대수학에서, 인수 정리(factor theorem)는 다항식의 인수와 영(zeros)을 연결하는 정리입니다. 인수 정리는 다항식 나머지 정리(polynomial remainder theorem)의 특별한 경우입니다.
인수 정리는 다항식 \(f(x)\)가 인수 \((x - k)\)를 가지는 것과 \(f(k)=0\)인 것 (즉, \(k\)는 근입니다)은 필요충분 조건임을 말합니다.
Factorization of polynomials
인수 정리가 공통적으로 적용되는 두 가지 문제는 다항식을 인수 분해하는 것과 다항식의 근을 찾는 것입니다; 이들 문제가 본질적으로 동등하다는 것이 인수 정리의 직접적인 결과입니다.
인수 정리는 다항식에서 알려진 영(근)을 제거하는 동시에 모든 알려지지 않은 영을 그대로 남기는데, 따라서 영이 더 쉽게 찾아질 수 있는 낮은 차수의 다항식을 생성하는 것에 역시 사용됩니다. 추상적으로, 방법은 다음을 따릅니다:
- 다항식 \(f\)의 영 \(a\)를 "추측하십시오". (일반적으로, 이것은 매우 어려울 수 있지만, 다항 방정식을 푸는 것을 포함하는 수학 교재 문제는 일부 근이 쉽게 발견될 수 있도록 종종 설계됩니다.)
- \((x-a)\)가 \(f(x)\)의 인수임을 결정하기 위해 인수 정리를 사용하십시오.
- 다항식 \( g(x) = f(x) \big/ (x-a) \)를 계산하십시오. 이때, 다항식 긴 나눗셈(polynomial long division) 또는 조립제법(synthetic division) 등을 사용하십시오.
- \(f(x)=0\)의 임의의 근 \(x \neq a\)이 \(g(x)=0\)의 근이라는 결론을 내리십시오. \(g\)의 다항식 차수(polynomial degree)는 \(f\)의 차수보다 작기 때문에, \(g\)를 살펴봄으로써 남은 영을 발견하기 "더 쉽습니다".
Example
다음 다항식의 인수를 구하십시오:
\(\quad\displaystyle x^3 + 7x^2 + 8x + 2.\)
이것을 하기 위해, 표현이 영과 같아지는 첫번째 x 값을 찾기 위해 시행과 오류 (또는 유리 근 이론(rational root theorem))를 사용할 수 있습니다.
\((x - 1)\)이 인수임을 찾기 위해, 위의 다항식에 \(x = 1\)을 대입하십시오:
\(\quad\displaystyle x^3 + 7x^2 + 8x + 2 = (1)^3 + 7(1)^2 + 8(1) + 2\)
\(\quad\displaystyle = 1 + 7 + 8 + 2\)
\(\quad\displaystyle = 18.\)
결과는 18이고 0이 아닙니다. 이것은 \((x - 1)\)가 \(x^3 + 7x^2 + 8x + 2\)의 인수가 아님을 의미합니다. 그래서, 우리는 다음으로 \((x + 1)\)을 시도합니다 (다항식에 \(x = -1\)을 대입하십시오):
\(\quad\displaystyle (-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2.\)
이것은 \(0\)과 같습니다. 그러므로 \(x-(-1)\), 즉, 다시 말해서 \(x+1\)은 인수이고, \(-1\)은 \(x^3 + 7x^2 + 8x + 2\)의 근(root)입니다.
다음의 두 근은 이차를 얻기 위해 \(x^3 + 7x^2 + 8x + 2\)을 \((x+1)\)을 대수적으로 나눔으로써 구해질 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle {x^3 + 7x^2 + 8x + 2 \over x + 1} = x^2 + 6x + 2,\)
그러므로, \((x+1)\)과 \(x^2 + 6x + 2\)은 \(x^3 + 7x^2 + 8x + 2\)의 인수입니다. 이들 이차 인수는 이차 공식(quadratic formula)을 사용하여 더 인수분해가 되고, 공식은 이차의 근 \(-3\pm \sqrt{7}\)을 제공합니다. 따라서 원래 다항식의 세 기약 인수(irreducible factors)는 \(x+1, \) \(x-(-3+\sqrt{7}),\) 및 \(x-(-3-\sqrt{7})\)입니다.
References
- Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2.
- Sehgal, V K; Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
- Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.