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(번역) History of algebra

by 다움위키 2024. 2. 18.
Original article: w:History of algebra

 

대수학은 산술(arithmetic)의 계산과 비슷한 것을 하는 것이지만 비-수치적 수학적 대상과 함께 행하는 것으로 본질적으로 여겨질 수 있습니다. 어쨌든, 19세기까지, 대수학은 방정식 이론(theory of equations)으로 본질적으로 구성되었습니다. 예를 들어, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 방정식 이론에 속하고 지금은 대수학에 속하는 것으로 여겨지지 않습니다 (사실, 모든 각 증명은 대수적 속성이 아닌 실수의 완전성(completeness of the real numbers)을 사용해야 합니다).

이 기사는 수학의 개별 영역으로 대수학의 기원에서 출현에 이르기까지, 여기서 "대수학(algebra)"이라고 불리는, 방정식 이론의 역사를 설명합니다.

Etymology

단어 "algebra(대수)"는 아랍(Arabic) 단어 الجبر al-jabr에서 파생된 것이고, 이것은 중세 페르시아 수학자 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)에 의해 830년에 쓰인 논문으로부터 유래되었으며, 그의 아랍어 제목, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala은 The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing으로 번역될 수 있습니다. 그 논문은 선형(linear) 및 이차 방정식(quadratic equation)의 체계적인 해에 대해 제공했습니다. 한 역사에 따르면, "용어 al-jabr와 muqabalah가 무엇을 의미하는지는 명확하지 않지만, 보통의 해석은 이전 번역에서 그것에 암시된 것과 유사합니다. 단어 'al-jabr'는 아마도 '복원(completion)' 또는 '완결(completion)'과 같은 어떤 것을 의미하고 방정식의 다른 변에 대한 뺄셈한 항의 이항을 가리키는 것으로 보입니다; 단어 'muqabalah'는 '감소(reduction)' 또는 '균형(balancing)'–즉, 방정식의 반대 변에 대한 동류항의 삭제를 가리키는 것으로 말합니다. 알-콰리즈미 시대 이후 스페인에서의 아랍계 영향은 돈 키호테(Don Quixote)에서 발견되는데, 여기서 단어 'algebrista'는 뼈-세터, 즉, '복원자'에 대해 사용됩니다." 이 용어는 알-콰리즈미에 의해 그가 도입한 연산, "축소(reduction)"와 "균형", 방정식의 다른 변에 대한 뺄셈된 항의 이항을 가리키는, 즉, 방정식의 반대 변에 대한 동류항의 제거를 설명하기 위해 사용되었습니다.

Stages of algebra

Algebraic expression

대수학은 수학에서 지금은 유비쿼터스인 기호주의의 사용을 항상 만든 것은 아니었습니다; 대신, 그것은 세 가지 별개의 단계를 거쳤습니다. 기호적 대수학의 발전에서 단계는 대략적으로 다음과 같습니다:

대수학에서 기호주의의 사용 또는 부족이 똑같이 중요했던 것은 다루어졌었던 방정식의 차수였습니다. 이차 방정식(Quadratic equations)은 초기 대수학 그리고 역사의 대부분 동안에서 중요한 역할을 했습니다; 초기 현대 기간까지, 모든 이차 방정식은 세 가지 카테고리 중 하나에 속하는 것으로 분류되었습니다.

  • \(x^2 + px = q\)
  • \(x^2 = px + q\)
  • \(x^2 + q = px\)

여기서 p와 q는 양수입니다.

이 삼분법은 양수 p와 q를 가진, 형태 \(x^2 + px + q = 0\)의 이차 방정식이 양의 근을 가지지 않기 때문에 발생합니다.

기호적 대수학의 수사학적 그리고 중략된 단계 사이에서 기하학적 구성 대수학은, 대수적 방정식이 기하학을 통해 해결되는 것에서 그리스(Greek) 및 베다 인도 수학자(Vedic Indian mathematicians)에 의해 개발되었습니다. 예를 들어, 형태 \(x^2 = A\)의 방정식은 넓이 A의 정사각형의 한 변을 찾아냄으로써 해결되었습니다.

Conceptual stages

대수적 아이디어를 표현하는 세 단계 이외에, 일부 저자는 표현에서 변화와 함께 발생되는 대수학의 발전에서 네 가지 개념 단계를 인지했습니다. 이들 네 단계는 다음의 것이었습니다:

Babylon

대수학의 기원은 수사학적 대수 방정식을 푸는 데 크게 도움이 되는 위치적 숫자 시스템을 개발한, 고대 바빌로니아인(Babylonians)으로 추적될 수 있습니다. 바빌로니아 사람은 정확한 해가 아니라 근삿값에 관심이 있었고, 그래서 그들은 중간 값을 근사하기 위해 공통적으로 선형 보간법(linear interpolation)을 사용했을 것입니다. 가장 유명한 태블릿 중 하나는 기원전 약 1900–1600년에 만들어진, 플림프턴 322 태블릿(Plimpton 322 tablet)이며, 이것은 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triples)의 테이블을 제공하고 그리스 수학에 앞서 가장 진보된 수학을 나타냅니다.

바빌로니아 대수학은 당시의 이집트 대수학보다 훨씬 더 앞섰습니다; 반면에 이집트인은 선형 방정식에 주로 관심을 가졌지만 바빌로니아인은 이차 및 삼차 방정식에 더 관심을 가졌습니다. 바빌로니아인은 유연한 대수적 연산을 개발했었는데, 그들은 같은 것을 같은 것에 더할 수 있었고 분수와 인수를 없애기 위해 같은 양을 방정식의 양쪽 변에 곱할 수 있었습니다. 그들은 인수분해의 많은 간단한 형태, 양수 근을 가진 삼-항의 이차 방정식, 그리고 비록 그들이 일반 삼차 방정식을 축소할 수 있었는지 알려지지 않았을지라도 많은 삼차 방정식에 익숙했었습니다.

Egypt

고대 이집트 대수학은 주로 선형 방정식을 다루었으며 반면에 바빌로니아인은 이들 방정식이 너무 초등적이라는 것을 발견하고 이집트인보다 높은 수준으로 수학을 발전시켰습니다.

아메스 파피루스(Ahmes Papyrus)라고 역시 알려진, 린드 파피루스(Rhind Papyrus)는 아메스에 의해 기원전 c. 1650년에 쓰인 고대 이집트의 파피루스이며, 그는 기원전 2000년과 1800년 사이에 날짜를 적은 더 이른 작품에서 그것을 고쳐 썼습니다. 그것은 역사가들에게 알려진 가장 광범위한 고대 이집트의 수학적 문서입니다. 린드 파피루스는 형태 \(x + ax = b\)과 \(x + ax + bx = c\)의 선형 방정식을 해결하는 문제를 포함하는데, 여기서 a, b, 및 c는 알려지고 "aha" 또는 힙(heap)으로 언급되는 x는 미지수입니다. 그 해는 "잘못된 위치의 방법", 또는 regula falsi를 사용하여 아마도, 아닐 수도 있지만, 도달했을 것이며, 여기서 먼저 특정 값이 방정식의 왼쪽 변에 대체되고, 그런 다음 필요한 산술 계산이 수행되며, 세 번째로 그 결과는 방정식의 오른쪽 변과 비교되고, 마지막으로 정답은 비율의 사용을 통해 발견됩니다. 문제의 일부에서 저자는 자신의 해를 "확인"하고, 그것에 의하여 가장 초기에 알려진 간단한 증명 중 하나를 작성합니다.

