유클리드 공간(Euclidean space)에서, 점으로부터 평면까지 거리(distance from a point to a plane)는 주어진 점과 평면 위로의 그것의 수직 투영 또는 평면 위에 가장-가까운 점 사이의 거리입니다.
그것은 원점을 주어진 점과 일치하기 위해 이동하는 변수의 변경(change of variables)으로 시작하고 그런-다음 원점(origin)에 가장-가까운 이동된 평면(plane) \(ax + by + cz = d\) 위의 점을 찾아질 수 있습니다. 결과로 생기는 점은 다음 데카르트 좌표(Cartesian coordinate) \((x,y,z)\)를 가집니다:
\(\quad\displaystyle x = \frac {ad}{{a^2+b^2+c^2}}, \quad \quad \displaystyle y = \frac {bd}{{a^2+b^2+c^2}}, \quad \quad \displaystyle z = \frac {cd}{{a^2+b^2+c^2}}\).
원점과 점 \((x,y,z)\) 사이의 거리는 \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)입니다.
Converting general problem to distance-from-origin problem
우리가 점 (\(X_0, Y_0, Z_0\))에 대한 평면 위의 가장-가까운 점을 찾기를 원한다고 가정하며, 여기서 평면은 \(aX + bY + cZ = D\)에 의해 주어집니다. 우리는 변환된 변수의 관점에서 평면으로 \(ax + by + cz = d\)을 얻기 위해, \(x = X - X_0\), \(y = Y - Y_0\), \(z = Z - Z_0\), 및 \(d = D - aX_0 - bY_0 - cZ_0\)을 정의합니다. 이제 문제는 원점에서 평면 위에 가장-가까운 점을 찾고, 원점으로부터 그것의 거리를 찾는 것이 됩니다. 원래 좌표의 관점에서 평면 위의 점은 \(x\)와 \(X\) 사이, \(y\)와 \(Y\)사이, 및 \(z\)와 \(Z\) 사이의 위의 관계를 사용하여 이 점으로부터 구해질 수 있습니다; 원래 좌표의 관점에서 거리는 수정된 좌표의 관점에서 거리와 같습니다.
Restatement using linear algebra
원점에 가장-가까운 점에 대한 공식은 선형 대수(linear algebra)로부터 표기법을 사용하여 보다 간결하게 표현될 수 있습니다. 평면의 정의에서 표현 \(ax+by+cz\)는 점 곱(dot product) \((a,b,c)\cdot(x,y,z)\)이고, 해에서 나타나는 표현 \(a^2+b^2+c^2\)는 제곱된 노름(norm) \(|(a,b,c)|^2\)입니다. 따라서, 만약 \(\mathbf{v}=(a,b,c)\)가 주어진 벡터이면, 평면은 \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=d\)에 대해 벡터 \(\mathbf{w}\)의 집합으로 묘사될 수 있고 이 평면 위의 가장-가까운 점은 다음 벡터입니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\mathbf{v}d}{|\mathbf{v}|^2}\).
원점에서 평면까지 유클리드 거리(Euclidean distance)는 이 점의 노름입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{|d|}{|\mathbf{v}|} = \frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
Why this is the closest point
좌표 또는 벡터 공식에서, 우리는 주어진 점을 평면의 방정식에 대입함으로써 주어진 점이 주어진 평면에 놓이는지 확인할 수 있습니다.
이것이 평면 위의 원점에서 가장 가까운 점인지를 확인하기 위해, \(\mathbf{p}\)가 평면을 정의하는 벡터 \(\mathbf{v}\)의 스칼라 배수이고, 따라서 평면에 직교함을 관찰하십시오. 그러므로, 만약 \(\mathbf{q}\)가 \(\mathbf{p}\) 자체가 아닌 평면 위의 임의의 점이면, 원점에서 \(\mathbf{p}\)까지의 선분과 \(\mathbf{p}\)에서 \(\mathbf{q}\)까지 선분은 직각 삼각형(right triangle)을 형성하고, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)에 의해 원점에서 \(q\)까지의 거리는 다음입니다:
\(\quad \sqrt{|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2}\).
\(|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2\)가 양수가 되어야 하므로, 이 거리는, 원점에서 \(\mathbf{p}\)까지 거리, \(|\mathbf{p}|\)보다 큽니다.
대안적으로, \(\mathbf{v}\)을 갖는 원래 점 곱 대신에 \(\mathbf{p}\)를 갖는 점 곱을 사용하여 평면의 방정식을 다시 작성할 수 있으며 (이들 두 벡터는 서로의 스칼라 배수이기 때문입니다) 그 후 \(\mathbf{p}\)가 가장 가까운 점이라는 사실은 코시–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)의 즉각적인 결과가 됩니다.
Closest point and distance for a hyperplane and arbitrary point
법선 벡터 \(\mathbf{a} \ne \mathbf{0}\)를 갖는 점 \(\mathbf{p}\)을 통한 \(n\)-차원 유클리드 공간(Euclidean space) \(\mathbb{R}^n\)에서 초평면(hyperplane)에 대해 벡터 방정식은 \((\mathbf{x}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a} = 0\) 또는 \(\mathbf{x}\cdot\mathbf{a}=d\)이며, 여기서 \(d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}\)입니다. 대응하는 데카르트 형식은 \(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d\)이며, 여기서 \(d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}=a_1p_1+a_2p_2+\cdots a_np_n\)입니다.
임의의 점 \(\mathbf{y}\)에서 이 초평면 위의 가장-가까운 점은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{x}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}\)
그리고 \(\mathbf{y}\)에서 초평면까지의 거리는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \left\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| = \left\|\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}\right\|=\dfrac{\left|(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}=\dfrac{\left|\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\).
데카르트 형식에서 쓰인, 가장-가까운 점은 \(1\le i\le n\)에 대해 \(x_i=y_i-ka_i\)에 의해 주어지며, 여기서
\(\quad\displaystyle k=\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}=\dfrac{a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d}{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}\),
그리고 \(\mathbf{y}\)에서 초평면까지의 거리는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \dfrac{\left|a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}}\).
따라서 \(\mathbb{R}^3\)에서, 임의의 점 \((x_1,y_1,z_1)\)에서 가장-가까운 평면 \(ax+by+cz=d\) 위의 점은 다음에 의해 주어진 \((x,y,z)\)입니다:
\(\quad\displaystyle \left.\begin{array}{l}x=x_1-ka\\y=y_1-kb\\z=z_1-kc\end{array}\right\}\)
여기서
\(\quad\displaystyle k=\dfrac{ax_1+by_1+cz_1-d}{a^2+b^2+c^2}\),
그리고 그 점으로부터 평면까지의 거리는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \dfrac{\left|ax_1+by_1+cz_1-d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
See also
References
- Strang, Gilbert; Borre, Kai (1997), Linear Algebra, Geodesy, and GPS, SIAM, pp. 22–23, ISBN 9780961408862.
- Shifrin, Ted; Adams, Malcolm (2010), Linear Algebra: A Geometric Approach (2nd ed.), Macmillan, p. 32, ISBN 9781429215213.
- Cheney, Ward; Kincaid, David (2010). Linear Algebra: Theory and Applications. Jones & Bartlett Publishers. pp. 450, 451. ISBN 9781449613525.