직선 \(SP_1\) 위에 놓이지 않는 두 번째 점 \(P_2\)의 이미지 \(Q_2\)는 절편 정리를 사용하여 그래픽적으로 구성될 수 있습니다: \(Q_2\)는 두 직선 \(\overline{P_1P_2}\)과 \(\overline{SP_2}\)의 공통 점입니다. \(P_1,Q_1\)과 공선형에 있는 점의 이미지는 \(P_2,Q_2\)를 사용하여 결정될 수 있습니다.
using a pantograph
컴퓨터가 보편화되기 전에는, 컴퍼스와 유사한 도구, 팬터그래프(pantograph)를 사용함으로써 그림의 스케일을 조정했습니다.
구성과 기하학적 배경:
- 4개의 막대를 가지고 꼭짓점 \(P_0,Q_0,H,P\)를 갖는 움직이는 평행사변형(parallelogram)을 조립하여 \(Q_0\)에서 만나는 두 개의 막대가 다이어그램에 표시된 대로 다른 쪽 끝에서 연장되도록 합니다. 비율 \(k\)를 선택합니다.
- 연장된 막대에서 \(|SQ_0|=k|SP_0|\)와 \(|QQ_0|=k|HQ_0|\)임을 만족하는 두 점 \(S,Q\)를 표시합니다. 이것은 \(|SQ_0|=\tfrac{k}{k-1}|P_0Q_0|\)인 경우입니다. (\(k\) 대신 중심 \(S\)의 위치는 규정될 수 있습니다. 이 경우에서 비율은 \(k=|SQ_0|/|SP_0|\)입니다.)
- 점 \(S\)에서 회전 가능한 움직이는 막대를 부착합니다.
- 점 \(P\)의 위치를 변경하고 각 시점 \(Q\)에 표시합니다.
\(|SQ_0|/|SP_0|=|Q_0Q|/|PP_0|\)이기 때문에 (다이어그램 참조), 점 \(S,P,Q\)가 공선형에 있다는 절편 정리(intercept theorem)에서 얻고 방정식 \(|SQ|=k|SP|\)가 유지됩니다. 즉, 매핑 \(P\to Q\)는 중심 \(S\)와 비율 \(k\)를 갖는 중심-닮음입니다.
Composition
- 같은 중심 \(S\)를 갖는 두 중심-닮음의 합성은 다시 중심 \(S\)를 갖는 중심-닮음입니다. 중심 \(S\)를 갖는 중심-닮음은 그룹(group)을 형성합니다.
- 서로 다른 중심 \(S_1,S_2\)와 그 비율 \(k_1,k_2\)를 갖는 두 중심-닮음의 합성은 다음과 같습니다:
- \(k_1k_2\ne 1\)의 경우에서 직선 \(\overline{S_1S_2}\) 위에 중심과 비율 \(k_1k_2\)를 갖는 중심-닮음(homothety) 또는
- \(k_1k_2= 1\)의 경우에서 방향 \(\overrightarrow{S_1S_2}\)에서 평행이동(translation). 특히, \(k_1=k_2=-1\)인 경우 (점 반사(point reflections)).
유도:
중심 \(S_1,S_2\)과 다음을 갖는 두 중심-닮음의 합성 \(\sigma_2\sigma_1\)에 대해,
\(\quad \sigma_1: \mathbf x \to \mathbf s_1+k_1(\mathbf x -\mathbf s_1), \)
\(\quad \sigma_2: \mathbf x \to \mathbf s_2+k_2(\mathbf x -\mathbf s_2)\ \)
점 \(X:\mathbf x\)의 이미지에 대한 계산에 의해 다음을 얻습니다:
\(\quad (\sigma_2\sigma_1)(\mathbf x)= \mathbf s_2+k_2\big(\mathbf s_1+k_1(\mathbf x-\mathbf s_1)-\mathbf s_2\big) \)
\(\quad \qquad \qquad \ =(1-k_1)k_2\mathbf s_1+(1-k_2)\mathbf s_2 + k_1k_2\mathbf x\).
따라서, 합성은 다음과 같습니다:
\(\quad k_1k_2= 1\)의 경우에서, 벡터 \(\ (1-k_2)(\mathbf s_2-\mathbf s_1)\)에 의한 방향 \(\overrightarrow{S_1S_2}\)에서 평행이동.
\(\quad k_1k_2\ne 1\)의 경우에서, 다음 점은
\(\quad\displaystyle S_3: \mathbf s_3=\frac{(1-k_1)k_2\mathbf s_1+(1-k_2)\mathbf s_2}{1-k_1k_2}
=\mathbf s_1+\frac{1-k_2}{1-k_1k_2}(\mathbf s_2-\mathbf s_1) \)
고정점(fixpoint)이고 (움직이지 않음) 다음 합성은
\(\quad \sigma_2\sigma_1: \ \mathbf x \to \mathbf s_3 + k_1k_2(\mathbf x -\mathbf s_3)\quad \).
중심 \(S_3\)와 비율 \(k_1k_2\)를 갖는 중심-닮음(homothety)입니다. \(S_3\)는 직선 \(\overline{S_1S_2}\) 위에 놓입니다.
- 중심닮음과 평행이동의 합성은 중심닮음입니다.
유도:
다음 중심닮음,
\(\quad \sigma: \mathbf x \to \mathbf s +k(\mathbf x-\mathbf s),\; k\ne 1,\;\) 그리고 다음 평행이동의 합성은
\(\quad \tau: \mathbf x \to \mathbf x +\mathbf v \), 다음과 같습니다:
\(\quad \tau\sigma: \mathbf x \to \mathbf s +\mathbf v +k(\mathbf x-\mathbf s)\)
\(\quad\displaystyle =\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k}+k\left(\mathbf x-(\mathbf s+\frac{\mathbf v}{1-k})\right)\)
이는 중심 \(\mathbf s'=\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k}\)과 비율 \(k\)를 갖는 중심닮음입니다.
In homogenous coordinates
중심 \(S=(u,v)\)을 갖는 중심닮음 \(\sigma: \mathbf x \to \mathbf s+k(\mathbf x -\mathbf s)\)은 중심 \(O\)를 갖는 중심닮음과 평행이동의 합성으로 쓸 수 있습니다:
\(\quad \mathbf x \to k\mathbf x + (1-k)\mathbf s\).
따라서 \(\sigma\)는 다음 행렬에 의해 동차 좌표(homogeneous coordinates)에서 표현될 수 있습니다:
\(\quad \begin{pmatrix}
k & 0 & (1-k)u\\
0 & k & (1-k)v\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \).
References
- H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p. 94
- Hadamard, J., Lessons in Plane Geometry
- Meserve, Bruce E. (1955), "Homothetic transformations", Fundamental Concepts of Geometry, Addison-Wesley, pp. 166–169
- Tuller, Annita (1967), A Modern Introduction to Geometries, University Series in Undergraduate Mathematics, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.
External links
- Homothety, interactive applet from Cut-the-Knot.