Greek geometric algebra

그리스인(Greeks)에게 대수학을 가지지 않았었다고 때때로 주장하지만, 이것은 부정확합니다. 플라톤(Plato) 시대에서, 그리스 수학은 급격한 변화를 겪었습니다. 그리스인은 기하학적 대수학을 만들었는데, 여기서 항은, 기하학적 객체의 변, 그들과 관련된 문자를 가졌던, 보통 선에 의해 표현되었었고, 대수학의 이 새로운 형태와 함께 그들은 "넓이의 응용"으로 알려진 그들이 발명한 프로세스를 사용함으로써 방정식에 대한 해를 찾을 수 있었습니다". "넓이의 응용"은 기하학적 대수학의 단지 일부였었고 그것은 유클리드(Euclid)의 원론에서 완전히 다루어집니다.

기하학적 대수학의 예제는 선형 방정식 ax = bc를 푸는 것이었을 것입니다. 고대 그리스인은 비율 a:b와 c:x 사이의 상등이라고 보다는 넓이의 상등으로 보는 것으로 이 방정식을 풀었을 것입니다. 그리스인은 길이 b와 c의 변을 가진 직사각형을 만들었을 것이고, 그런 다음 직사각형의 한 변을 길이 a로 펼치고, 마지막으로 그들은 해가 되는 직사각형의 다른 변을 찾기 위해 펼쳐진 직사각형을 완성했을 것입니다.

Bloom of Thymaridas

Introductio arithmatica에서 이암블리코스(Iamblichus)는 피마리다스(Thymaridas) (기원전 c. 400 – 기원전 c. 350)는 연립 선형 방정식과 함께 작업했다고 우리에게 말합니다. 특히 그는 "피마리다스의 꽃" 또는 "피마리다스의 개화"로 알려진 당시의 유명한 규칙을 만들었는데, 그 내용은 다음과 같습니다:

만약 n의 양의 합이 주어지고, 특정 양을 포함하는 모든 각 쌍의 합이 역시 주어지면, 이 특정 양은 이들 쌍의 합과 첫 번째 주어진 합 사이의 차이의 1/ (n - 2)와 같습니다.

또는 현대의 개념을 사용하여, n 미지수에서 n 선형 방정식의 다음 시스템,

\(x+x_1+x_2+...+x_{n-1} = s\)
\(x+x_1=m_1\)
\(x+x_2 = m_2\)
.
.
.
\(x+x_{n-1}=m_{n-1}\)

의 해는 다음과 같습니다:

\(x=\cfrac{(m_1 + m_2 + ... + m_{n-1}) - s}{n-2}  = \cfrac{ (\sum_{i=1}^{n-1} m_i) -s}{n -2}\)

 

이암블리코스는 이 형식이 아닌 선형 방정식의 일부 시스템이 이 형식으로 넣어질 수 있는 방법을 계속해서 설명합니다.

Euclid of Alexandria

유클리드(Euclid) (그리스어(Greek): Εὐκλείδης)는, 프톨레마이오스 1세(Ptolemy I) (기원전 323–283)의 지배동안 거의 확실하게, 이집트(Egypt), 알렉산드리아(Alexandria)에서 번성했던, 그리스(Greek) 수학자입니다. 그의 출생의 연도 또는 장소는 확립되지 않았고, 그의 죽음의 상황도 확립되지 않았습니다.

유클리드는 "기하학(geometry)의 아버지"로 여겨집니다. 그의 원론(Elements)은 수학의 역사(history of mathematics)에서 가장 성공적인 교과서(textbook)입니다. 비록 그가 역사에서 가장 유명한 수학자 중 하나일지라도 그에게 기인한 새로운 발견은 없었으며, 그것보다는 그는 위대한 설명 기술에 대해 기억하는 편이 낫습니다. 그 원론은, 때때로 생각하기에는, 그 시대에 대한 모든 그리스의 수학적 지식의 모음이 아니라, 그것보다는 그것이 그것에 대한 기본적인 소개로 보는 편이 낫습니다.

Elements

유클리드(Euclid)의 원론으로 대표되는 그리스인의 기하학적 작업은 특정 문제의 해결을 넘어서 방정식을 정하고 해결하는 보다 일반적인 시스템으로 공식을 일반화하는 것에 대해 프레임워크를 제공했습니다.

원론의 2권은 유클리드 시대에서 기하학적 대수학을 수행하는 데 매우 중요한 14개의 전제를 포함합니다. 이들 전제와 그 결과는 우리의 현대 기호적 대수학과 삼각법의 기하학적 등가입니다. 오늘날, 현대의 기호적 대수학을 사용하여, 우리는 기호를 알려진 그리고 알려지지 않은 크기 (즉, 숫자)를 나타내도록 놓고 그 다음에 그들에 대한 대수적 연산을 적용합니다. 반면에 유클리드 시대에서 크기는 선분으로 여겨졌었고 그런 다음 결과는 기하학의 공리 또는 정리를 사용하여 추론되었습니다.

덧셈 및 곱셈의 많은 기본 법칙은 원론에서 기하학적으로 포함되거나 증명됩니다. 예를 들어, 2권의 전제 1은 다음을 말합니다:

  • 만약 두 개의 직선이 있고, 그 중 하나가 어떤 것일지라도 임의의 숫자의 선분으로 절단되면, 두 직선에 포함되는 직사각형은 자르지 않은 직선과 선분 각각에 의해 포함된 직사각형과 같습니다.

그러나 이것은 (왼쪽) 분배 법칙의 기하학적 버전인 것만큼, \(a(b + c + d) = ab + ac + ad\); 원론의 5와 7권에서 곱셈에 대해 교환 법칙과 결합 법칙이 논증됩니다.

많은 기본 방정식이 기하학적으로 역시 증명되었습니다. 예를 들어, 2권의 전제 5는 \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)를 증명하고, 2권에서 전제 4는 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)를 증명합니다.

게다가, 많은 방정식에 주어진 기하학적 해도 역시 있습니다. 예를 들어, 2권의 전제 6은 이차 방정식 \(ax+x^2=b^2\)에 대한 해를 제공하고, 2권의 전제 11은 \(ax+x^2=a^2\)에 대한 해를 제공합니다.

Data

데이터(Data)는 알렉산드리아의 학교에서 사용하기 위해 유클리드에 의해 쓰인 작품이고 원론의 처음 6권에 대한 안내서로 사용하기 위한 것입니다. 이 책은 약 15개의 정의와 95개의 명제를 포함하며, 대수적 규칙 또는 공식으로 사용되는 약 20개의 명제가 있습니다. 이들 명제 중 일부는 이차 방정식의 해에 대한 동등한 기하학적 해입니다. 예를 들어, 데이터는 방정식 \(dx^2-adx+b^c=0\) 및 익숙한 바빌로니아 방정식 \(xy=a^2, x \pm y = b\)에 대한 해를 포함합니다.

