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(번역) Geometric progression

by 다움위키 2024. 2. 16.
Original article: w:Geometric progression

 

수학(mathematics)에서, 기하 수열(geometric sequence)이라고 역시 알려진, 기하 진행(geometric progression)은 숫자(number)의 수열(sequence)이며, 여기서 첫 번째 이후의 각 항은 이전 항에 공통 비율(common ratio)로 불리는, 고정된, 비-영 숫자를 곱함으로써 구해집니다. 예를 들어, 수열 2, 6, 18, 54, ...은 공통 비율 3을 갖는 기하 진행입니다. 비슷하게 10, 5, 2.5, 1.25, ...는 공통 비율 1/2을 갖는 기하 수열입니다.

기하 수열의 예제는, \(2^k\) 및 \(3^k\)와 같은, 고정된 숫자 r의 거듭제곱(powers) \(r^k\)입니다. 기하 수열의 일반적인 형식은 다음입니다:

\(\quad a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots\)

여기서 r ≠ 0은 공통 비율이고 a는 스케일 인수(scale factor)이며, 수열의 시작 값과 같습니다.

Elementary properties

초기 값 a 및 공통 비율 r을 갖는 기하 수열의 n-번째 항은 다음으로 제공됩니다:

\(\quad a_n = a\,r^{n-1}.\)

그러한 기하 수열은 다음 재귀 관계(recursive relation)를 역시 따릅니다:

\(\quad\)모든 각 정수 \(n\geq 1\)에 대해, \(a_n = r\,a_{n-1}\).

일반적으로, 주어진 수열이 기하인지 여부를 확인하기 위해, 우리는 수열에서 연속적인 엔트리가 모두 같은 비율을 갖는지 여부를 단순히 확인합니다.

기하 수열의 공통 비율은 음수일 수 있으며, 양수와 음수 사이의 교대하는 숫자를 갖는, 교대 수열을 결과로써 생성합니다. 예를 들어

\(\quad\)1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

은 공통 비율 −3을 갖는 기하 수열입니다.
기하 수열의 행동은 공통 비율의 값에 따라 다릅니다.

만약 공통 비율이:

(−1, 1 또는 0과 같지 않는 공통 비율을 갖는) 기하 수열은 지수적 증가 또는 지수적 감쇠를 보이며, 대조적으로 (공통 차이 11을 갖는) 4, 15, 26, 37, 48, …과 같은 산술 진행(arithmetic progression)의 선형(linear) 증가 (또는 감쇠)와 대조적입니다. 이 결과는 그의 Principle of Population의 수학적 토대로서, 토머스 로버트 맬서스(T. R. Malthus)에 의해 취해집니다. 진행의 두 종류는 서로 관련이 있음에 주목하십시요: 산술 진행의 각 항의 지수화는 기하 진행을 산출하고, 반면에 양의 공통 비율을 갖는 기하 진행에서 각 항의 로그(logarithm)를 취하면 산술 진행을 산출합니다.

기하 진행의 정의의 흥미로운 결과는, 공통 비율의 임의의 값에 대해, 임의의 세 연속적인 항 a, b 및 c는 다음 방정식을 만족시킬 것이라는 것입니다:

\(\quad b^2=ac\)

여기서 b는 a와 c 사이의 기하 평균(geometric mean)으로 고려됩니다.

Geometric series

기하 급수는 기하 진행에서 숫자의 합(sum)입니다. 예를 들어:

\(\quad\displaystyle 2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 \times 5 + 2 \times 5^2 + 2 \times 5^3. \)

a를 첫 번째 항 (여기서 2), n을 항의 숫자 (여기서 4), 및 r을, 각 항이 다음 항을 얻기 위해 곱해지는 상수 (여기서 5)로 놓으면, 합은 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}\;\).

