미적분학(calculus)에서, 극단 값 정리(extreme value theorem)는, 만약 실수-값 함수(function)
관련된 정리는 유계성 정리(the boundedness theorem)이며 이것은 닫힌 간격 [a,b] 안에 연속 함수 f는 해당 구간 위에 유계(bounded)임을 말합니다. 즉, 다음을 만족하는 실수 m과 M이 존재합니다:
극단 값 정리는 유계 함수뿐만 아니라, 그의 최댓값으로 그의 가장-작은 위쪽 경계에 도달하고 그의 최솟값으로 그의 가장-큰 아래 경계를 도달하는 것을 말함으로써 유계성 정리를 강화합니다.
극단 값 정리는 롤의 정리(Rolle's theorem)를 증명하기 위해 사용됩니다. 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 기인한 공식화에서, 이 정리는 비-공(non-empty) 컴팩트 공간(compact space)에서 실수(real)의 부분-집합(subset)으로 연속 함수는 최댓값과 최솟값에 도달함을 말합니다.
History
극단 값 정리는 원래 1830년대에 그의 연구 Function Theory에서 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)에 의해 입증되었지만 그 연구는 1930년까지 출판되지 않은 채 남겨졌습니다. 볼차노의 증명은 닫힌 구간 위에 연속 함수가 유계임을 보이고, 그런-다음 그 함수가 최댓값과 최솟값에 도달함을 보이는 것으로 구성됩니다. 증명 둘 다는 오늘날 볼차노—바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)로 알려진 것을 포함합니다. 그 결과는 1860년에 바이어슈트라스에 의해 나중에 발견되었습니다.
Functions to which the theorem does not apply
다음 예제는 정리에 대해 적용하기 위해 함수 도메인이 반드시 닫힌 및 경계진 것인지 이유를 보여줍니다. 각각은 주어진 구간 위에 최대에 도달하는 것에 실패합니다.
에 걸쳐 정의된 는 위로부터 유계가 아닙니다. 에 걸쳐 정의된 는 유계이지만 그의 가장-작은 위쪽 경계 에 도달하지 못합니다. 에 걸쳐 정의된 는 위로부터 유계가 아닙니다. 에 걸쳐 정의된 는 유계이지만 그의 가장-작은 위쪽 경계 에 결코 도달하지 못합니다.
마지막 두 예제에서
Generalization to metric and topological spaces
실수 직선
연속 함수의 개념은 마찬가지로 일반화될 수 있습니다. 토폴로지적 공간
정리. 만약
특히, 만약
정리. 만약
약간 더 일반적으로, 이것은 위쪽 반-연속 함수에 대해 역시 참입니다. (compact space#Functions and compact spaces을 참조하십시오).
Proving the theorems
우리는 위쪽 경계(upper bound)와 f의 최대에 대한 증명을 찾습니다. 이들 결과를 함수 –f에 적용함으로써, 아래 경계의 존재와 f의 최소에 대한 결과가 따릅니다. 역시 증명에서 모든 것은 실수(real numbers)의 문맥 아내에서 행해집니다.
우리는 먼저 유계성 정리를 입증하며, 이것은 극단 값 정리의 증명에서 한 단계입니다. 극단 값 정리의 증명에서 포함된 기본 단계는 다음입니다:
- 유계성 정리를 입증합니다.
- 그의 이미지(image)가 f의 상한(supremum)에 수렴하도록 하나의 수열을 찾습니다.
- 도메인(domain)에서 한 점에 수렴하는 부분-수열(subsequence)이 존재함을 보입니다.
- 부분-수열의 이미지가 상한에 수렴하는 것을 보이기 위해 연속성을 사용합니다.
Proof of the boundedness theorem
명제 만약
함수
Alternative proof
명제 만약
증명
이제
지금까지, 우리는
다음으로,
우리는 그러므로 반드시
Proof of the extreme value theorem
경계성 정리에 의해, f는 위에서부터 경계지므로, 실수의 데데킨트-완비성에 의해, f의 가장-작은 위쪽 경계 (상한) M이 존재합니다. 그것은 M = f(d)를 만족하는 [a,b] 안에 점 d를 찾는 것이 필요합니다. n을 자연수로 놓습니다. M이 가장-작은 위쪽 경계이므로, M – 1/n은 f에 대해 위쪽 경계가 아닙니다. 그러므로,
볼차노—바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)는 우리에게 부분-수열 {
Alternative proof of the extreme value theorem
집합 {y ∈ R : y = f(x), 일부 x ∈ [a,b]에 대해}는 경계진 집합입니다. 그러므로, 그의 가장-작은 위쪽 경계(least upper bound)는 실수의 가장-작은 위쪽 경계 속성(least upper bound property)에 의해 존재합니다. [a, b] 위에 M = sup(f(x))라고 놓습니다. 만약 f(x) = M가 되도록 [a, b] 안에 점 x가 없으면, [a, b] 위에 f(x) < M입니다. 그러므로, 1/(M − f(x))은 [a, b] 위에 연속입니다.