Conic sections

원뿔 단면(conic section)은 원뿔과 평면의 교차점의 결과로써 생기는 곡선입니다. 원뿔 단면의 세 가지 주요 유형: (원(circles)을 포함하여) 타원(ellipse), 포물선(parabolas) 및 쌍곡선(hyperbolas)이 있습니다. 원뿔 단면은 메나이크모스(Menaechmus) (기원전 c. 380–320)에 의해 발견해 온 것으로 평해지고, 원뿔 단면을 다루는 것은 그들 각각의 방정식을 다루는 것이기 때문에, 그들은 입방 방정식 및 기타 고차 방정식과 동등한 기하학적 역할을 했습니다.

메나이크모스는, 비록 그가 두 개의 미지수에서 임의의 방정식이 곡선을 결정한다는 사실을 알지 못했을지라도, 포물선에서, 방정식 \(y^2=lx\)가 성립한다는 것을 알고 있었는데, 여기서 l은 래투스 렉텀(latus rectum)이라고 불리는 상수입니다. 그는 분명히 원뿔 단면의 이들 속성을 알아냈었고 다른 것도 마찬가지입니다. 이 정보를 사용하여 이제는 두 개의 포물선이 교차하는 점, 삼차 방정식을 푸는 것과 동일한 해를 해결함으로써 정육면체의 두 배(duplication of the cube) 문제에 대한 해결책을 찾을 수 있었습니다.

우리는, 그가 삼차 방정식을 풀기 위해 사용했던 방법이 디오니소도로스(Dionysodorus) (기원전 250–190)에 기인하는 것을, 유토시우스(Eutocius)에 의해 사실을 제공받았습니다. 디오니소도로스는 사각형의 쌍곡선(hyperbola)과 포물선(parabola)의 교차점을 수단으로 삼차 방정식을 풀었습니다. 이것은 아르키메데스(Archimedes)의 On the Sphere and Cylinder에서 하나의 문제와 관련됩니다. 원뿔 단면은 그리스와 나중에 이슬람과 유럽의 수학자들에 의해 수천 년 동안 연구되고 사용될 것입니다. 특히 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)의 유명한 Conics는, 다른 주제 사이에, 원뿔 단면을 다룹니다.

China

중국 수학은, 일반적으로 가장 오래된 중국 수학 문헌 중 하나로 여겨지는, Zhoubi Suanjing와 함께 적어도 기원전 300년으로 거슬러 올라갑니다.

Nine Chapters on the Mathematical Art

약 기원전 250년에 쓰인, Chiu-chang suan-shu 또는 The Nine Chapters on the Mathematical Art는 모든 중국 수학 서적 중 가장 영향력있는 책 중의 하나이고 그것은 246개의 문제로 구성됩니다. 8장에서는 5개의 미지수에서 4개의 방정식을 푸는 하나의 문제와 함께, 양수 및 음수를 사용하여 확정 및 불확정 연립 선형 방정식을 해결하는 것을 다루고 있습니다.

Sea-Mirror of the Circle Measurements

Ts'e-yuan hai-ching, 또는 Sea-Mirror of the Circle Measurements는 이 치(Li Zhi) (또는 이 예(Li Ye)) (CE 1192 – 1279)에 의해 쓰인 170가지 문제의 모음입니다. 그는, 비록 그가 방정식의 해결하는 그의 방법을 설명하지 않았을지라도, 최고 6차 방정식을 해결하기 위해 fan fa, 또는 호너의 방법을 사용했었습니다.

Mathematical Treatise in Nine Sections

Shu-shu chiu-chang, 또는 Mathematical Treatise in Nine Sections은 부유한 총독이자 지사인 진구소(Ch'in Chiu-shao) (c. 1202 – c. 1261)에 의해 쓰였고, 중국의 불확정 해석(부정해석)에서 높은 점수를 받고 있는, 지금 중국 나머지 정리(Chinese remainder theorem)로 불리는, 연립 방정식을 해결하는 방법의 발명을 포함합니다.

Magic squares

가장 초기에 알려진 마법의 사각형(magic squares:마방진)이 중국에 나타났습니다. Nine Chapters에서 저자는 선형 방정식의 계수와 상수 항을 마법의 사각형 (즉, 행렬)에 배치하고 마법의 사각형에 대한 열 축소 연산을 수행함으로써 연립 선형 방정식의 시스템을 해결합니다. 삼차보다 높은 가장 오래된 것으로 알려진 마법의 사각형은 양 휘(Yang Hui) (fl. c. 1261 – 1275)에 기인하며, 그는 최고 십차의 마법의 사각형과 함께 수행했습니다.

Precious Mirror of the Four Elements

Ssy-yüan yü-chien《四元玉鑒》, 또는 Precious Mirror of the Four Elements은 1303년 주세걸(Chu Shih-chieh)에 의해 쓰였고 그것은 중국 대수학의 발전에서 절정을 이룹니다. 하늘, 땅, 사람과 물질이라고 불리는 네 가지 원소(four elements)는 그의 대수적 방정식에서 네 개의 미지의 양을 나타내었습니다. Ssy-yüan yü-chien은 연립 방정식과 최고 14차의 방정식을 다룹니다. 저자는 이들 방정식을 해결하기 위해, 오늘날 호너의 방법(Horner's method)이라고 불리는, fan fa의 방법을 사용합니다.

Precious Mirror은 원형 영 기호를 사용하여 산술 삼각형 (파스칼의 삼각형(Pascal's triangle))의 다이어그램으로 열리지만, 주세걸은 그것에 대한 명성을 부정합니다. 양 휘의 작품에서 유사한 삼각형이 나타나지만, 영 기호는 없습니다.

Precious mirror에서 증명없이 주어진 많은 합계 급수 방정식이 있습니다. 합계 급수 중 일부는 다음과 같습니다:

  • \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n + 1)(2n + 1)\over 3!}\)
  • \(1 + 8 + 30 + 80 + \cdots + {n^2(n + 1)(n + 2)\over 3!} = {n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(4n + 1)\over 5!}\)

Diophantine algebra

디오판토스(Diophantus)는 c. 250 CE에 살았던 헬레니즘(Hellenistic) 수학자였었지만, 이 날짜의 불확실성은 너무 커서 1세기 보다 더 넘을 수 있습니다. 그는 원래 13권의 책이었지만 단지 처음 6권이 살아남은 논문, Arithmetica를 써왔던 것으로 알려져 있습니다. Arithmetica는 기하학적인 방법과 분리되어 있기 때문에 전통적인 그리스 수학과 거의 공통점이 없고, 디오판토스는 간단한 근사 대신에 확정과 불확정 둘 다에서, 정확한 답을 관련되는 것에서 바빌로니아 수학과 다릅니다.

