미적분학(calculus)에서, 극단 값 정리(extreme value theorem)는, 만약 실수-값 함수(function) \(f\)가 닫힌(closed) 구간 \([a,b]\)에서 연속(continuous)이면, \(f\)는 반드시 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)에 각각 적어도 한 번 도달한다고 말합니다. 즉, 다음을 만족하는 \([a,b]\) 안에 숫자 \(c\)와 \(d\)가 존재합니다:
\(\quad f(c) \ge f(x) \ge f(d)\quad\text{for all }x\in [a,b]\)
관련된 정리는 유계성 정리(the boundedness theorem)이며 이것은 닫힌 간격 [a,b] 안에 연속 함수 f는 해당 구간 위에 유계(bounded)임을 말합니다. 즉, 다음을 만족하는 실수 m과 M이 존재합니다:
\(\quad m < f(x) < M\quad\text{for all }x \in [a,b]\)
극단 값 정리는 유계 함수뿐만 아니라, 그의 최댓값으로 그의 가장-작은 위쪽 경계에 도달하고 그의 최솟값으로 그의 가장-큰 아래 경계를 도달하는 것을 말함으로써 유계성 정리를 강화합니다.
극단 값 정리는 롤의 정리(Rolle's theorem)를 증명하기 위해 사용됩니다. 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 기인한 공식화에서, 이 정리는 비-공(non-empty) 컴팩트 공간(compact space)에서 실수(real)의 부분-집합(subset)으로 연속 함수는 최댓값과 최솟값에 도달함을 말합니다.
History
극단 값 정리는 원래 1830년대에 그의 연구 Function Theory에서 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)에 의해 입증되었지만 그 연구는 1930년까지 출판되지 않은 채 남겨졌습니다. 볼차노의 증명은 닫힌 구간 위에 연속 함수가 유계임을 보이고, 그런-다음 그 함수가 최댓값과 최솟값에 도달함을 보이는 것으로 구성됩니다. 증명 둘 다는 오늘날 볼차노—바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)로 알려진 것을 포함합니다. 그 결과는 1860년에 바이어슈트라스에 의해 나중에 발견되었습니다.
Functions to which the theorem does not apply
다음 예제는 정리에 대해 적용하기 위해 함수 도메인이 반드시 닫힌 및 경계진 것인지 이유를 보여줍니다. 각각은 주어진 구간 위에 최대에 도달하는 것에 실패합니다.
- \([0, \infty)\)에 걸쳐 정의된 \(f(x)=x \)는 위로부터 유계가 아닙니다.
- \([0, \infty)\)에 걸쳐 정의된 \(f(x)= \frac{x}{1+x} \)는 유계이지만 그의 가장-작은 위쪽 경계 \(1\)에 도달하지 못합니다.
- \((0,1]\)에 걸쳐 정의된 \(f(x)= \frac{1}{x}\)는 위로부터 유계가 아닙니다.
- \((0,1]\)에 걸쳐 정의된 \(f(x) = 1-x\)는 유계이지만 그의 가장-작은 위쪽 경계 \(1\)에 결코 도달하지 못합니다.
마지막 두 예제에서 \(f(0)=0\)을 정의하는 것은 두 정리가 \([a,b]\) 위에 연속성을 요구함을 보입니다.
Generalization to metric and topological spaces
실수 직선 \(\mathbb{R}\)에서 메트릭 공간(metric spaces) 및 일반적인 토폴로지적 공간(topological spaces)으로 이동할 때, 닫힌 경계진 구간의 적절한 일반화는 컴팩트 집합(compact set)입니다. 집합 \(K\)는 다음 속성을 가지면 컴팩트인 것으로 말합니다: \(\bigcup U_\alpha \supset K\)를 만족하는 열린 집합(open sets) \(U_\alpha\)의 모든 각 모음으로부터, 유한 부분-모음 \(U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\)가 \(\bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i} \supset K\)를 만족하도록 선택될 수 있습니다. 이것은 하이네–보렐 속성(Heine–Borel property)으로 불리고, 그것은 보통 짧게 "\(K\)의 모든 각 열린 덮개는 유한 부분-덮개를 가집니다"로 말합니다. 하이네–보렐 정리(Heine–Borel theorem)는 실수 직선의 부분-집합이 컴팩트인 것과 그것이 닫힌 및 경계진 둘 다인 것은 필요충분 조건이라고 주장합니다.
