(번역) Distance between two straight lines

평면(plane)에서 두 직선(straight lines) 사이의 거리(distance)는 직선 위에 놓인 두 점 사이의 최소 거리입니다. 교차하는 직선의 경우에서, 그들 사이의 거리는 0이며, 반면에 두 평행(parallel) 직선의 경우에서, 거리는 한 직선 위의 임의의 점(point)으로부터 나머지 직선까지 수직(perpendicular) 거리입니다.

Formula and proof

직선이 평행이기 때문에, 그들 사이의 수직 거리는 상수이므로, 거리를 측정하기 위해 선택된 점은 문제가 되지 않습니다. 다음으로 두 비-수직 평행 직선이 주어지면:

\(\quad\displaystyle y = mx+b_1\,\)

\(\quad\displaystyle y = mx+b_2\,,\)

두 직선 사이의 거리는 다음 수직 직선과 이들 직선의 두 교차 점 사이의 거리입니다:

\(\quad\displaystyle y = -x/m \, .\)

이 거리는 교차 점의 좌표를 얻기 위해 다음 선형 시스템을 먼저 해결함으로써 찾아질 수 있습니다:

\(\quad \begin{cases}
y = mx+b_1 \\
y = -x/m \, ,
\end{cases}\)

및

\(\quad \begin{cases}
y = mx+b_2 \\
y = -x/m \,
\end{cases}\).

선형 시스템에 대한 해는 다음 점들입니다:

\(\quad\displaystyle \left( x_1,y_1 \right)\ = \left( \frac{-b_1m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1} \right)\, ,\)

및

\(\quad\displaystyle \left( x_2,y_2 \right)\ = \left( \frac{-b_2m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1} \right)\, .\)

점 사이의 거리는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle d = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}\,,\)

이것은 다음으로 줄어듭니다:

\(\quad\displaystyle d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}\,.\)

직선이 다음으로 주어질 때:

\(\quad\displaystyle ax+by+c_1=0\,\)

\(\quad\displaystyle ax+by+c_2=0,\,\)

그들 사이의 거리는 다음으로 표현될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.\)

Abstand In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, pp. 17-19 (German)
Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra. Diesterweg, 1988, ISBN 3-425-05301-9, p. 298 (German)