주어진 디오판토스 방정식이 해결 가능한지 여부를 알기는 보통 꽤 어려운 일입니다. 디오판토스가 심지어 이차 방정식에 대한 두 가지 해가 있음을 깨달았음을 암시하는 증거는 없습니다. 그는 역시 연립 이차 방정식을 고려했습니다. 또한, 일반적인 방법은 모든 디오판토스의 해로부터 추출될 수 없습니다.

Arithmetica에서, 디오판토스는 숫자, 관계, 및 연산의 능력에 대해 약어뿐만 아니라 미지수에 대해 기호를 처음으로 사용합니다;[35] 따라서 그는 지금은 중략된(syncopated) 대수로 알려진 것을 사용했었습니다. 디오판토스 중략된 대수와 현대 대수적 표기법의 주된 차이점은 전자는 연산, 관계, 및 지수에 대한 특별한 기호가 없다는 것입니다. 그래서, 예를 들어, 우리가 다음과 같이 쓸 것입니다: 디오판토스는 이것을 다음으로 썼을 것입니다:

\(\quad \rm K^Y \overline{\alpha} \zeta \overline{i} \pitchfork \Delta^Y \overline{\beta} \mathbf{M} \overline{\alpha} \ddot{i}\alpha \mathbf{M} \overline{\epsilon}\)

여기서 기호는 다음을 나타냅니다:

Symbol Representation
\(\overline{\alpha}\) represents 1
\(\overline{\beta}\) represents 2
\(\overline{\epsilon}\) represents 5
\(\overline{i}\) represents 10
\(\zeta\) represents the unknown quantity (i.e. the variable)
\(\ddot{i}\alpha\) (short for ἴσος) represents "equals"
\(\pitchfork\) represents the subtraction of everything that follows it up to ἴσ
\(\mathbf{M}\) represents the zeroth power of the variable (i.e. a constant term)
\(\rm \Delta^Y\) represents the second power of the variable, from Greek δύναμις, meaning strength or power
\(\rm K^Y\) represents the third power of the variable, from Greek κύβος, meaning a cube
\(\rm \Delta^Y \Delta\) represents the fourth power of the variable
\(\rm \Delta K^Y\) represents the fifth power of the variable
\(\rm K^Y K\) represents the sixth power of the variable

계수는 변수 뒤에 오고 그 덧셈은 항의 병치에 의해 표현되는 것에 주목하십시오. 디오판토스의 중략된 방정식을 현대의 기호적 방정식으로 정확한 기호-대-기호의 변역은 다음과 같을 것입니다:

\(\quad {x^3}1{x}10 - {x^2}2{x^0}1 = {x^0}5\)

그리고, 명확히 하기 위해, 만약 현대의 괄호와 플러스가 사용된다면 위의 방정식은 다음으로 재작성될 수 있습니다:

\(\quad ({x^3}1+{x}10) - ({x^2}2+{x^0}1) = {x^0}5\)

Arithmetica는 특정 숫자와 함께 약 150가지 해결된 문제의 모음이고, 사후의 발전 그리고 명시적으로 설명된 일반적인 방법은 없으며, 비록 보편적인 방법이 의도되어 왔을지라도 방정식에 대한 해의 모두를 찾기 위한 시도가 없습니다. Arithmetica는, 그들 중 오직 하나의 관점에서 미지의 양을 표현함으로써, 만약 가능하다면, 해결되는, 여러 개의 미지의 양을 포함하는 해결된 문제를 포함합니다. Arithmetica는 역시 항등식의 사용을 만듭니다:

\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\) \(= (ac + db)^2 + (bc - ad)^2\)
   \(= (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2\)

 

India

인도의 수학자들은 숫자 시스템에 관한 연구에서 활동적이었습니다. 가장 초기에 알려진 인도의 수학적(Indian mathematical) 문서는 약 기원전 1천년 중반 (기원전 약 6세기)까지 거슬러 올라갑니다.

인도 수학에서 되풀이되는 주제는, 다른 것들 사이에서, 확정과 불확정 선형 및 이차 방정식, 단순 계량, 그리고 피타고라스 세-쌍입니다.

Aryabhata

아리아바타(Aryabhata) (476–550)는 Aryabhatiya를 저술한 인도의 수학자였습니다. 그것 안에 그는 다음 규칙을 제공했습니다:[44]

\(\quad 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = {n(n + 1)(2n + 1) \over 6}\)

그리고

\(\quad 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + \cdots + n)^2\)

Brahma Sphuta Siddhanta

브라마굽타(Brahmagupta) (fl. 628)는 Brahma Sphuta Siddhanta를 저술한 인도의 수학자였습니다. 그의 작품에서 브라마굽타는 양수 및 음수 근 둘 다에 대해 일반적인 이차 방정식을 풀었습니다. 불확정 해석학에서 브라마굽타는 피타고라스 삼조 \(m\), \({1 \over 2}\left({m^2\over n} - n\right)\), \({1 \over 2}\left({m^2\over n} + n\right)\)를 제공하지만, 이것은 브라마굽타가 잘 알고 있었던 오래된 바빌로니아 규칙의 수정된 형태입니다. 그는 선형 디오판토스 방정식 ax + by = c에 대한 일반적인 해를 처음으로 제공했는데, 여기서 a, b 및 c는 정수입니다. 불확정 방정식에 대한 하나의 해를 오직 제공했던 디오판토스와 달리, 브라마굽타는 ''모든'' 정수 해를 제공했습니다; 그러나 브라마굽타는, 디오판토스가 브라마굽타의 작품, 또는 적어도 공통 바빌로니아 출처에 대한 그리스의 영향의 가능성을 고려하기 위해 몇몇 역사가를 이끌었던 같은 예제를 사용했습니다.

디오판토스의 대수학과 마찬가지로, 브라마굽타의 대수학은 축약적이었습니다. 덧셈은 숫자를 나란히 놓음으로써, 뺄셈은 빼지는 숫자(감수) 위에 점을 놓음으로써, 그리고 나눗셈은, 우리의 표기법과 비슷하지만 막대없이, 나누어지는 숫자(피제수) 아래에 나누는 숫자(제수)를 놓음으로써 나타내었습니다. 곱셈, 전개 및 미지 양은 적절한 항의 약어로 표현되었습니다. 이 축약에 대한 그리스의 영향의 범위는, 만약에 어떠한, 알려지지 않았고 그리스와 인도의 축약이 공통적인 바빌로니아의 출처로부터 파생되었을 수 있습니다.

Bhāskara II

바스카라 2세(Bhāskara II) (1114 – c. 1185)는 12세기 최고의 수학자였습니다. 대수학에서, 그는 펠의 방정식(Pell's equation)의 일반적인 해법을 제시했습니다. 그는 릴라바티(Lilavati) and 비자-가니타(Vija-Ganita)의 저자인데, 저서는 확정 및 불확정 선형 및 이차 방정식, 그리고 피타고라스의 세-쌍을 다루는 문제를 포함하고, 그는 정확한 제안과 근사한 제안을 구별하는 것에 실패했습니다. 릴라바티(Lilavati)와 비자-가니타(Vija-Ganita)에서 문제의 상당수는 다른 힌두교 출처에서 파생된 것이고, 그래서 바스카라(Bhaskara)는 불확정 해석학을 다루는 것에서 그의 최선을 다했습니다.