연속 함수의 개념은 마찬가지로 일반화될 수 있습니다. 토폴로지적 공간 \(V,\ W\)이 주어지면, 함수 \(f:V\to W\)는, 만약 모든 각 열린 집합 \(U\subset W\)에 대해, \(f^{-1}(U)\subset V\)가 역시 열린 것이면 연속이라고 말합니다. 이들 정의가 주어지면, 연속 함수는 컴팩트성을 보존하기 위해 보일 수 있습니다:
정리. 만약 \(V,\ W\)가 토폴로지적 공간, \(f:V\to W\)는 연속 함수이고, \(K\subset V\)가 컴팩트이면, \(f(K)\subset W\)는 역시 컴팩트입니다.
특히, 만약 \(W=\mathbb{R}\)이면, 이 정리는 \(f(K)\)가 임의의 컴팩트 집합 \(K\)에 대해 닫힌 및 경계짐을 의미하고, 차례로 \(f\)는 임의의 (비-빈) 컴팩트 집합 \(K\) 위에 그의 상한(supremum) 및 하한(infimum)에 도달함을 의미합니다.
정리. 만약 \(K\)가 컴팩트 집합이고 \(f:K\to \mathbb{R}\)이 연속 함수이면, \(f\)는 닫힌 것이고 \(f(p)=\sup_{x\in K} f(x)\) 및 \(f(q) = \inf_{x\in K} f(x)\)를 만족하는 \(p,q\in K\)가 존재합니다.
약간 더 일반적으로, 이것은 위쪽 반-연속 함수에 대해 역시 참입니다. (compact space#Functions and compact spaces을 참조하십시오).
Proving the theorems
우리는 위쪽 경계(upper bound)와 f의 최대에 대한 증명을 찾습니다. 이들 결과를 함수 –f에 적용함으로써, 아래 경계의 존재와 f의 최소에 대한 결과가 따릅니다. 역시 증명에서 모든 것은 실수(real numbers)의 문맥 아내에서 행해집니다.
우리는 먼저 유계성 정리를 입증하며, 이것은 극단 값 정리의 증명에서 한 단계입니다. 극단 값 정리의 증명에서 포함된 기본 단계는 다음입니다:
- 유계성 정리를 입증합니다.
- 그의 이미지(image)가 f의 상한(supremum)에 수렴하도록 하나의 수열을 찾습니다.
- 도메인(domain)에서 한 점에 수렴하는 부분-수열(subsequence)이 존재함을 보입니다.
- 부분-수열의 이미지가 상한에 수렴하는 것을 보이기 위해 연속성을 사용합니다.
Proof of the boundedness theorem
명제 만약 \(f(x)\)가 \([a,b]\) 위에 연속이면, 그것은 \([a,b]\) 위에 경계진 것입니다.
함수 \(f\)는 구간 \([a,b]\) 위에 위로 경계지지 않은 것으로 가정합니다. 그런-다음, 모든 각 자연수 \(n\)에 대해, \(f(x_n)>n\)을 만족하는 \(x_n \in [a,b]\)가 존재합니다. 이것은 수열(sequence) \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\)을 정의합니다. \([a,b]\)가 경계진 것이기 때문에, 볼차노—바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)는 \(({x_n})\)의 수렴하는 부분-수열 \((x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}\)이 존재함을 암시합니다. 그의 극한을 \(x\)로 나타냅니다. \([a,b]\)는 닫혀진 것이므로, 그것은 \(x\)를 포함합니다. \(f\)가 \(x\)에서 연속이기 때문에, 우리는 \(f(x_{{n}_{k}})\)가 실수 \(f(x)\)에 수렴함을 아는데 왜냐하면 \(f\)는 \(x\)에서 수열적으로 연속(sequentially continuous)이기 때문입니다. 그러나 모든 각 \(k\)에 대해 \(f(x_{{n}_{k}}) > n_k \geq k \)이며, 이것은 \(f(x_{{n}_{k}})\)가 \(+ \infty \)로 발산함을 암시하며, 모순입니다. 그러므로, \(f\)는 \([a,b]\) 위에 위로 경계진 것입니다. ∎
Alternative proof
명제 만약 \(f(x)\)가 \([a,b]\) 위에 연속이면, 그것은 \([a,b]\) 위에 경계진 것입니다.
