수학(mathematics)에서, 일부 함수 공간(function space) 위에 정의된 선형 연산자(linear operator) D의 고유함수(eigenfunction)는, D에 의해 동작될 때, 고윳값(eigenvalue)이라고 불리는 일부 스케일링 인수만 곱해지는 해당 공간에서 임의의 비-영 함수(function) \(f\)입니다. 방정식으로, 이 조건은 어떤 스칼라(scalar) 고윳값 \(\lambda\)에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad Df = \lambda f\)
이 방정식에 대한 해는 허용-가능한 고윳값과 고유함수를 제한하는 경계 조건(boundary conditions)의 영향을 받을 수도 있습니다.
고유함수는 고유벡터(eigenvector)의 일종입니다.
Eigenfunctions
일반적으로, 어떤 벡터 공간 위에 정의된 선형 연산자 D의 고유벡터는, D가 그것 위에 동작할 때, 고윳값이라고 불리는 일부 스칼라 값에 의해 간단히 스케일되는 D의 도메인에서 비-영 벡터입니다. 함수 공간에서 D가 정의되는 특수한 경우에서, 고유벡터는 고유함수라고 참조됩니다. 즉, 함수 f는 다음 방정식을 만족시키면 D의 고유함수입니다:
\(\quad Df = \lambda f\cdots\bf{(1)},\)
여기서 λ는 스칼라입니다. 방정식 (1)에 대한 해는 경계 조건에 따라 달라질 수도 있습니다. 경계 조건 때문에, λ의 가능한 값은 일반적으로, 예를 들어 불연속 집합 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots\) 또는 일부 범위에 걸친 연속 집합으로 제한됩니다. D의 가능한 모든 고윳값의 집합은 그것의 스펙트럼(spectrum)이라고 부르기도 하며 이는 이산, 연속, 또는 이 둘의 조합일 수 있습니다.
λ의 각 값은 하나 이상의 고유함수에 해당합니다. 만약 다수의 선형적으로 독립 고유함수가 같은 고윳값을 가지면, 그 고윳값은 퇴화(degenerate)라고 말하고, 같은 고윳값과 결합된 선형적으로 독립 고유함수의 최대 개수는 고윳값의 퇴화의 차수(degree of degeneracy) 또는 기하 중복도(geometric multiplicity)라고 합니다.
Derivative example
무한 차원 공간 위에 동작하는 널리 사용되는 선형 연산자의 클래스는 실수 또는 복소수 인수 t의 무한 미분-가능 실수 또는 복소수 함수의 공간 \(\mathbf{C}^{\infty}\) 위에 미분 연산자입니다. 예를 들어, 다음 고윳값 방정식을 갖는 미분 연산자 \(\frac{d}{dt}\)를 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dt}f(t) = \lambda f(t).\)
이 미분 방정식은 양쪽 변에 \(\frac{dt}{f(t)}\)를 곱하고 적분함으로써 풀 수 있습니다. 그것의 해, 다음 지수 함수(exponential function)는
\(\quad f(t)=f_0 e^{\lambda t},\)
도함수 연산자의 고유함수이며, 여기서 \(f_0\)는 경계 조건에 따라 달라지는 매개변수입니다. 이 경우에서 고유함수 자체는 결합된 고윳값 λ의 함수이며, 임의의 실수 또는 복소수 값을 취할 수 있습니다. 특히, λ = 0에 대해 고유함수 f(t)는 상수임을 주목하십시오.
예제에서 f(t)가 경계 조건 f(0) = 1과 \(\displaystyle \left.\frac{df}{dt}\right|_{t=0} = 2\)에 종속된다고 가정합니다. 그런-다음 다음임을 구합니다:
\(\quad f(t)=e^{2t},\)
여기서 λ = 2는 경계 조건도 만족시키는 미분 방정식의 유일한 고윳값입니다.