바스카라는 미지수의 기호로 색깔에 대해 이름의 초기 기호를 사용합니다. 그래서, 예를 들어, 오늘날 우리가 다음으로 쓰는 것은

\(\quad ( -x - 1 ) + ( 2x - 8 ) = x - 9\)

바스카라는 다음으로 썼을 것입니다:

        . _ .

    ya 1 ru 1

            .

    ya 2 ru 8

                .

    Sum ya 1 ru 9

 

여기서 ya는 검정에 대해 단어의 첫 번째 음절을 나타내고, ru는 단어 종류(species)로부터 가져옵니다. 숫자 위에 점은 뺄셈을 나타냅니다.

Medieval Middle East

이슬람(Islam) 아랍 제국(Arab Empire)의 첫 번째 세기는 거의 과학적 또는 수학적으로 성취를 볼 수 없는데, 왜냐하면 새로 정복된 제국과 함께 아랍인은 퇴색되어 왔던 세계의 다른 지역에서 임의의 지적 길과 연구를 아직 얻지 못했기 때문입니다. 8세기 후반에서, 이슬람은 문화적 각성을 가졌고, 수학과 과학에서 연구가 증가했습니다. 무슬림 어배시드(Abbasid) 칼리프(caliph) 알-마몬(al-Mamun) (809–833)은 아리스토텔레스가 그에게 등장한 꿈을 꾸었다고 말했고, 결과적으로 알-마몬은 프톨레마이오스의 알마게스트(Almagest)와 유클리드의 원론(Elements)을 포함하는, 가능한 많은 그리스의 작품의 아랍어 번역을 만들 것을 명령했습니다. 그리스 작품은 조약에 대해 교환으로 비잔틴 제국(Byzantine Empire)에 의해 무슬림에게 주어졌을 것인데, 왜냐하면 두 제국은 불안한 평화를 유지했기 때문입니다. 이들 그리스 작품 중 상당수는 유클리드, 아르키메데스, 아폴로니우스, 프톨레마이오스, 유토시우스에 의해 쓰인 책을 번역한 타비트 이븐 커라(Thabit ibn Qurra) (826–901)에 의해 번역되었습니다.

아랍어 대수학의 기원에 관한 세 가지 이론이 있습니다. 첫 번째는 힌두교 영향을 강조하고, 두 번째는 메소포타미아 또는 페르시아-시리아의 영향을 강조하고 그리고 세 번째는 그리스의 영향을 강조합니다. 많은 학자들은 그것이 세 가지 출처 모두의 조합의 결과라고 믿습니다.

권력에 있는 그들의 시간을 통해, 이슬람 문명이 무너지기 전에, 아랍인은 완전히 수사학적 대수학을 사용했는데, 여기서 종종 심지어 숫자는 단어로 철자되었습니다. 아랍인은 결국 철자로된 숫자 (예를 들어, 이십-이)를 아라비아 숫자(Arabic numerals) (예를 들어, 22)로 바꿀 것이지만, 아랍인은 13세기에서 이븐 알-바나(Ibn al-Banna)와 15세기에서 아부 알-하산 이븐 알리 알-칼라스사디(Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī)의 작업이 끝날 때까지 중략된 또는 기호적 대수학을 채택하거나 개발하지 않았습니다.

Al-jabr wa'l muqabalah

무슬림 페르시아(Persia)의 수학자 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)는, 알-마먼에 의해 설립된, 바그다드에서 "지혜의 집" (Bait al-Hikma)의 교수였습니다. 약 CE 850년에 사망한, 알-콰리즈미는 6가지 이상의 수학과 천문학 작품을 저술했으며, 그 중 일부는 인도의 신드힌드(Sindhind)를 기초로 했습니다. 알-콰리즈미의 가장 유명한 책 중 하나는 Al-jabr wa'l muqabalah 또는 The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing로 제목지어졌고, 그것은 이차까지 다항식을 풀 수 있는 철저한 설명을 제공합니다. 그 책은 역시 "감소(reduction)"와 "균형"의 기본 개념을 소개했으며, 빼기된 항을 방정식의 다른 변으로 옮겨 놓은 것을 지칭하며, 즉, 방정식의 반대 변에 대한 동류항을 제거합니다. 이것은 알-콰리즈미가 원래 al-jabr로 묘사했던 연산입니다.

로쉬디 라시드(R. Rashed)와 안젤라 암스트롱(Angela Armstrong)은 다음과 같이 썼습니다:

"알-콰리즈미의 텍스트는 바빌로니아 태블릿(Babylonian tablets)뿐만 아니라, 디오판토스(Diophantus)의 아리트메티카(Arithmetica)로부터 뚜렷해질 수 있습니다. 그것이 더 이상 해결해야 할 일련의 문제에 관한 것이 아니라, 그것의 조합에서 원시적 항으로 시작하는 전시(exposition)가 방정식에 대해 모든 가능한 프로토타입을 반드시 제시하며, 이는 이 시간이후 명백하게 진정한 연구 대상을 구성합니다. 다른 한편으로, 그 자체를 위한 방정식의 그 아이디어는 처음부터 나타나고, 사람은, 일반적인 방식에서, 그것이 문제를 해결하는 과정에서 단순히 나타나지는 않지만, 문제의 무한 클래스를 정의하는 것이 구체적으로 깨우쳐질 때 그 정도에서 말할 수 있습니다."

알-자브르(Al-Jabr)에서, 알-콰리즈미는 기하학적 증명을 사용하는데, 그는 근 x = 0을 인식하지 못하고, 그리고 그는 오직 양수 근을 다룹니다. 그는, 비록 프로시져를 정당화하지 않을지라도, 판별식(discriminant)이 반드시 양수이어야 하고 완전제곱식을 완성(completing the square)하는 방법을 설명하는 것을 역시 인정합니다. 그리스의 영향은 알-자브르(Al-Jabr)의 기하학적 기초 그리고 헤론으로부터 가져온 한 가지 문제에 의해 보입니다. 그는 문자로된 다이어그램의 사용을 만들지만 그의 방정식의 모두에서 계수의 모두는 특정 숫자인데 왜냐하면 그는, 비록 방법의 일반성을 의도했을지라도, 그가 기하학적으로 표현할 수 있는 매개변수로 표현의 방법을 가지고 있지 않았기 때문입니다.

알-콰리즈미는 디오판토스의 Arithmetica에 대해 거의 알지 못했을 것인데, 그것은 10세기 이전에 어떤 때에 아랍인에게 알려지게 되었습니다. 그리고 비록 알-콰리즈미가 브라마굽타의 작품을 가장 잘 알고 있을지라도, 알-자브르(Al-Jabr)는 숫자와 함께 심지어 단어에서 철자화 되어지는 완전히 수사적입니다. 그래서, 예를 들어, 우리가 다음으로 어떤 것을 쓸 것입니다:

\(\quad x^2 + 10x = 39\)

디오판토스는 다음으로 썼을 것입니다:

\(\quad \rm \Delta^Y \overline{\alpha} \zeta \overline{i} \ddot{i}\alpha \mathbf{M} \overline{\lambda} \overline{\theta}\)

그리고 알-콰리즈미는 다음으로 썼을 것입니다:

  • 39 디르함(dirhem)에 대한 같은 양의 하나의 제곱과 열 개의 근; 즉 다시 말해서, 그 자신의 열 개의 근에 의해 증가될 때, 39에 이르는 제곱이 되어야 하는 것은 무엇입니까?