증명 \(f(x)\)가 \([a,x]\) 위에 경계진 것을 만족하는 \([a,b]\) 안에 점 \(x\)의 집합 \(B\)를 생각해 보십시오. 우리는 \(a\)가, \(f(x)\)가 값 \(f(a)\)에 의해 \([a,a]\) 위에 경계진 것에 대해, 하나의 그런 점임을 주목합니다. 만약 \(e > a\)가 또 다른 점이면, \(a\)와 \(e\) 사이의 모든 점은 역시 \(B\)에 속합니다. 달리 말해서, \(B\)는 \(a\)에 의해 그의 왼쪽 끝에서 닫힌 구간입니다.
이제 \(f\)는 \(a\)에서 오른쪽 위에 연속이므로, \([a,a+\delta]\) 안에 모든 \(x\)에 대해 \(|f(x) - f(a)| < 1\)를 만족하는 \(\delta>0\)가 존재합니다. 따라서 \(f\)는 모든 이들 점이 \(B\)에 속하도록 구간 \([a,a+\delta]\) 위에 \(f(a) - 1\) 및 \(f(a)+1\)에 의해 경계집니다.
지금까지, 우리는 \(B\)가 \(a\)에 의해 그의 왼쪽 끝에서 닫힌, 비-영 길이의 구간임을 알고 있습니다.
다음으로, \(B\)는 \(b\)에 의해 위로 경계집니다. 그러므로 집합 \(B\)는 \([a,b]\)에서 상한을 가집니다; 우리는 그것을 \(s\)로 부를 것입니다. \(B\)의 비-영 길이로부터, 우리는 \(s > a\)임을 추론할 수 있습니다.
\(s<b\)를 가정합니다. 이제 \(f\)는 \(s\)에서 연속이므로, \([s-\delta,s+\delta]\) 안의 모든 \(x\)에 대해 \(f\)가 이 구간에서 경계지도록 \(|f(x) - f(s)| < 1\)를 만족하는 \(\delta>0\)가 존재합니다. 그러나 그것은 \(B\)에 속하는 한 점이 존재하며, 말하자면 \(e\), 이것은 \(s-\delta/2\) 보다 더 큰 것인 \(s\)의 상한으로부터 따릅니다. 따라서 \(f\)는 \([a,e]\) 위에 경계지며 이것은 \(f\)가 \([a,s+\delta]\) 위에 경계지도록 \([s-\delta,s+\delta]\)을 겹칩니다. 이것은 어쨌든 \(s\)의 상한에 모순됩니다.
우리는 그러므로 반드시 \(s=b\)를 가져야 합니다. 이제 \(f\)는 \(s\)에서 왼쪽 위에 연속이므로, \([s-\delta,s]\) 안의 모든 \(x\)에 대해 \(f\)가 이 구간 위에 경계지도록 \(|f(x) - f(s)| < 1\)를 만족하는 \(\delta>0\)가 존재합니다. 그러나 그것은 \(B\)에 속하는 한 점이 존재하며, 말하자면 \(e\), 이것은 \(s-\delta/2\) 보다 더 큰 것인 \(s\)이 상한으로부터 따릅니다. 따라서 \(f\)는 \([a,e]\) 위에 경계지며 이것은 \(f\)가 \([a,s]\) 위에 경계지도록 \([s-\delta,s]\)을 겹칩니다. ∎
Proof of the extreme value theorem
경계성 정리에 의해, f는 위에서부터 경계지므로, 실수의 데데킨트-완비성에 의해, f의 가장-작은 위쪽 경계 (상한) M이 존재합니다. 그것은 M = f(d)를 만족하는 [a,b] 안에 점 d를 찾는 것이 필요합니다. n을 자연수로 놓습니다. M이 가장-작은 위쪽 경계이므로, M – 1/n은 f에 대해 위쪽 경계가 아닙니다. 그러므로, \(M-1/n < f(d_n)\)이 되도록 [a,b] 안에 \(d_n\)이 존재합니다. 이것은 수열 \(\{d_n\}\)을 정의합니다. M이 f에 대해 위쪽 경계이므로, 우리는 모든 n에 대해 \(M-1/n < f(d_n) \le M + 1/n\)를 가집니다. 그러므로, 수열 {f(dn)}은 M에 수렴합니다.