어쨌든, 모든 각 양수 ε에 대해, M − f(x) < ε을 만족하는 [a, b] 안에 어떤 x가 항상 존재하는데 왜냐하면 M은 가장-낮은 위쪽 경계이기 때문입니다. 따라서, 1/(M − f(x)) > 1/ε이며, 이것은 1/(M − f(x))가 경계지지 않음을 의미합니다. [a, b] 위에 모든 각 연속 함수는 경계지므로, 이것은 1/(M − f(x))가 [a, b] 위에 연속이었던 결론에 모순됩니다. 그러므로, f(x) = M을 만족하는 [a, b] 안에 점 x가 틀림없이 있습니다. ∎
Proof using the hyperreals
비-표준 미적분학(non-standard calculus)의 설정에서, N 을 무한 초정수(hyperinteger)로 놓습니다. 구간 [0, 1]는 자연스러운 초실수 확장을 가집니다. 그의 분할을, i가 0에서 N으로 "갈 때" 분할 점 xi = i /N와 함께 무한소(infinitesimal) 길이 1/N의 N 부분-구간으로 생각해 보십시오. 함수 ƒ 는 0과 1 사이의 초실수 위에 정의된 함수 ƒ*로 역시 자연스럽게 확장됩니다. 표준 설정에서 (N 이 유한일 때), ƒ의 최대한의 값을 갖는 한 점은, 귀납법에 의해, N+1 점 xi 사이에 항상 선택될 수 있음을 주목하십시오. 그러므로, 전달 원리(transfer principle)에 의해, 모든 i = 0, …, N에 대해 0 ≤ i0 ≤ N 및
여기서 st는 표준 부분 함수(standard part function)입니다. 임의의 실수 점 x는,
그러므로 ƒ(c) ≥ ƒ(x)이며, 모든 실수 x에 대해, c가 ƒ의 최댓값임을 입증합니다.
Proof from first principles
명제 만약
증명 경계성 정리에 의해,
만약
분명하게
이제
다음으로,
그 반대 즉,
(1)
그러므로
(2)
Extension to semi-continuous functions
만약 함수 f의 연속성이 반-연속성(semi-continuity)으로 약해지면, 경계성 정리의 대응하는 절반과 극단 값 정리가 유지되고 확장된 실수 직선(extended real number line)으로부터, 각각, 값 –∞ 또는 + ∞은 가능한 값으로 허용될 수 있습니다. 보다 정확하게:
경계 정리 및 극단 값 정리 및 값 –∞ 또는 + ∞의 해당 절반을 가능한 한 허용할 수 있습니다. 가치. 더 정확하게:
정리: 만약 함수 f : [a,b] → [–∞,∞)가 위쪽 반-연속, [a,b] 안의 모든 x에 대해 다음임을 의미하면,
f는 위로 경계지고 그의 상한에 도달합니다.
증명: 만약 [a,b] 안에 모든 x에 대해 f(x) = –∞이면, 상한은 역시 –∞이고 정리는 참입니다. 모든 다른 경우에서, 증명은 위에 주어진 증명의 약간 수정입니다. 경계성 정리의 증명에서, x에서 f의 위쪽 반-연속성은 부분-수열
이 결과를 −f에 적용하면 다음을 입증합니다:
정리: 만약 함수 f : [a,b] → (–∞,∞]가 아래 반-연속, [a,b] 안의 모든 x에 대해 다음임을 의미하면:
f는 아래 경계지고 그의 하한(infimum)에 도달합니다.
실수-값 함수는 위쪽과 마찬가지로 아래 반-연속인 것은 그것이 보통 의미에서 연속인 것과 필요충분 조건입니다. 그러므로, 이들 두 정리는 경계성 정리와 극단 값 정리를 암시합니다.
Further reading
- Adams, Robert A. (1995). Calculus : A Complete Course. Reading: Addison-Wesley. pp. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
- Protter, M. H.; Morrey, C. B. (1977). "The Boundedness and Extreme–Value Theorems". A First Course in Real Analysis. New York: Springer. pp. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.
External links
- A Proof for extreme value theorem at cut-the-knot
- "Boundedness Theorem". PlanetMath.
- "Extreme Value Theorem". PlanetMath.
- Extreme Value Theorem by Jacqueline Wandzura with additional contributions by Stephen Wandzura, the Wolfram Demonstrations Project.
- Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem". MathWorld.
- Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15