수학(mathematics)에서, 집합의 가족 \((A_i : i\in I)\)의 서로소 합집합(disjoint union) (또는 구별된 합집합(discriminated union))은 이들 단사의 이미지가 \(A\)의 분할(partition)을 형성함 (즉, \(A\)의 각 원소가 이들 이미지의 정확하게 하나에 속함)을 만족하는 각 \(A_i\)를 \(A\)로의 단사 함수(indective function)를 갖는 집합 \(A\)이며, 종종 \(\bigsqcup_{i \in I} A_i\)로 표시됩니다. 쌍별 서로소 집합(pairwise disjoint sets)의 가족의 서로소 합집합은 그것들의 합집합(union)입니다. 카테고리 이론(category theory)의 관점에서, 서로소 합집합은 집합의 카테고리(category of sets)의 공동-곱(coproduct)입니다. 서로소 합집합은 따라서 전단사까지(up to) 정의됩니다.
서로소 합집합을 건설하는 표준 방법은 \(A\)를 \(x \in A_i\)와 \(x \mapsto (x, i)\)에 의한 단사 함수 \(A_i \to A\)를 만족하는 순서쌍(ordered pair) \((x, i)\)의 집합으로 정의하는 것입니다.
Example
집합 \(A_0 = \{5, 6, 7\}\)와 \(A_1 = \{5, 6\}\)을 생각해 보십시오. 다음 결합된 집합을 형성함으로써 집합 기원에 따라 집합 원소를 인덱싱하는 것이 가능합니다:
\(\quad \begin{align}
A^*_0 & = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0)\} \\
A^*_1 & = \{(5, 1), (6, 1)\}, \\
\end{align}
\)
여기서 각 쌍에서 두 번째 원소는 기원 집합의 아래첨자와 일치합니다 (예를 들어, \((5, 0)\)에서 \(0\)은 \(A_0\), 등의 아래 첨자와 일치합니다). 서로소 합집합 \(A_0 \sqcup A_1\)는 그런-다음 다음처럼 계산될 수 있습니다:
\(\quad A_0 \sqcup A_1 = A^*_0 \cup A^*_1 = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0), (5, 1), (6, 1)\}.\)
Set theory definition
공식적으로, \(\left\{A_i : i \in I\right\}\)를 \(I\)에 의해 인덱스된 집합의 가족(family of sets)으로 놓습니다. 이 가족의 서로소 합집합은 다음 집합입니다:
\(\quad\displaystyle \bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} \left\{(x, i) : x \in A_i\right\}.\)
서로소 합집합의 원소는 순서쌍(ordered pairs) \((x, i)\)입니다. 여기서 \(i\)는 원소 \(x\)가 어는 \(A_i\)에서 왔는지 나타내는 보조 인덱스 역할을 합니다.
각 집합 \(A_i\)는 정식으로 다음 집합과 동형적입니다:
\(\quad A_i^* = \left\{(x,i) : x \in A_i\right\}.\)
이 동형을 통해, 우리는 \(A_i\)가 서로로 합집합에 정식적으로 삽입된 것임을 고려할 수 있습니다.
\(i \neq j\)에 대해, 집합 \(A_i^*\)와 \(A_j^*\)는 심지어 집합 \(A_i\)과 \(A_j\)가 그렇지 않을지라도 서로소입니다.
\(A_i\)의 각각이 각 \(i \in I\)에 대해 일부 고정된 집합 \(A\) 와 같은 극단적인 경우에서, 서로소 합집합은 \(A\)와 \(I\)의 데카르트 곱(Cartesian product)입니다:
\(\quad\displaystyle \bigsqcup_{i \in I} A_i = A \times I.\)
때때로, 다음 표기법은
\(\quad\displaystyle \sum_{i \in I} A_i\)
집합의 가족의 서로소 합집합에 사용되거나, 표기법 \(A + B\)는 두 집합의 서로소 합집합에 사용됩니다. 이 표기법은 서로소 합집합의 카디널리티(cardinality)가 가족에 있는 항의 카디널리티의 합(sum)이라는 사실을 암시하기 위한 것입니다. 이것을 집합의 가족의 데카르트 곱(Cartesian product)에 대한 표기법과 비교하십시오.
서로소 합집합은 역시 때때로 \(\biguplus_{i \in I} A_i\) 또는 \(\ \cdot\!\!\!\!\!\bigcup_{i \in I} A_i\)로 쓰입니다.
카테고리 이론(category theory)의 언어에서, 서로소 합집합은 집합의 카테고리에서 공동-곱(coproduct)입니다. 그것은 따라서 결합된 보편적 속성(universal property)을 만족시킵니다. 이것은 역시 서로소 합집합이 데카르트 곱(Cartesian product) 구성의 카테고리적 이중(categorical dual)임을 의미합니다. 자세한 내용에 대해 공동-곱(coproduct)을 참조하십시오.
많은 목적을 위해, 보조 인덱스의 특정 선택은 중요하지 않고, 표기법의 남용(abuse of notation)을 단순화함에서, 인덱스된 가족은 단순히 집합의 모음으로 취급될 수 있습니다. 이 경우에서 \(A_i^*\)는 \(A_i\)의 {{em|사본}}으로 참조되고 표기법 \(\underset{A \in C}{\,\,\bigcup\nolimits^{*}\!} A\)은 때때로 사용됩니다.
Category theory point of view
카테고리 이론(category theory)에서, 서로소 합집합은 집합의 카테고리에서 공동-곱(coproduct)으로 정의됩니다.
이를테면, 서로소 합집합은 동형까지 정의되고, 위의 정의는 무엇보다도 공동-곱의 하나의 실현일 뿐입니다. 집합이 쌍별 서로소일 때, 보통의 합집합은 공동-곱의 또 다른 실현입니다. 이것은 앞부분의 두 번째 정의를 정당화합니다.
서로소 합집합의 이러한 카테고리적 측면은 \(\coprod\)가 공동-곱을 나타내기 위해 왜 \(\bigsqcup\) 대신에 자주 사용되는지 설명합니다.
See also
- Coproduct – Category-theoretic construction
- Direct limit
- Disjoint union (topology)
- Disjoint union of graphs
- Partition of a set
- Sum type
- Tagged union
- Union (computer science)
References
- Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
- Weisstein, Eric W. "Disjoint Union". MathWorld.