볼차노—바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)는 우리에게 부분-수열 {\(d_{n_k}\)}이 존재하며, 이것은 어떤 d에 수렴하고, [a,b]가 닫힌 것이므로, d는 [a,b] 안에 있음을 말합니다. f는 d에서 연속이므로, 수열 \(\{f(d_{n_k})\}\)는 f(d)에 수렴합니다. 그러나 \(\{f(d_{N_k})\}\)는 M에 수렴하는 \(\{f(d_n)\}\)의 부분-수열이므로, M = f(d)입니다. 그러므로, f는 d에서 그의 상한 M에 도달합니다. ∎
Alternative proof of the extreme value theorem
집합 {y ∈ R : y = f(x), 일부 x ∈ [a,b]에 대해}는 경계진 집합입니다. 그러므로, 그의 가장-작은 위쪽 경계(least upper bound)는 실수의 가장-작은 위쪽 경계 속성(least upper bound property)에 의해 존재합니다. [a, b] 위에 M = sup(f(x))라고 놓습니다. 만약 f(x) = M가 되도록 [a, b] 안에 점 x가 없으면, [a, b] 위에 f(x) < M입니다. 그러므로, 1/(M − f(x))은 [a, b] 위에 연속입니다.
어쨌든, 모든 각 양수 ε에 대해, M − f(x) < ε을 만족하는 [a, b] 안에 어떤 x가 항상 존재하는데 왜냐하면 M은 가장-낮은 위쪽 경계이기 때문입니다. 따라서, 1/(M − f(x)) > 1/ε이며, 이것은 1/(M − f(x))가 경계지지 않음을 의미합니다. [a, b] 위에 모든 각 연속 함수는 경계지므로, 이것은 1/(M − f(x))가 [a, b] 위에 연속이었던 결론에 모순됩니다. 그러므로, f(x) = M을 만족하는 [a, b] 안에 점 x가 틀림없이 있습니다. ∎
Proof using the hyperreals
비-표준 미적분학(non-standard calculus)의 설정에서, N 을 무한 초정수(hyperinteger)로 놓습니다. 구간 [0, 1]는 자연스러운 초실수 확장을 가집니다. 그의 분할을, i가 0에서 N으로 "갈 때" 분할 점 xi = i /N와 함께 무한소(infinitesimal) 길이 1/N의 N 부분-구간으로 생각해 보십시오. 함수 ƒ 는 0과 1 사이의 초실수 위에 정의된 함수 ƒ*로 역시 자연스럽게 확장됩니다. 표준 설정에서 (N 이 유한일 때), ƒ의 최대한의 값을 갖는 한 점은, 귀납법에 의해, N+1 점 xi 사이에 항상 선택될 수 있음을 주목하십시오. 그러므로, 전달 원리(transfer principle)에 의해, 모든 i = 0, …, N에 대해 0 ≤ i0 ≤ N 및 \(f^*(x_{i_0})\geq f^*(x_i)\)을 만족하는 초정수 i0가 있습니다. 다음 실수 점을 생각해 보십시오:
\(\quad c = \mathbf{st}(x_{i_0})\)
여기서 st는 표준 부분 함수(standard part function)입니다. 임의의 실수 점 x는, \(\mathbf{st}(x_i)=x\)가 되도록 분할의 적당한 부분-구간, 즉 \(x\in [x_i,x_{i+1}]\) 안에 놓입니다. st를 부등식 \(f^*(x_{i_0})\geq f^*(x_i)\)에 적용하면, 우리는 \(\mathbf{st}(f^*(x_{i_0}))\geq \mathbf{st}(f^*(x_i))\)를 얻습니다. ƒ 의 연속성에 의해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad \mathbf{st}(f^*(x_{i_0}))= f(\mathbf{st}(x_{i_0}))=f(c)\).
그러므로 ƒ(c) ≥ ƒ(x)이며, 모든 실수 x에 대해, c가 ƒ의 최댓값임을 입증합니다.
