삼각 함수의 미분화(differentiation of trigonometric functions)는 삼각 함수(trigonometric function)의 도함수(derivative), 또는 변수에 관한 그의 변화율을 찾는 수학적 과정입니다. 예를 들어, 사인 함수의 도함수는 sin′(a) = cos(a)로 쓰이며, 특정 각도 x = a에서 sin(x)의 변화율이 해당 각도의 코사인에 의해 제공됨을 의미합니다.
원형 삼각 함수의 모든 도함수는 tan(x) = sin(x)/cos(x)와 같은 함수에 적용된 몫 규칙(quotient rule)을 수단으로 sin(x)와 cos(x)의 도함수로부터 구해질 수 있습니다. 이들 도함수를 알면, 역 삼각 함수(inverse trigonometric functions)의 도함수는 암시적 미분화(implicit differentiation)를 사용하여 구해집니다.
Derivatives of trigonometric functions and their inverse functions
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x) = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\cot(x) = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{-1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x)\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\sec(x) = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\csc(x) = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\mbox{arccot}(x) = \frac{-1}{1+x^2}\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\mbox{arcsec}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\mbox{arccsc}(x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
Proofs of derivatives of trigonometric functions
Limit of sin(θ)/θ as θ tends to 0
오른쪽 그림은 중심 O와 반지름 r = 1을 갖는 원을 보여줍니다. 두 반지름 OA와 OB는 θ 라디안의 호를 만듭니다. 우리는 θ가 영으로 경향일 때 극한을 고려하므로, 우리는 θ가 작은 양수, 즉 첫 번째 사분면에서 0 < θ < ½ π라고 가정할 수 있습니다.
그림에서, \(R_1\)을 삼각형 OAB, \(R_2\)를 원형 부채꼴(circular sector) OAB, 및 R3를 삼각형 OAC로 놓습니다. 삼각형 OAB의 넓이는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \mathrm{Area}(R_1) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . \)
원형 부채꼴 OAB의 넓이는 \(\mathrm{Area}(R_2) = \tfrac{1}{2}\theta\)이지만, 삼각형 OAC의 넓이는 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \mathrm{Area}(R_3) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . \)
각 영역은 다음 것을 포함하므로, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \iff
\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \, . \)
게다가, 첫 번째 사분면에서 sin θ > 0이므로, 우리는 ½ sin θ를 통해 나눌 수 있으며, 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle 1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . \)
마지막 단계에서 우리는 세 양의 항의 역수를 취하여, 부등식을 거꾸로 뒤집습니다.
우리는 0 < θ < ½ π에 대해, 양 sin(θ)/θ은 항상 1보다 작고 항상 cos(θ)보다 크다는 결론을 내립니다. 따라서, θ가 0에 가까워짐에 따라, sin(θ)/θ는 높이 1에서 천장과 높이 cos θ에서 바닥 사이에서 "조임된(squeezed)" 것이며, 이것은 1을 향해 올라갑니다; 따라서 sin(θ)/θ는 θ가 양의 방향에서 0으로 경향일 때 1로 경향이어야 합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . \)
θ가 작은 음수 –½ π < θ < 0인 경우에 대해, 우리는 사인이 홀수 함수(odd function)라는 사실을 사용합니다.
\(\quad\displaystyle \lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta}
\ =\
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta}
\ =\
\lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta}
\ =\
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\
1 \, . \)
Limit of (cos(θ)-1)/θ as θ tends to 0
마지막 섹션은 상대적으로 쉽게 이 새로운 극한을 계산하는 것을 활성화합니다. 이것은 간단한 조작을 사용함으로써 행해집니다. 이 계산에서, θ의 부호는 중요하지 않습니다.
\(\quad\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\
\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right)
\ =\
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)} . \)
\(\cos^2 \theta -1 =-\sin^2 \theta\). 곱의 극한이 극한의 곱이라는 사실, 및 이전 섹션으로부터 결과 극한을 사용하여, 우리는 다음임을 찾습니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)}
\ =\
\left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right)
\ =\
(-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . \)
Limit of tan(θ)/θ as θ tends to 0
사인(sine) 함수에 대한 극한, 탄젠트 함수가 홀수 함수, 및 곱의 극한이 극한의 곱이라는 사실을 사용하여, 우리는 다음임을 찾습니다:
\(\quad\displaystyle
\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta}
\ =\
\left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\!