Link to eigenvalues and eigenvectors of matrices
고유함수는 열 벡터로 표현될 수 있고 선형 연산자는 무한 차원을 가질 수 있지만 행렬로 표현될 수 있습니다. 결과로써, 행렬의 고유벡터와 관련된 많은 개념이 고유함수의 연구로 이어집니다.
D가 Ω이라고 불리는 t에 대한 관심 범위에 걸쳐 적분된 다음과 같이 정의되는 함수 공간에서 안의 곱(inner product)을 정의합니다:
이때 * 는 복소 켤레(complex conjugate)를 나타냅니다.
함수 공간이 함수의 집합 \(\{u_1(t),u_2(t),\cdots, u_n(t)\}\)에 의해 주어진 직교-정규 기저(orthonormal basis)를 가진다고 가정하며, 여기서 n은 무한할 수 있습니다. 직교-정규 기저에 대해,
\(\quad \langle u_i,u_j \rangle = \int_{\Omega} \ u_i^*(t)u_j(t) dt = \delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & i=j \\
0 & i \ne j
\end{cases},\)
여기서 \(\delta_{ij}\)는 크로네커 델타(Kronecker delta)이고 항등 행렬(identity matrix)의 원소로 생각될 수 있습니다.
함수는 기본 함수의 선형 조합으로, 예를 들어, f(t)의 푸리에 전개(Fourier expansion)를 통해, 쓸 수 있습니다,
\(\quad\displaystyle f(t) = \sum_{j=1}^n b_j u_j(t),\)
계수 \(b_j\)는 n x 1 열 벡터 \(b=[b_1 b_2 \cdots b_n]^T\)로 쌓일 수 있습니다. 정현 함수의 푸리에 급수의 계수와 같은 특수한 경우에서, 이 열 벡터는 유한 차원을 가집니다.
추가적으로, 다음을 원소를 갖는 선형 연산자 D의 행렬 표현을 정의합니다:
\(\quad\displaystyle A_{ij} = \langle u_i,Du_j \rangle = \int_{\Omega}\ u^*_i(t)Du_j(t) dt.\)
우리는 함수 Df(t)를 기본 함수의 선형 조합 또는 f(t)의 확장에 따라 동작하는 D로 쓸 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle Df(t) = \sum_{j=1}^n c_j u_j(t) = \sum_{j=1}^n b_j Du_j(t).\)
임의적인 기저 함수 \(u_i(t)\)를 갖는 이 방정식의 각 변의 안의 곱을 취하여,
\(\quad \begin{align}
\sum_{j=1}^n c_j \int_{\Omega} \ u_i^*(t)u_j(t) dt &= \sum_{j=1}^n b_j \int_{\Omega} \ u_i^*(t)Du_j(t) dt, \\
c_i &= \sum_{j=1}^n b_j A_{ij}.
\end{align}\)
이것은 합 표기법으로 쓴 행렬 곱셈 Ab = c이고 직교-정규 기저에서 표현된 함수 f(t)에 동작하는 연산자 D와 동등한 행렬입니다. 만약 f(t)가 고윳값 λ를 갖는 D의 고유함수이면, Ab = λb입니다.
Eigenvalues and eigenfunctions of Hermitian operators
물리학에서 만나는 많은 연산자는 에르미트(Hermitian)입니다. 선형 연산자 D가 함수의 집합 \(\{u_1(t),u_2(t),\cdots, u_n(t)\}\)에 의해 주어진 직교-정규 기저를 갖는 힐베르트 공간(Hilbert space)인 함수 공간 위에 동작한다고 가정하며, 여기서 n은 무한일 수 있습니다. 이 기저에서, 연산자 D는 Ω로 표시된 t에 대해 일부 관심 범위에 걸쳐 적분된 다음 원소를 갖는 행렬 표현 A를 가집니다:
\(\quad\displaystyle A_{ij} = \langle u_i,Du_j \rangle = \int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t).\)
에르미트 행렬(Hermitian matrices)과 아날로그에 의해, D는 \(A_{ij} = {A_{ji}}^{*}\), 또는 다음이면 에르미트 연산자입니다:
\(\quad \begin{align}
\langle u_i,Du_j \rangle &= \langle Du_i,u_j \rangle, \\[-1pt]
\int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t) &= \int_{\Omega} dt\ u_j(t)[Du_i(t)]^*.