위의 예제에서, 이것은 다음을 제공합니다:

\(\quad\displaystyle 2 + 10 + 50 + 250 = \frac{2(1-5^4)}{1-5} = \frac{-1248}{-4} = 312.\)

공식은 임의의 실수 a 및 (영으로 나누어지는 결과를 초래하는, r = 1을 제외한) r에 대해 작동합니다. 예를 들어:

\(\quad\displaystyle -2\pi + 4\pi^2 - 8\pi^3 = -2\pi + (-2\pi)^2 + (-2\pi)^3 = \frac{-2\pi(1 - (-2\pi)^3)}{1-(-2\pi)} = \frac{-2\pi(1 + 8\pi^3)}{1+2\pi} \approx -214.855. \)

(아래의) 유도 과정은 a와 r이 실수인 것에 의존하지 않으므로, 그것은 마찬가지로 복소수에 대해 유지됩니다:

Derivation

이 공식을 유도하기 위해, 먼저 일반적인 기하 급수를 다음으로 씁니다:

\(\quad\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}. \)

우리는 위의 방정식 양쪽 변에 1 − r을 곱함으로써 이 합에 대해 더 간단한 공식을 찾을 수 있고, 우리는 다음임을 알 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}
(1-r) \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}) \\
 & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^{n-1} - ar^n \\
 & = a - ar^n
\end{align}\)

왜냐하면 모든 다른 항은 제거되기 때문입니다. 만약 r ≠ 1이면, 우리는 n 항의 합을 계산하는 기하 급수에 대한 편리한 공식을 얻기 위해 위를 다시-정렬할 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.\)

Related formulas

만약 우리가 k = 1로부터 시작하지 않고, 다른 값, 말하자면 m으로 시작하는 합을 구하는 것이면,

\(\quad\displaystyle \sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.\)

여기서 \(r \neq 1\)이고, 만약 \(r = 1\)이면 \(a(n-m+1)\)입니다.

r에 관해 이 공식을 미분(differentiating)하면 다음 형식의 합에 대한 공식에 도달하는 것을 허용합니다:

\(\quad\displaystyle G_s(n, r) := \sum_{k=0}^n k^s r^k.\)

예를 들어:

\(\quad\displaystyle \frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=
\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.\)

r의 오직 짝수 거듭제곱을 포함하는 기하 급수에 대해 \(1-r^2\)을 곱하면:

\(\quad\displaystyle (1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.\)

그런-다음

\(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.\)

동등하게, 공통 비율로 \(r^2\)을 취하고 표준 공식화를 사용하십시오.

r의 오직 홀수 거듭제곱을 갖는 급수에 대해

\(\quad\displaystyle (1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}\)

및

\(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.\)

\(s \in \mathbb{N}\)일 때 일반화된 합 \(G_s(n, r)\)에 대한 정확한 공식은 다음처럼 두 번째 종류의 스털링 숫자(Stirling numbers of the second kind)로 확장됩니다:

Infinite geometric series

무한 기하 급수(infinite geometric series)는 그의 연속적인 항이 공통 비율을 가지는 무한 급수(infinite series)입니다. 그러한 급수가 수렴하는 것과 공통 비율의 절댓값(absolute value)이 일보다 작은 것 (|r| < 1)은 필요충분 조건(if and only if)입니다. 그의 값은, 그런-다음, 무한 합 공식으로부터 계산될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} \)

왜냐하면:

\(\quad\displaystyle  r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| < 1.\)

그런-다음:

\(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}\)

\(r\)의 오직 짝수 거듭제곱을 포함하는 급수에 대해,

\(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}\)

및 오직 홀수 거듭제곱에 대해,

\(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}\)

합이 k = 0에서 시작하지 않는 경우에서,

\(\quad\displaystyle \sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}\).

위에 주어진 공식은 오직 |r| < 1에 대해 유효합니다. 후자의 공식은, r의 노름이 일보다 작은 한, 모든 각 바나흐 대수(Banach algebra)에서 유효하고, 만약 \(|r|_p < 1\)이면, p-진수 숫자(p-adic numbers)의 필드에서 역시 유효합니다. 유한 합의 경우에서 처럼, 우리는 관련된 합에 대한 공식을 계산하기 위해 미분할 수 있습니다.

예를 들어,

\(\quad\displaystyle \frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=1}^\infty kr^{k-1}= \frac{1}{(1-r)^2}\)

이 공식은 마찬가지로 |r| < 1에 대해 오직 작동합니다. 이것으로부터, 그것은 |r| < 1에 대해, 다음임을 따릅니다:

\(\quad\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left( 1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left( 1+4 r + r^2\right)}{\left( 1-r\right)^4}\)

또한, 무한 급수 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯는 절대적으로 수렴하는(converges absolutely) 급수의 기본 예제입니다.