Logical Necessities in Mixed Equations

압드 알-하미드 이븐 터크('Abd al-Hamīd ibn Turk)는 알-콰리즈미의 알-자브르(Al-Jabr)와 매우 유사한 혼합된 방정식에서 논리적 필요성(Logical Necessities in Mixed Equations)이라는 제목의 원고를 저술했고, 알-자브르(Al-Jabr)와 거의 동시에, 또는 심지어 아마도 더 이전에 출판되었습니다. 원고는 알-자브르(Al-Jabr)에서 발견된 것과 정확하게 같은 기하학적 시연을 제공하고, 하나의 경우에서 알-자브르(Al-Jabr)에서 발견된 것과 같은 예제를 제공하고, 만약 판별식이 음수면 이차 방정식은 해를 가지지 않는 것을 기하학적 증명을 제공함으로써 심지어 알-자브르(Al-jabra)를 넘어서서 나아갔습니다. 이들 두 작품의 닮음은 일부 역사학자에게 아랍의 대수학이 알-콰리즈미와 압드 알-하미드의 시대에서 잘 개발되어 왔을 것이라는 결론에 이르게 했습니다.

Abu Kamil and al-Karkhi

아랍 수학자는 무리수(irrational number)를 대수적(algebraic) 대상으로 취급했습니다. 이집트(Egypt)의 수학자 아부 카밀 쇼하 이븐 아슬람(Abū Kāmil Shujā ibn Aslam) (c. 850–-930)은 이차 방정식(quadratic equation)의 해 또는 방정식(equation)에서 계수(coefficient)로 (종종 제곱근(square root), 세제곱근(cube root) 또는 네제곱근(fourth root)의 형태에서) 무리수를 받아들였습니다. 그가 세 개의 모르는 변수(variables)를 가진 세 개의 비-선형 연립 방정식(simultaneous equations)을 푼 것이 역시 첫 번째였습니다.

알-카라지로 역시 알려진, 카르키(Al-Karkhi) (953–1029)는 아부 알-와파 알-브쨔아니(Abū al-Wafā 'al-Būzjānī) (940–998)의 후임자였고 그리고 그는 형태 \(ax^{2n}+bx^n=c\)의 방정식에 대한 첫 번째 수치 해를 발견했습니다. 알 카르키는 오직 양수 근을 고려했습니다. 알-카르키는 기하학적(geometrical) 연산으로부터 대수를 자유롭게 하고 그것들을 오늘날 대수의 핵심에 있는 산술(arithmetic) 연산의 유형으로 대체한 최초의 사람으로 역시 여겨집니다. 대수학 및 다항식(polynomial)에 대한 그의 연구는, 다항식을 조작하기 위한 산술 연산에 대해 규칙을 제공했습니다. 수학의 역사가(historian of mathematics) 웨프케(F. Woepcke)는, Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi (파리, 1853)에서, "대수적 미적분(calculus) 이론을 처음으로 도입한 사람"으로 알-카라지를 칭찬했습니다. 이것에 따르면, 알-카라지는 이항 계수(binomial coefficients)와 파스칼 삼각형(Pascal's triangle)을 조사했습니다.

Omar Khayyám, Sharaf al-Dīn, and al-Kashi

오마르 카야얌(Omar Khayyám) (c. 1050 – 1123)은 알-자브르(Al-Jabr)를 넘어서서 삼차의 방정식을 포함하는 대수학에 대한 책을 썼습니다. 오마르 카야얌은 이차 방정식에 대해 산술 및 기하학 해 둘 다를 제공했지만, 그는 일반적인 삼차 방정식(cubic equations)에 대해 기하학적 해를 오직 제공했는데 왜냐하면 그는 산술 해가 불가능하다고 잘못 믿었기 때문입니다. 교차 원뿔곡선을 사용하여 삼차 방정식을 푸는 그의 방법은 메나이크모스(Menaechmus), 아르키메데스(Archimedes) 및 이븐 알-하이샴(Ibn al-Haytham) (Alhazen)에 의해 사용되어 왔지만, 오마르 카야얌은 양의 근을 갖는 모든 삼차 방정식을 포함하는 방법을 일반화했습니다. 그는 오직 양의 근을 고려했었고 그는 삼차를 지나지 않았습니다. 그는 역시 기하학과 대수학 사이의 강력한 관계를 보였습니다.

12세기에서, 샤라프 알-딘 알-천(Sharaf al-Dīn al-Tūsī) (1135–1213)은 Al-Mu'adalat (방정식에 대한 논문)을 썼는데, 이것은 양의 해를 가진 삼차 방정식의 8가지 유형과 양의 해를 갖지 않을 수 있는 삼차 방정식의 5가지 유형을 다루었습니다. 그는 나중에 삼차 방정식의 근(root)을 수치적으로(numerically) 근사하기 위한 "루피니(Ruffini)-호너(Horner) 방법"으로 알려진 것을 사용했습니다. 그는 양의 해를 가지지 않을 수 있는 삼차 방정식을 풀기 위해 곡선의 최대 및 최소(maxima and minima)의 개념을 역시 개발했습니다. 그는 삼차 방정식의 판별식(discriminant)의 중요성을 이해했고 삼차 방정식의 특정 유형에 대한 대수적 해를 찾기 위한 카르다노(Cardano)의 공식의 초기 버전을 사용했습니다. 루쉬디 라시드(Roshdi Rashed)와 같은 일부 학자들은 샤라프 알-딘(Sharaf al-Din)이 삼차 다항식의 도함수(derivative)를 발견했고 그 중요성을 깨달았었다고 주장하고, 반면에 다른 학자들은 유클리드와 아르키메데스의 아이디어에 그의 해를 연결한다고 주장합니다.

샤라프 알-딘은 함수(function)의 개념을 역시 개발했었습니다.
예를 들어 방정식 \(\ x^3 + d = bx^2\)의 그의 해석학에서, 그는 방정식의 형태를 \(\ x^2 (b - x) = d\)로 바꾸는 것으로 시작합니다. 그는 그 다음에 방정식이 해를 갖는지 여부의 질문은 왼쪽 변에 대한 "함수"가 값 \(\ d\)에 도달하는지 여부에 따라 달라진다고 말합니다. 이것을 결정하기 위해, 그는 함수에 대해 최댓값을 찾습니다. 그는 \(x = \frac{2b}{3}\)일 때 최댓값이 발생하고, 함숫값 \(\frac{4b^3}{27}\)을 가지는 것을 증명했습니다. 샤라프 알-딘은 그런 다음 만약 이 값이 \(\ d\)보다 작으면, 양의 해가 없고; 만약 그것이 \(\ d\)와 같으면, \(x = \frac{2b}{3}\)에서 하나의 해가 있고; 만약 그것이 \(\ d\)보다 크면, \(\ 0\)과 \(\frac{2b}{3}\) 사이에 하나의 해 그리고 \(\frac{2b}{3}\)과 \(\ b\) 사이에 하나의 해, 두 개의 해를 가진다고 말했습니다.

