순서 이론(order theory)의 수학적 영역에서, 모든 각 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set) P는 종종 \(P^{op}\) 또는 \(P^d\)에 의해 표시되는 이중(dual 또는 반대(opposite)) 부분적으로 순서화된 집합을 발생시킵니다. 이 이중 순서 \(P^{op}\)는 같은 집합으로 정의되지만, 역 순서(inverse order)와 함께, 즉, x ≤ y가 \(P^{op}\)에서 유지되는 것과 y ≤ x가 P에서 유지되는 것은 필요충분 조건입니다. P에 대해 하세 다이어그램(Hasse diagram)을 거꾸로 뒤집음으로써 묘사될 수 있는 이 구성이 실제로 부분적으로 순서화된 집합을 생성한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 더 넓은 의미에서, 두 개의 부분적으로 순서화된 집합이 만약 그것들이 이중적으로 동형(dually isomorphic)이면, 즉, 한 포셋이 다른 포셋의 이중과 순서 동형적(order isomorphic)이면 이중이라고 말합니다.
이 간단한 정의의 중요성은 순서 이론의 모든 각 정의와 정리가 이중 순서로 쉽게 전달될 수 있다는 사실에서 비롯됩니다. 형식적으로, 이것은 순서화된 집합에 대한 이중성 원칙(Duality Principle)에 의해 포획됩니다:
- 만약 주어진 명제가 모든 부분적으로 순서화된 집합에 대해 유효하면, 모든 순서 관계의 방향을 반전하고 관련된 모든 순서 이론적 정의를 이중화함으로써 얻어진 이중 명제도 모든 부분적으로 순서화된 집합에 대해 유효합니다.
만약 명제 또는 정의가 이중과 동등하면, 자기-이중(self-dual)라고 말합니다. 이중 순서의 고려 사항은 매우 근본적이어서 이 "새로운" 기호의 임의의 사전 정의 제공 없이 ≤의 이중 순서에 대해 ≥를 작성할 때 종종 암시적으로 발생함에 주목하십시오.
Examples
당연히, 이중인 개념에 대해 많은 예제가 있습니다:
- 최대 원소와 최소 원소(Greatest elements and least elements)
- 최대한의 원소와 최소한의 원소(Maximal elements and minimal elements)
- 최소 위쪽 경계(Least upper bounds, 상한, ∨) 및 최대 아래쪽 경계(greatest lower bounds, 하한, ∧)
- 위쪽 집합과 아래쪽 집합(Upper sets and lower sets)
- 아이디얼(Ideals) 및 필터(filters)
- 클로저 연산(Closure operators) 및 커널 연산(kernel operators).
자기-이중인 개념의 예제는 다음을 포함합니다:
- (완비) 격자(lattice)인 것
- 함수의 단조성(Monotonicity)
- 격자의 분배-가능성(Distributivity of lattices), 즉, ∀x,y,z: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)가 유지되는 격자는 정확하게 이중 명제 ∀x,y,z: x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)가 유지되는 격자입니다.
- 부울 대수(Boolean algebra)인 것
- 순서 동형(order isomorphism)인 것.
부분 순서가 반-대칭(antisymmetric)이기 때문에, 자기-이중인 것은 동치 관계(equivalence relations)뿐입니다 (그러나 부분 순서의 개념은 자기-이중입니다).
References
- The quantifiers are essential: for individual elements x, y, z, e.g. the first equation may be violated, but the second may hold; see the N5 lattice for an example.
- Davey, B.A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1