그것은, 첫 번째 항이 1/2이고 공통 비율이 1/2인, 기하 급수(geometric series)이므로, 그의 합은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.\)

위의 급수의 역 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯은 절대적으로 수렴하는 교대 급수(alternating series)의 단순 예제입니다.

그것은, 첫 번째 항이 1/2이고 공통 비율이 −1/2인, 기하 급수(geometric series)이므로, 그의 합은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.\)

Complex numbers

기하 급수에 대한 합계 공식은 심지어 일반 비율이 복소수일 때 유효하게 남습니다. 이 경우에서 r의 절댓값이 1보다 작다는 조건은 r의 모듈러스(modulus)가 1보다 작다는 것으로 됩니다. 일부 비-명백한 기하 급수의 합을 계산하는 것이 가능합니다. 예를 들어, 다음 전제를 생각해 보십시오:

\(\quad\displaystyle  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)} \)

이것의 증명은 다음 사실에서 옵니다:

\(\quad\displaystyle \sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i} , \)

이것은 오일러의 공식(Euler's formula)의 결과입니다. 이것을 원래 급수에 치환하면 다음을 제공합니다:

\(\quad\displaystyle  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right]\).

이것은 두 기하 급수의 차이이고, 그래서 그것은 증명을 완료하는 무한 기하 급수에 대해 공식의 직접적인 응용입니다.

Product

기하 진행의 곱은 모든 항의 곱입니다. 그것은 진행의 첫 번째와 마지막 항의 기하 평균(geometric mean)을 취하고, 그 평균에 주어진 항의 숫자만큼 거듭제곱을 올림으로써 빠르게 계산될 수 있습니다. (이것은 산술 수열(arithmetic sequence)의 항의 합에 대한 공식: 첫 번째와 마지막 항의 산술 평균(arithmetic mean)을 취하고, 항의 숫자를 곱하는 것과 매우 유사합니다.)

두 숫자의 기하 평균이 그들 곱의 제곱근과 같으므로, 기하 진행의 곱은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \prod_{i=0}^{n} ar^i = (\sqrt{a \cdot ar^n})^{n+1} = (\sqrt{a^{2}r^n})^{n+1}\).

(이 공식의 흥미로운 관점은, 비록 그것이 잠재적으로-음의 r의 잠재적으로-홀수 거듭제곱의 제곱근을 취하는 것을 포함할지라도, 그것은 만약 a도 r도 아닌 허수 부분을 가지면 복소수 결과를 생성할 수 없다는 것입니다. 그것은, 반드시 r이 음수이고 n이 홀수이면, 제곱근이 음의 중간 결과를 취하는 것이 가능하고, 후속 중간 결과가 허수가 되는 원인이 됩니다. 어쨌든, 해당 방법에서 형성된 허수 중간은 곧 \(\textstyle n + 1\)의 거듭제곱으로 올려질 것이며, 이것은 n 자체가 홀수이기 때문에 짝수여야 합니다; 따라서, 계산의 최종 결과는 그럴듯하게 홀수일 수 있을 것이지만, 그것은 결코 허수일 수는 없습니다.)

Proof

P는 곱을 나타내는 것으로 놓습니다. 정의에 의해, 우리는 그것을 각 개별 항을 함께 명시적으로 곱함으로써 계산합니다. 전부 쓰면,

\(\quad P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}\).

곱셈을 수행하고, 동류항을 묶으면,

\(\quad P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+(n)}\).

r의 지수는 산술 수열의 합입니다. 해당 계산의 공식을 대체하면,

\(\quad P = a^{n+1} r^\frac{n(n+1)}{2}\),

이것은 표현을 다음으로 단순화할 수 있습니다,

\(\quad P = (ar^\frac{n}{2})^{n+1} = (a\sqrt{r^n})^{n+1}\).

a를 \(\textstyle \sqrt{a^2}\)로 다시-쓰면,

\(\quad P = (\sqrt{a^{2}r^n})^{n+1}\),

이것으로 증명을 마칩니다.

Relationship to geometry and Euclid's work

유클리드(Euclid)의 원론(Elements)의 책 8권 및 9권은 (이의 거듭제곱(powers of two)과 같은, 자세한 것은 해당 기사를 참조하십시오) 기하 진행을 분석하고 그들 속성의 여러 가지를 제공합니다.

See also

References

 

 

 

External links

 

 

 

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