Proof from first principles
명제 만약 \(f(x)\)가 \([a,b]\) 위에 연속이면, 그것은 \([a,b]\) 위에 그의 상한에 도달합니다.
증명 경계성 정리에 의해, \(f(x)\)는 \([a,b]\) 위에 위로 경계지고 실수의 완비성 속성에 의해 \([a,b]\) 안에 상한을 가집니다. 우리는 그것을 \(M\), 또는 \(M[a,b]\)으로 부릅니다. 그것은 \(f\)를 부분-구간 \([a,x]\)로 제한하는 것, 여기서 \(x\le b\)는 상한 \(M[a,x]\)을 가지며 이것은 \(M\)과 작거나 같은 것이 분명하고, \(M[a,x]\)은 \(f(a)\)에서 \(M\)까지 증가인데 왜냐하면 \(x\)는 \(a\)에서 \(b\)까지 증가하기 때문임은 분명합니다.
만약 \(f(a)=M\)이면 우리는 다 했습니다. 그러므로 \(f(a)<M\)임을 가정하고 \(d=M-f(a)\)로 놓습니다. \(M[a,x]< M\)을 만족하는 \([a,b]\) 안의 점 \(x\)의 집합 \(L\)을 생각해 보십시오.
분명하게 \(a\in L\)입니다; 게다가 만약 \(e>a\)이 \(L\) 안의 또 다른 점이면 \(a\)와 \(e\) 사이의 모든 점은 \(L\)에 역시 속하는데 왜냐하면 \(M[a,x]\)은 단조적 증가이기 때문입니다. 그러므로 \(L\)은 \(a\)에 의해 그의 왼쪽 끝에서 닫힌, 비-빈 구간입니다.
이제 \(f\)는 \(a\)에서 오른쪽 위에 연속이므로, \([a,a+\delta]\) 안에 모든 \(x\)에 대해 \(|f(x)-f(a)| < d/2\)을 만족하는 \(\delta>0\)이 존재합니다. 따라서 \(f\)는 모든 이들 점이 \(L\)에 속하도록 구간 \([a,a+\delta]\) 위에 \(M-d/2\)보다 작습니다.
다음으로, \(L\)은 \(b\)에 의해 이로 경계지고 그러므로 \([a,b]\) 안에 상한입니다: 우리는 그것을 \(s\)로 부를 것입니다. 우리는 위의 것으로부터 \(s > a\)임을 알고 있습니다. 우리는 \(s\)가 우리가 찾는 그 점, 즉, \(f\)가 그의 상한에 도달하는 그 점인 것, 또는 달리 말해서 \(f(s)=M\)임을 보일 것입니다.
그 반대 즉, \(f(s)<M\)임을 가정합니다. \(d=M-f(s)\)로 놓고 다음 두 경우를 생각해 보십시오:
(1) \(s<b\). \(f\)가 \(s\)에서 연속이기 때문에, \([s-\delta,s+\delta]\) 안에 모든 \(x\)에 대해 \(|f(x)-f(s)| < d/2\)를 만족하는 \(\delta>0\)가 존재합니다. 이것은 \(f\)가 구간 \([s-\delta,s+\delta]\) 위에 \(M-d/2\)보다 작음을 의미합니다. 그러나 그것은 \(s-\delta\)보다 더 큰 \(L\)에 속하는, 한 점, 말하자면 \(e\)가 존재하는 \(s\)의 상한으로부터 따릅니다. \(L\)의 정의에 의해, \(M[a,e]< M\)입니다. \(d_1=M-M[a,e]\)로 놓으면 \([a,e]\) 안의 모든 \(x\)에 대해 \(f(x)\le M-d_1\)입니다. \(d_2\)를 \(d/2\)와 \(d_1\)의 최솟값이 되는 것을 취하면, 우리는 \([a,s+\delta]\) 안의 모든 \(x\)에 대해 \(f(x)\le M-d_2\)를 가집니다.
그러므로 \(s+\delta \in L\)가 되도록 \(M[a,s+\delta]<M\)입니다. 이것은 어쨌든 \(s\)의 상한에 모순이고 증명을 완료합니다.