\end{align}\)
고윳값 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots\)와 대응하는 고유함수 \(f_1(t),f_2(t), \cdots\)을 갖는 에르미트 연산자 D를 생각해 보십시오. 이 에르미트 연산자는 다음과 같은 속성을 가집니다:
- 그것의 고윳값은 실수입니다, \(\lambda_i = {\lambda_i}^{*}\)
- 그것의 고유함수는 직교성 조건을 따릅니다, \(\langle f_i,f_j \rangle = 0 \) if i ≠ j
두 번째 조건은 항상 \(\lambda_1 \neq \lambda_j\)에 대해 유지됩니다. 같은 고윳값 \(\lambda_i\)를 갖는 퇴화 고유함수에 대해, 예를 들어 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)에 의해, \(\lambda_i\)와 결합된 고유공간을 스팬하는 직교 고유함수는 항상 선택될 수 있습니다. 스펙트럼이 이산 또는 연속인지에 따라, 고유함수는 고유함수의 안의 곱을 각각 크로네커 델타 또는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)와 같게 설정함으로써 정규화될 수 있습니다.
많은 에르미트 연산자, 특히 스튀름–리우빌 연산자(Sturm–Liouville operators)에 대해, 세 번째 속성은 다음과 같습니다:
- 그것의 고유함수는 연산자 정의되는 함수 공간의 기저를 형성합니다.
결과로써, 많은 중요한 경우에서, 에르미트 연산자의 고유함수는 직교-정규 기저를 형성합니다. 이들 경우에서, 임의적인 함수는 에르미트 연산자의 고유함수의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.
Applications
Vibrating strings
h(x, t)는 현을 따라 위치 x와 시간 t의 함수로서 현악기의 진동하는 현과 같은 응력을 받는 탄성 현의 횡방향 변위를 나타낸다고 놓습니다. 역학 법칙을 현의 무한소(infinitesimal) 부분에 적용하여, 함수 h는 다음과 같은 부분 미분 방정식(partial differential equation)을 만족시킵니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 h}{\partial x^2},\)
이는 (1-차원) 파동 방정식(wave equation)이라고 불립니다. 여기서 c는 현의 장력과 질량에 따라 달라지는 상수 속력입니다.
이 문제는 변수의 분리(separation of variables) 방법에 따라 달라질 수 있습니다. 만약 h(x, t)가 X(x)T(t) 형식의 곱으로 쓸 수 있다고 가정하면, 한 쌍의 보통의 미분 방정식을 만들 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}X=-\frac{\omega^2}{c^2}X, \qquad \frac{d^2}{dt^2}T = -\omega^2 T.\)
이들 각각은 각각 고윳값 \(-\frac{\omega^2}{c^2}\)와 \(-\omega^2\)을 갖는 고윳값 방정식입니다. ω와 c의 임의의 값에 대해, 그 방정식은 다음 함수에 의해 만족됩니다:
\(\quad\displaystyle X(x) = \sin\left(\frac{\omega x}{c} + \varphi\right), \qquad T(t) = \sin(\omega t + \psi),\)
여기서 위상 각도 φ와 ψ는 임의적인 실수 상수입니다.