15세기 초에서, 잠시드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)는 \(\ N\)의 근을 찾기 위해 방정식 \(\ x^P - N = 0\)을 수치적으로 풀기 위해 뉴턴의 방법(Newton's method)의 초기 방법을 개발했습니다. 알 캐시는 역시 십진 분수(decimal fractions)를 발전시켰고 그것을 스스로 발견한 것이라고 주장했습니다. 어쨌든 존 레나트 베르그그렌(J. Lennart Berggrenn)은 십진 분수는 10 세기 초 바그다드(Baghdad) 수학자 아불 하산 알-유클리디시(Abu'l-Hasan al-Uqlidisi)에 의해 그 이전에 5세기를 사용해 왔기 때문에 그가 실수했다고 지적했습니다.

Al-Hassār, Ibn al-Banna, and al-Qalasadi

12세기 동안 이슬람 상속 법학(Islamic inheritance jurisprudence)에서 전문인, 모로코(Morocco)로부터 수학자 알-하사르(Al-Hassār)는 분수(fractions)에 대해 현대 기호적 수학 표기법(mathematical notation)을 개발했으며, 여기서 분자(numerator)와 분모(denominator)는 수평 막대에 의해 분리됩니다. 이것과 같은 분수적 표기법은 13세기에서 피보나치(Fibonacci)의 연구 직후에 곧 나타났습니다.

아부 알-하산 이븐 알리 알-칼라스사디(Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī) (1412–1486)는 2세기 일찍 이븐 알-바나(Ibn al-Banna) 이래로 대수적 표기법(algebraic notation)을 생성하는 것을 처음으로 시도했던, 마지막 주요 중세 아랍(Arab) 대수학자였으며, 그는 고대 시대에서 디오판토스(Diophantus)와 브라마굽타(Brahmagupta) 이래로 그러한 시도를 한 것은 그 자신이 처음이었습니다. 그의 전임자들의 중략된 표기법은, 어쨌든, 수학적 연산(mathematical operations)에 대해 기호가 부족했습니다. 알-칼라스사디는 "숫자의 위치에 문자를 사용" 그리고 "수학적 기호로, 짧은 아랍어 단어, 또는 단지 그들 첫 문자를 사용함으로써, 대수적 기호주의의 도입을 향한 첫 번째 단계를 수행했습니다."

Europe and the Mediterranean region

히타피아(Hypatia)의 죽음이 수학적 중심지로 알렉산드리아 도서관(Library of Alexandria)의 폐쇄를 신호하는 것처럼, 보에티우스(Boethius)의 죽음은 서양 로마 제국(Western Roman Empire)에서 수학의 끝을 신호합니다. 비록 아테네(Athens)에서 몇 가지 연구가 수행되었을지라도, 529년에 비잔틴(Byzantine) 황제 유스티니아누스(Justinian)가 이교도(pagan) 철학 학교를 폐쇄했을 때 끝장이 났었습니다. 그 529년은 이제 중세 시대의 시작을 가져올 것입니다. 학자들은 서구를 더 친절한 동쪽, 특히 페르시아(Persia)를 향해 끌고 갔는데, 여기서 그들은 국왕 호스로(Chosroes) 아래에서 피난처를 찾았었고 "망명중인 아테네 아카데미"라고 이름 지을 수 있는 것을 설립했습니다. 유스티니아누스와의 조약에 따라, 호로스는 결국 학자들을 동부 제국(Eastern Empire)으로 되돌려 놓았을 것입니다. 암흑 시대 동안, 유럽의 수학은 주로 고대 논문에 대한 논평으로 구성된 수학적 연구와 함께 그의 최하부였습니다; 이 연구의 대부분은 비잔틴 제국(Byzantine Empire)을 중심으로 이루어졌습니다. 중세 시대의 끝은 1453년에 터키(Turks)에 대한 콘스탄티노플(Constantinople)의 몰락으로 향합니다.

Late Middle Ages

12세기는 아랍어(Arabic)에서 라틴어(Latin)로 번역의 홍수(flood of translations)를 보였고 13세기에, 유럽의 수학이 다른 대륙의 수학과 경쟁하기 시작했습니다. 13세기에서, 피보나치(Fibonacci)에 의한 삼차 방정식의 해는 유럽 대수학에서 부흥의 시작을 대표합니다.

15세기 이후 이슬람 세계가 쇠퇴해 감에 따라, 유럽의 세계는 오름세를 타고 있었습니다. 그리고 그것은 대수학이 더 발전되었었다는 것이 여기에 있습니다.

Symbolic algebra

산술 연산에 대해 현대의 표기법은 요하네스 위드만(Johannes Widmann)과 미카엘 스티펠(Michael Stifel)에 의해 15세기 말과 16세기 초 사이에 도입되었습니다. 16세기 말에서, 프랑수아 비에트(François Viète)는 불확정 또는 모르는 숫자를 나타내는 것에 대해, 현재 변수(variables)라고 불리는, 기호를 도입했습니다. 이것은 마치 그들이 숫자인 것처럼 기호적 표현으로 계산으로 구성하는 새로운 대수학을 만들었습니다.

대수학의 발전에 있어 또 다른 중요한 사건은 16세기 중반에 개발된 삼차 및 사차 방정식의 일반적인 대수적 해였습니다. 판별식(determinant)의 아이디어는 행렬(matrices)을 사용한 연립 선형 방정식의 시스템을 해결하는 것의 목적에 대해, 17세기에서 일본의 수학자(Japanese mathematician) 고와 세키(Kowa Seki)에 의해 개발되었고, 십년 후에 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의해 뒤이어졌습니다. 게브리엘 크라메르(Gabriel Cramer)는 18세기에서 행렬과 판별식에 대한 연구도 역시 수행했습니다.

The symbol x

전통적으로, 대수적 문제에서 첫 번째 미지의 변수(variable)는 요즘 기호(symbol) \(\mathit{x}\)에 의해 표시됩니다; 만약 둘 번째 또는 세 번째 미지 변수가 있으면, 이들은 각각 \(\mathit{y}\)와 \(\mathit{z}\)로 레이블화됩니다. 대수적 ''x''는 곱셈 부호와 그것을 구별하기 위해 이탤릭체(italic type)로 전통적으로 인쇄됩니다.

수학적 사학자는 대수학에서 x의 사용이 르네 데카르트(René Descartes)에 의해 도입되었고 그의 논문 La Géométrie (1637)에서 처음 발표되었다고 일반적으로 동의합니다. 그 연구에서, 그는 알려진 양에 대해 알파벳 (a, b, c,...)의 시작으로부터 문자, 미지의 양에 대해 알파벳 (z, y, x,...)의 끝으로부터 문자를 사용했습니다. 그는 나중에 그 시대의 프랑스와 라틴 인쇄상의 폰트에서 상대적으로 더 풍부했기 때문에 첫 번째 미지 변수에 대해 (z의 위치에서) x로 정할 것을 제안했습니다.