(2) \(s=b\) \(f\)가 \(s\)에서 왼쪽 위에 연속이기 때문에, \([s-\delta,s]\) 안에 모든 \(x\)에 대해 \(|f(x)-f(s)| < d/2\)를 만족하는 \(\delta>0\)가 존재합니다. 이것은 \(f\)가 구간 \([s-\delta,s]\) 위에 \(M-d/2\) 보다 작음을 의미합니다. 그러나 그것은 \(s-\delta\) 보다 더 큰 \(L\)에 속하는 한 점, 말하자면 \(e\)가 존재하는 \(s\)의 상한으로부터 따릅니다. \(L\)의 정의에 의해, \(M[a,e]< M\)입니다. \(d_1=M-M[a,e]\)로 놓으면 \([a,e]\) 안의 모든 \(x\)에 대해 \(f(x)\le M-d_1\)입니다. \(d_2\)를 \(d/2\)와 \(d_1\)의 최솟값이 되는 것을 취하면, 우리는 \([a,b]\) 안에 모든 \(x\)에 대해 \(f(x)\le M-d_2\)를 가집니다. 이것은 \(M\)의 상한에 모순이고 증명을 완료합니다. ∎
Extension to semi-continuous functions
만약 함수 f의 연속성이 반-연속성(semi-continuity)으로 약해지면, 경계성 정리의 대응하는 절반과 극단 값 정리가 유지되고 확장된 실수 직선(extended real number line)으로부터, 각각, 값 –∞ 또는 + ∞은 가능한 값으로 허용될 수 있습니다. 보다 정확하게:
경계 정리 및 극단 값 정리 및 값 –∞ 또는 + ∞의 해당 절반을 가능한 한 허용할 수 있습니다. 가치. 더 정확하게:
정리: 만약 함수 f : [a,b] → [–∞,∞)가 위쪽 반-연속, [a,b] 안의 모든 x에 대해 다음임을 의미하면,
\(\quad\displaystyle \limsup_{y\to x} f(y)\le f(x)\)
f는 위로 경계지고 그의 상한에 도달합니다.
증명: 만약 [a,b] 안에 모든 x에 대해 f(x) = –∞이면, 상한은 역시 –∞이고 정리는 참입니다. 모든 다른 경우에서, 증명은 위에 주어진 증명의 약간 수정입니다. 경계성 정리의 증명에서, x에서 f의 위쪽 반-연속성은 부분-수열 \(\{f(x_{n_k})\}\)의 극한 상부(limit superior)는 f(x) < ∞에 의해 위로 경계지지만, 모순을 획득하기에 충분한 것임을 오직 암시합니다. 극단 값 정리의 증명에서, d에서 f의 위쪽 반-연속성은 부분-수열 \(\{f(d_{n_k})\}\)의 극한 상부는 f(d)에 의해 위로 경계짐을 의미하지만, 이것은 f(d) = M임을 결론을 내리기에 충분합니다. ∎
이 결과를 −f에 적용하면 다음을 입증합니다:
정리: 만약 함수 f : [a,b] → (–∞,∞]가 아래 반-연속, [a,b] 안의 모든 x에 대해 다음임을 의미하면:
\(\quad\displaystyle \liminf_{y\to x} f(y)\ge f(x)\)
f는 아래 경계지고 그의 하한(infimum)에 도달합니다.
실수-값 함수는 위쪽과 마찬가지로 아래 반-연속인 것은 그것이 보통 의미에서 연속인 것과 필요충분 조건입니다. 그러므로, 이들 두 정리는 경계성 정리와 극단 값 정리를 암시합니다.
Further reading
- Adams, Robert A. (1995). Calculus : A Complete Course. Reading: Addison-Wesley. pp. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
- Protter, M. H.; Morrey, C. B. (1977). "The Boundedness and Extreme–Value Theorems". A First Course in Real Analysis. New York: Springer. pp. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.
External links
- A Proof for extreme value theorem at cut-the-knot
- "Boundedness Theorem". PlanetMath.
- "Extreme Value Theorem". PlanetMath.
- Extreme Value Theorem by Jacqueline Wandzura with additional contributions by Stephen Wandzura, the Wolfram Demonstrations Project.
- Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem". MathWorld.
- Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15
