수학(mathematics)에서, 비교 테스트(comparison test)는 비슷한 관련된 테스트 (특히 극한 비교 테스트(limit comparison test))와 그것을 구별하기 위해 때때로 직접 비교 테스트(direct comparison test)로 불리며, 무한 급수(infinite series) 또는 부적절한 적분(improper integral)의 수렴 또는 발산을 추론하는 방법을 제공합니다. 두 경우 모두에서, 테스트는 주어진 급수 또는 적분을 그의 수렴 특성이 알려진 것과 비교함으로써 작동합니다.
For series
미적분학(calculus)에서, 급수에 대한 비교 테스트는 전형적으로 비-음의 (실수-값(real-valued)) 항을 가진 무한 급수에 대한 한 쌍의 명제로 구성됩니다:
- 만약 무한 급수 \(\sum b_n\)이 수렴하고 모든 충분히 큰 n에 대해 (즉, 모든 \(n>N\)에 대해 일부 고정된 값 N에 대해) \(0 \le a_n \le b_n\)이면, 무한 급수 \(\sum a_n\)은 역시 수렴합니다.
- 만약 무한 급수 \(\sum b_n\)이 발산하고 모든 충분히 큰 n에 대해 \(0 \le b_n \le a_n\)이면, 무한 급수 \(\sum a_n\)은 역시 발산합니다.
더 큰 항을 가진 급수는 때때로 더 작은 항을 가진 급수를 지배한다(dominate) (또는 결국 지배한다(eventually dominate))라고 말해지는 것에 주목하십시오.
대안적으로, 테스트는 절대 수렴(absolute convergence)의 관점에서 말해질 수 있을 것이며, 이 경우에서 그것은 복소수(complex) 항을 가진 급수에 역시 적용됩니다:
- 만약 무한 급수 \(\sum b_n\)이 절대적으로 수렴이고 모든 충분히 큰 n에 대해 \(|a_n| \le |b_n|\)이면, 무한 급수 \(\sum a_n\)은 역시 절대적으로 수렴입니다.
- 만약 무한 급수 \(\sum b_n\)이 절대적으로 수렴이 아니고 모든 충분히 큰 n에 대해 \(|b_n| \le |a_n|\)이면, 무한 급수 \(\sum a_n\)이 역시 절대적으로 수렴하는 것은 아닙니다.
이 마지막 명제에서, 급수 \(\sum a_n\)이 여전히 조건적으로 수렴(conditionally convergent)이 될 수 있음을 주목하십시오; 실수-값 급수에 대해, 이것은 만약 \(a_n\)이 모두 비-음수가 아니면 발생할 수 있습니다.
명제의 두 번째 쌍은 실수-값 급수의 경우에서 첫 번째 것과 동등한데 왜냐하면 \(\sum c_n\)이 절대적으로 수렴하는 것과 \(\sum |c_n|\), 비-음의 항을 가진 급수가 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.
Proof
위에 주어진 모든 명제의 증명은 비슷합니다. 여기에 세 번째 명제의 증명이 있습니다.
\(\sum a_n\) 및 \(\sum b_n\)을 \(\sum b_n\)이 절대적으로 수렴하는 (따라서 \(\sum |b_n|\)이 수렴하는) 것을 만족하는 무한 급수로 놓고, [[without loss of generality|일반성의 손실 없이(without loss of generality)]] 모든 양의 정수 n에 대해 \(|a_n| \le |b_n|\)임을 가정합니다. 부분 합(partial sum)을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n|,\ T_n = |b_1| + |b_2| + \ldots + |b_n|. \)
\(\sum b_n\)이 절대적으로 수렴이므로, 어떤 실수 T에 대해 \(\lim_{n\to\infty} T_n = T\)입니다. 모든 n에 대해
\(\quad\displaystyle 0 \le S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n| \le |a_1| + \ldots + |a_n| + |b_{n+1}| + \ldots = S_n + (T-T_n) \le T.\)
\(S_n\)이 비-감소하는 수열이고 \(S_n + (T - T_n)\)은 비증가하는 것입니다.
\(m,n > N\)이 주어지면 \(S_n, S_m\) 둘 다는 구간 \([S_N, S_N + (T - T_N)]\)에 속하고, 그의 길이 \(T - T_N\)는 \(N\)이 무한대로 갈 때 영으로 감소합니다. 이것은 \((S_n)_{n=1,2,\ldots}\)이 코시 수열(Cauchy sequence)이고, 그래서 극한에 반드시 수렴함을 보입니다. 그러므로, \(\sum a_n\)은 절대적으로 수렴입니다.
For integrals
적분에 대해 비교 테스트는 다음으로 말해질 수 있을 것이며, \(+\infty\) 또는 f와 g 각각이 수직 점근선을 가지는 것에서 실수 중 하나의 b를 갖는 \([a,b)\) 위에 연수(continuous) 실수-값 함수 f와 g로 가정합니다:
- 만약 부적절한 적분 \(\int_a^b g(x)\,dx\)이 수렴하고 \(a \le x < b\)에 대해 \(0 \le f(x) \le g(x)\)이면, 부적절한 적분 \(\int_a^b f(x)\,dx\)는 \(\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx\)와 함께 역시 수렴합니다.
- 만약 부적절한 적분 \(\int_a^b g(x)\,dx\)이 발산하고 \(a \le x < b\)에 대해 \(0 \le g(x) \le f(x)\)이면, 부적절한 적분 \(\int_a^b f(x)\,dx\)은 역시 발산합니다.
Ratio comparison test
위의 직접 비교 테스트 및 비율 테스트 둘 다와 비슷한, 실수-값 급수의 수렴에 대한 또 다른 테스트는 비율 비교 테스트(ratio comparison test)로 불립니다:
- 만약 무한 급수 \(\sum b_n\)이 수렴하고 \(a_n>0\), \(b_n>0\)이고, 모든 충분히 큰 n에 대해 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}\)이면, 무한 급수 \(\sum a_n\)은 역시 수렴합니다.
- 만약 무한 급수 \(\sum b_n\)이 발산하고 \(a_n>0\), \(b_n>0\)이고, 모든 충분히 큰 n에 대해 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge \frac{b_{n+1}}{b_n}\)이면, 무한 급수 \(\sum a_n\)은 역시 발산합니다.
See also
- Convergence tests
- Convergence (mathematics)
- Dominated convergence theorem
- Integral test for convergence
- Limit comparison test
- Monotone convergence theorem
References
- Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (4th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
- Buck, R. Creighton (1965). Advanced Calculus (2nd ed.). New York: McGraw-Hill.
- Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
- Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
- Silverman, Herb (1975). Complex Variables. Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.
- Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.