대수적 x의 기원의 세 가지 대안 이론이 19세기에 제안되었습니다: (1) 독일 대수학자에 의해 사용되고 x로 잘못된 필기체 문자 r에서 파생된 것으로 생각되는 기호; (2) 경사진 취소선(strikethrough)을 가진 숫자 1; 그리고 (3) 아랍어/스페인어 출처 (아래를 참조하십시오). 그러나 수학의 스위스-미국인 역사학자 플로리언 카호리(Florian Cajori)는 이들을 조사했고 구체적인 증거에서 세 경우 모두 부족함을 발견했습니다; 카호리는 데카르트를 창안자로 인정했고, 그의 x, y, z를 "전통에서 자유롭고[,] 그들의 선택은 순전히 임의적인 것"이라고 묘사했습니다.

그럼에도 불구하고, 히스파노-아랍어 가설은 오늘날 대중 문화(popular culture)에 계속 존재합니다. 그것은 대수적 x는 고대 스페인어에서 아랍어로부터 가정된 차용어(loanword)의 약어라고 주장입니다. 그 이론은 1884년에서 독일 동양주의자(orientalist) 폴 드 라가르드(Paul de Lagarde)와 함께 시작되었는데, 곧 그는 스페인 cosa ("물건")가 아랍어 상당어구, شىء (shayʔ), xei으로 기록되는 것과 함께 쌍을 이루는 1505개의 스페인어/아랍어 이중 언어 용어집의 그의 판을 출판했었습니다. (고대 스페인어(Old Spanish)에서 "sh" 소리는 일상적으로 x로 철자가 새겨집니다.) 분명히 라가르드는 대수학의 개발의 "수사학적" 단계에서 아랍 수학자는 그 단어를 미지 양을 표현하기 위해 종종 사용된 것을 알고 있었습니다. 그는 대수학에서 사용하기 위해 채택되어진–고대 스페인어 x로 로마어로 표기된–아랍어의 머리 글자에 대한 것보다 "어떤 것도 더 자연스럽지 못하다" (Nichts war also natürlicher...)라고 추측했습니다. 그 후의 독자는 라가르드의 추측을 "입증을 받은" 것으로 재해석했습니다. 라가르드는 초기 스페인 수학자들이 아랍 단어의 필사(tgranscription)가 아니라, 자신의 언어에서 번역(translation), "cosa"를 사용했다는 것을 알지 못했습니다. 스페인어의 여러 수집된 역사적 단어에서 xei 또는 비슷한 형태의 예제는 없습니다.

Gottfried Leibniz

비록 함수(function)의 수학적 개념은 당시에 존재했던 삼각함수와 로그 테이블에 함축되어 있었지만, 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)는 1692년과 1694년 사이에서 그것을 명시적으로 사용하고, 가로좌표(abscissa), 세로좌표(ordinate), 접선(tangent), 현(chord) 및 수직(perpendicular)과 같은, 곡선에서 파생된 여러 기하학적 개념 중 하나를 나타내는 것이 처음이었습니다. 18세기에서, "함수"는 이들 기하학적 연관을 잃어버렸습니다.

라이프니츠는 선형 방정식(linear equation) 시스템의 계수가, 만약 있다면, 시스템의 해를 찾기 위해 조작될 수 있는, 지금 행렬(matrix)이라고 불리는, 배열로 배치될 수 있다는 것을 깨달았습니다. 이 방법은 나중에 가우스 소거법(Gaussian elimination)이라고 불려졌습니다. 라이프니츠는 부울 대수(Boolean algebra)를 역시 발견했었고 대수학과 역시 관련된 기호적 논리(symbolic logic)를 발견했습니다.

Abstract algebra

대수학을 할 수 있는 능력은 수학 교육(mathematics education)에서 배양된 기술입니다. 앤드루 워릭(Andrew Warwick)이 설명했듯이, 19세기 초에서 캠브리지 대학(Cambridge University)의 학생들은 공간, 시간 및 무게와 같은 물리적 변수를 기반으로 연습(exercise)을 하는 "혼합 수학"을 연습했습니다. 시간이 지남에 따라 물리학적 양과 함께 변수(variable)의 연관성은 수학적 기법이 성장함에 따라 사라져 갔습니다. 결국 수학은 추상 다항식(polynomial), 복소수(complex number), 초복소수(hypercomplex number) 및 다른 개념에 완전히 관련되어 있었습니다. 물리적 상황에 대한 응용은 그 때는 응용 수학(applied mathematics) 또는 수학적 물리학(mathematical physics)이라고 불리고, 수학의 분야는 추상 대수학(abstract algebra)을 포함하기 위해 확장되었습니다. 예를 들어, 구성 가능한 숫자(constructible number)의 이슈는 수학적 한계를 보여주었고, 갈루아 이론(Galois theory)의 영역이 개발되었습니다.

The father of algebra

헬레니즘(Hellenistic) 수학자 디오판토스(Diophantus)는 전통적으로 "대수학의 아버지"로 알려져 있었지만, 알-콰리즈미(Al-Khwarizmi)가 이 표제를 대신 받을 만한지 여부에 대한 논쟁이 현재 존재합니다. 디오판토스를 지지하는 사람들은 Al-Jabr에서 발견된 대수가 Arithmetica에서 발견된 대수보다 더 초보적이고 그 Arithmetica는 축약적이고 반면에 Al-Jabr는 완전히 수사학적이라는 사실을 지적합니다.

알-콰리즈미를 지지하는 사람들은 그는 양의 근을 가진 이차 방정식의 대수적 해에 대해 철저한 설명을 제공했었고, 초등 형태(elementary form)에서 대수학을 가르치는 것이 처음이었고, 반면에 디오판토스는 주로 숫자의 이론(theory of numbers)에 관련되는 사실을 지적합니다. 알-콰리즈미는 (그가 언급했던 al-jabr에서 독창적으로 용어를 사용했었던) "감소"와 "균형"의 기본 개념을 역시 도입했는데, 빼기된 항을 방정식의 다른 변으로 옮겨 놓은 것을 지칭하며, 즉, 방정식의 반대 변에 대한 동류항을 제거합니다. 알-콰리즈미의 다른 지지자들은 그의 대수학이 "더 이상 해결해야 할 일련의 문제(problem)에 관한 것이 아니라, 그것의 조합에서 원시적 항으로 시작하는 전시(exposition)가 방정식에 대해 모든 가능한 프로토타입을 반드시 제시하며, 이는 이 시간이후 명백하게 진정한 연구 대상을 구성하는 점"을 지적합니다. 그들은 그 자체를 위한 방정식의 취급과 "일반적인 방식에서, 그것이 문제를 해결하는 과정에서 단순히 나타나지는 않는 한, 문제의 무한 클래스를 정의하는 것에 대해 구체적으로 불리는 것"을 역시 지적합니다.

References

External links

 

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