\left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right)
\ =\
(1)(1)
\ =\
1 \, . \)
Derivative of the sine function
우리는 극한 정의(limit definition)로부터 사인 함수(sine function)의 도함수를 계산합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . \)
각도 덧셈 공식(angle addition formula) sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α을 사용하여, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta
=
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta}
=
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . \)
사인(sine)과 코사인(cosine) 함수에 대해 극한을 사용하여:
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta
=
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta
=
\cos\theta \, . \)
Derivative of the cosine function
From the definition of derivative
우리는 다시 극한 정의로부터 코사인 함수(cosine function)의 도함수를 계산합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta
=
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} . \)
각도 덧셈 공식 cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β을 사용하여, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta
=
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta}
=
\lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right) . \)
사인(sine)과 코사인(cosine) 함수에 대해 극한을 사용하여:
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta
= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \, . \)
From the chain rule
체인 규칙으로부터 코사인 함수의 도함수를 계산하기 위해, 먼저 다음 세 사실을 관찰하십시오:
\(\quad\displaystyle \cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)
\(\quad\displaystyle \sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)
\(\quad\displaystyle \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta\)
첫 번째와 두 번째는 삼각 항등식(trigonometric identities)이고, 세 번째는 위에 입증되었습니다. 이들 세 사실을 사용하여, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다,
\(\quad\displaystyle \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)
우리는 체인 규칙(chain rule)을 사용하여 이것을 미분할 수 있습니다. \(f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta\)을 설정하면, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta\).
그러므로, 우리는 다음임을 입증했습니다:
\(\quad\displaystyle \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta\).
Derivative of the tangent function
From the definition of derivative
탄젠트 함수(tangent function) tan θ의 도함수를 계산하기 위해, 우리는 첫 번째 원리(first principles)를 사용합니다. 정의에 의해:
\(\quad\displaystyle
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right) .
\)
잘-알려진 각도 공식 tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)을 사용하여, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right]
= \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right] .
\)
곱의 극한이 극한의 곱이라는 사실을 사용하여:
\(\quad\displaystyle
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right) .
\)
탄젠트(tangent) 함수에 대해 극한, 및 tan δ는 δ가 0으로 경향일 때 0으로 경향이라는 사실을 사용하여:
\(\quad\displaystyle
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta .
\)
우리는 즉시 다음임을 알 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
= 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}
= \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}
= \frac{1}{\cos^2\theta}
= \sec^2\theta \, .
\)
From the quotient rule
우리는 몫 규칙(quotient rule)을 사용하여 탄젠트 함수의 도함수를 역시 계산할 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta
= \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
= \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta }
= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}
\)
분자는 피타고라스 항등식(Pythagorean identity)에 의해 1로 단순화될 수 있으며, 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta\)
그러므로,
\(\quad\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta\)
Proofs of derivatives of inverse trigonometric functions
다음 도함수는 우리가 도함수를 취하기를 원하는 역 삼각 함수(inverse trigonometric function)와 같은 변수(variable) y를 설정함으로써 구해집니다. 암시적 미분화(implicit differentiation)를 사용하고 그런-다음 dy/dx에 대해 풀면, 역함수의 도함수는 y의 관점에서 구해집니다. dy/dx를 다시 x의 관점으로 되게 변환하기 위해, 우리는 단위 원 위에 참조 삼각형을 그릴 수 있으며, θ를 y로 놓습니다. 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)와 정규 삼각 함수의 정의를 사용하여, 우리는 x의 관점에서 dy/dx를 마침내 표현할 수 있습니다.
Differentiating the inverse sine function
우리는 다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle y=\arcsin x\,\!\)
여기서
\(\quad\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}\)
그런-다음
\(\quad\displaystyle \sin y=x\,\!\)
양쪽 변에 \(x\)에 관해 도함수를 취하고 dy/dx에 대해 풀면:
\(\quad\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x\)
\(\quad\displaystyle \cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!\)
위의 것에서 \( \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}\)를 치환하면,
\(\quad\displaystyle \sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1\)
위의 것에서 \(x=\sin y\)를 치환하면,
\(\quad\displaystyle \sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1\)
\(\quad\displaystyle {dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Differentiating the inverse cosine function
우리는 다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle y=\arccos x\,\!\)
여기서
\(\quad\displaystyle 0 \le y \le \pi\)
그런-다음
\(\quad\displaystyle \cos y=x\,\!\)
양쪽 변에 \(x\)에 관해 도함수를 취하고 dy/dx에 대해 풀면:
\(\quad\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x\)
\(\quad\displaystyle -\sin y \cdot {dy \over dx} =1\)
위의 것에서 \(\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!\)을 치환하면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle -\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1\)
위의 것에서 \(x=\cos y\,\!\)를 치환하면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle -\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1\)
\(\quad\displaystyle {dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Differentiating the inverse tangent function
우리는 다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle y=\arctan x\,\!\)
여기서
\(\quad\displaystyle -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\)
그런-다음
\(\quad\displaystyle \tan y=x\,\!\)
양쪽 변에 \(x\)에 관해 도함수를 취하고 dy/dx에 대해 풀면:
\(\quad\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x\)
왼쪽 변:
\(\quad\displaystyle
{d \over dx}\tan y
= \sec^2 y \cdot {dy \over dx}
= (1 + \tan^2 y) {dy \over dx}
\) 피타고라스 항등식을 사용.
