수학(mathematics)에서, 기본 행렬(elementary matrix)은 단일 기본 행 연산에 의해 항등 행렬(identity matrix)과 다른 행렬(matrix)입니다. 기본 행렬은 F가 필드일 때 일반 선형 그룹(general linear group) \(\text{GL}_n(\mathbf{F})\)을 생성합니다. 기본 행렬에 의한 왼쪽 곱셈 (전-곱셈)은 기본 행 연산(elementary row operations)을 나타내고, 반면에 오른쪽 곱셈 (후-곱셈)은 기본 열 연산(elementary column operations)을 나타냅니다.
기본 행 연산은 가우스 소거법(Gaussian elimination)에서 행렬을 행 사다리꼴 형식(row echelon form)으로 줄이기 위해 사용됩니다. 그것들은 역시 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination)에서 행렬을 감소된 행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)으로 더 줄이기 위해 사용됩니다.
Elementary row operations
세 가지 유형의 행 연산 (각각 열 연산)에 해당하는 세 가지 유형의 기본 행렬이 있습니다:
- Row switching
- 행렬 내의 행은 또 다른 행으로 전환될 수 있습니다.
- \(R_i \leftrightarrow R_j\)
- Row multiplication
- 행에서 각 원소에 비-영 상수를 곱할 수 있습니다. 그것은 역시 행 스케일링(scaling)으로 알려져 있습니다.
- \(kR_i \rightarrow R_i,\ \mbox{where } k \neq 0\)
- Row addition
- 행은 해당 행과 또 다른 행의 배수의 합으로 대체될 수 있습니다.
- \(R_i + kR_j \rightarrow R_i, \mbox{where } i \neq j \)
만약 E가, 아래에서 설명하는 바와 같이, 행렬 A에 기본 행 연산을 적용하기 위한 기본 행렬이면, A의 왼쪽 편에 기본 행렬을 곱하여 EA입니다. 임의의 행 연산에 대해 기본 행렬은 단위 행렬(identity matrix)에 대한 연산을 실행함으로써 얻어집니다. 이 사실은 행렬의 카테고리에 적용된 요네다 보조정리(Yoneda lemma)의 사례로 이해될 수 있습니다.
Row-switching transformations
행렬 A에 대한 첫 번째 유형의 행 연산은 행 i의 모든 행렬 원소를 행 j의 그것들의 짝과 전환합니다. 대응하는 기본 행렬은 단위 행렬(identity matrix)의 행 i와 행 j를 교환함으로써 얻어집니다.
\(\quad T_{i,j} = \begin{bmatrix}
1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & 0 & & 1 & & \\
& & & \ddots & & & \\
& & 1 & & 0 & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 1
\end{bmatrix}\)
따라서 \(T_{ij}A\)는 A의 행 i와 행 j를 교환함으로써 생성된 행렬입니다.
계수 별, 행렬 \(T_{i,j}\)는 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad
[T_{i,j}]_{k,l} =
\begin{cases}
0 & k \neq l, k \neq i, k \neq j \\
1 & k = l, k \neq i, k \neq j\\
0 & k = i, l \neq j\\
1 & k = i, l = j\\
0 & k = j, l \neq i\\
1 & k = j, l = i\\
\end{cases}
\)
Properties
- 이 행렬의 역행렬은 자신입니다: \({T_{ij}}^{-1}=T_{ij}\).
- 단위 행렬의 행렬식(determinant)이 단위이므로, \(\det(T_{ij})=-1\)입니다. (정확한 크기의) 임의의 정방 행렬 A에 대해 \(\det(T_{ij}A)=-\det(A)\)을 가짐을 따릅니다.
Row-multiplying transformations
행렬 A에 대한 다음 유형의 행 연산은 행 i에 대한 모든 원소에 m을 곱하며, 여기서 m은 비-영 스칼라 (보통 실수)입니다. 대응하는 기본 행렬은 m인 i번째 위치를 제외하고 모든 곳에서 대각 엔트리 1을 갖는 대각 행렬입니다.
\(\quad D_i(m) = \begin{bmatrix}
1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & 1 & & & & \\
& & & m & & & \\
& & & & 1 & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 1
\end{bmatrix}\)
따라서 \(D_i(m)A\)는 행 i에 m을 곱함으로써 A에서 생성된 행렬입니다.
계수 별, \(D_i(m)\) 행렬은 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad
[D_i(m)]_{k,l} = \begin{cases}
0 & k \neq l \\
1 & k = l, k \neq i \\
m & k = i, l = i
\end{cases}\)
Properties
- 이 행렬의 역행렬은 \(D_i(m)^{-1} = D_i (1/m)\)에 의해 주어집니다.
- 그 행렬과 그것의 역행렬은 대각 행렬(diagonal matrices)입니다.
- \(\det(D_I(m))=m\). 그러므로 (정확한 크기의) 정사각 행렬 A에 대해, \(\det(D_i(m)A)=m \det(A)\)을 가집니다.
Row-addition transformations
행렬 A에 대한 마지막 행 연산 유형은 행 j에 스칼라 m을 곱한 행 i를 더합니다. 대응하는 기본 행렬은 단위 행렬이지만 (i, j) 위치에 m이 있습니다.
\(\quad L_{ij}(m) = \begin{bmatrix}
1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & 1 & & & & \\
& & & \ddots & & & \\
& & m & & 1 & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 1
\end{bmatrix}\)
따라서 \(L_{ij}(m)A\)는 행 j에 m 곱하기 행 i를 더함으로써 A에서 생성된 행렬입니다. 그리고 \(A\,L_{ij}(m)\)은 열 j에 m 곱하기 열 i을 더함으로써 A에서 생성된 행렬입니다.
계수 별, 행렬 \(L_{i,j}(m)\)는 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad [L_{i,j}(m)]_{k,l} = \begin{cases}
0 & k \neq l, k \neq i, l \neq j \\
1 & k = l \\
m & k = i, l = j
\end{cases}\)
Properties
- 이들 변환은 일종의 전단 매핑(shear mapping)이며, 역시 횡단(transvections)으로 알려져 있습니다.
- 이 행렬의 역행렬은 \(L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m)\)에 의해 주어집니다.
- 그 행렬과 그것의 역행렬은 삼각 행렬(triangular matrices)입니다.
- \(\det(L_{ij}(m))=1\). 그러므로, (정확한 크기의) 정사각 행렬 A에 대해 \(\det(L_{ij}(m)A)=\det(A)\)을 가집니다.
- 행-덧셈 변환은 스타인버그 관계(Steinberg relations)를 만족시킵니다.
See also
- Gaussian elimination
- Linear algebra
- System of linear equations
- Matrix (mathematics)
- LU decomposition
- Frobenius matrix
References
- Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
- Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31
- Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
- Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
- Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6