만약 예를 들어 현의 끝이 x = 0와 x = L에 고정되어 있는, 즉, X(0) = X(L) = 0이고 T(0) = 0인 경계 조건을 부과하면, 고윳값을 제한합니다. 이들 경계 조건에 대해, sin(φ) = 0와 sin(ψ) = 0이므로, 위상 각도 φ = ψ = 0이고, 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \sin\left(\frac{\omega L}{c}\right) = 0.\)
이 마지막 경계 조건은 ω를 값 \(\omega_n = \frac{nc\pi}{L}\)을 취하도록 제한하며, 여기서 n은 임의의 정수입니다. 따라서, 클램핑된 현은 다음 형식의 정상파의 가족을 지원합니다:
\(\quad\displaystyle h(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) \sin(\omega_n t).\)
현악기의 예제에서, 주파수 \(\omega_n\)은 (n − 1)-번째 배음(overtone)이라고 하는 n-번째 고조파(harmonic)의 주파수입니다.
Schrödinger equation
양자 역학(quantum mechanics)에서, 다음 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)은
\(\quad\displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = H \Psi(\mathbf{r},t)\)
다음 해밀턴 연산자(Hamiltonian operator)와 함께
\(\quad\displaystyle H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)\)
만약 해밀턴이 명시적으로 시간에 의존하지 않으면 변수의 분리에 의해 풀 수 있습니다. 해당 경우에서, 파동 함수(wave function) \(\Phi(\mathbf{r},t) = \varphi(\mathbf{r})T(t)\)는 두 개의 미분 방정식으로 이어집니다:
\(\quad\displaystyle \quad H\varphi(\mathbf{r}) = E\varphi(\mathbf{r})\cdots\bf{(2)},\)
\(\quad\displaystyle \quad i\hbar \frac{\partial T(t)}{\partial t} = ET(t)\cdots\bf{(3)}.\)
이들 미분 방정식 둘 다는 고윳값 E를 갖는 고윳값 방정식입니다. 앞의 예제에서 볼 수 있듯이, 방정식 (3)의 해는 다음 지수 함수입니다:
\(\quad\displaystyle T(t) = e^{{-iEt}/{\hbar}}.\)
방정식 (2)는 시간-독립적인 슈뢰딩거 방정식입니다. 해밀턴 연산자의 고유함수 \(\varphi_k\)는 각각 해당 에너지 Ek를 갖는 양자 역학 시스템의 정지 상태(stationary states)입니다. 그것들은 시스템의 허용-가능한 에너지 상태를 나타내고 경계 조건에 의해 제한될 수 있습니다.
해밀턴 연산자 H는 고유함수가 직교-정규 기저를 형성하는 에르미트 연산자의 예제입니다. 해밀턴이 시간에 명시적으로 의존하지 않을 때, 슈뢰딩거 방정식의 일반 해는 진동 T(t), \( \Psi(\mathbf{r},t) = \sum_k c_k \varphi_k(\mathbf{r}) e^{{-iE_kt}/{\hbar}} \)를 곱한 정지 상태의 연속 조합이거나, 연속 스펙트럼을 갖는 시스템에 대해, 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \Psi(\mathbf{r},t) = \int dE \, c_E \varphi_E(\mathbf{r}) e^{{-iEt}/{\hbar}}.\)
수소의 스펙트럼 특성을 설명하는 슈뢰딩거 방정식의 성공은 20세기 물리학의 가장 위대한 업적 중 하나로 여겨집니다.
Signals and systems
신호와 시스템(signals and systems) 연구에서, 시스템의 고유함수는 시스템에 입력될 때 응답 y(t) = λf(t)를 생성하는 신호 f(t)이며, 여기서 λ는 복소수 스칼라 고윳값입니다.
Works cited
- Courant, Richard; Hilbert, David. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. Wiley. ISBN 047150447-5. (Volume 2: ISBN 047150439-4)
- Davydov, A. S. (1976). Quantum Mechanics. Translated, edited, and with additions by D. ter Haar (2nd ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
- Girod, Bernd; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). Signals and systems (2nd ed.). Wiley. ISBN 047198800-6.
- Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Mathematical Physics. New York: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
- Wasserman, Eric W. (2016). "Eigenfunction". MathWorld. Wolfram Research. Retrieved April 12, 2016.
External links
- More images (non-GPL) at Atom in a Box