오른쪽 변:
\(\quad\displaystyle {d \over dx}x = 1\)
그러므로,
\(\quad\displaystyle (1+\tan^2 y){dy \over dx}=1\)
위의 것에서 \(x=\tan y\,\!\)를 치환하면, 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle (1+x^2){dy \over dx}=1\)
\(\quad\displaystyle {dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}\)
Differentiating the inverse cotangent function
우리는 다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle y=\mbox{arccot} x\)
여기서 \(0<y<\pi\). 그런-다음
\(\quad\displaystyle \cot y=x\)
양쪽 변에 \(x\)에 관해 도함수를 취하고 dy/dx에 대해 풀면:
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x\)
왼쪽 변:
\(\quad\displaystyle
{d \over dx}\cot y
= -\csc^2 y \cdot {dy \over dx}
= -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx}
\) 피타고라스 항등식을 사용.
오른쪽 변:
\(\quad\displaystyle {d \over dx}x = 1\)
그러므로,
\(\quad\displaystyle -(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1\)
\(\quad\displaystyle x=\cot y\)를 치환하면,
\(\quad\displaystyle -(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1\)
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}\)
Differentiating the inverse secant function
Using implicit differentiation
다음을 놓습니다
\(\quad\displaystyle y = \mbox{arcsec} x\ \ |x| \geq 1\)
그런-다음
\(\quad\displaystyle x = \sec y \ \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]
\)
\(\quad\displaystyle \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}\)
(위의 표현에서 절댓값은 y의 구간에서 시컨트와 탄젠트의 곱이 항상 비-음이기 때문에 필요하지만, 제곱근 \(\sqrt{x^2-1}\)은 주요 제곱근의 정의에 의해 항상 비-음수이므로, 남아있는 인수는 반드시 역시 비-음이어야 하며, 이것은 x의 절댓값을 사용함으로써 달성됩니다.)
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
Using the chain rule
대안적으로, 아크시컨트의 도함수는 체인 규칙(chain rule)을 사용하여 아크코사인의 도함수로부터 유도될 수 있습니다.
다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle y = \mbox{arcsec} x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) \)
여기서
\(\quad\displaystyle |x| \geq 1 \) and \( y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] \)
그런-다음, 체인 규칙을 \( \arccos \left(\frac{1}{x}\right) \)에 적용하면:
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
= \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
= \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
= \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \)
Differentiating the inverse cosecant function
Using implicit differentiation
다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle y = \mbox{arccsc} x\ \ |x| \geq 1\)
그런-다음
\(\quad\displaystyle x = \csc y\ \ \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]\)
\(\quad\displaystyle \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}\)
(표현에서 절댓값은 y의 구간에서 코시컨트와 코탄젠트의 곱이 항상 비-음수이기 때문에 필요하지만, 제곱근 \(\sqrt{x^2-1}\)은 주요 제곱근의 정의에 의해 항상 비-음수이므로, 남아있는 인수는 반드시 항상 비-음수이어야 하며, 이것은 x의 절댓값을 사용함으로써 달성됩니다.)
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
Using the chain rule
대안적으로, 아크코시컨트의 도함수는 체인 규칙(chain rule)을 사용하여 아크코사인의 도함수로부터 유도될 수 있습니다.
다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle y = \mbox{arccsc} x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) \)
여기서
\(\quad\displaystyle |x| \geq 1 \) and \( y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] \)
그런-다음, 체인 규칙을 \( \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) \)에 적용하면:
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
= -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
= -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
= -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \)
See also
Bibliography
- Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)